第20章《勾股定理》--- 利用勾股定理解决折叠问题（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第20章《勾股定理》--- 利用勾股定理解决折叠问题
一、单选题
1．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
6．如图，在中，，，，将 ABC沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ．
7．如图，在长方形中，，将 ABC沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为
8．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为 ．
9．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ．
10．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将 ABC沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ．
三、解答题
11．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程．
12．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长．
13．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．
(1)求的长；
(2) BDE的面积为__________；
(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；
14．综合与探究
如图，在 ABC中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．
(1)求边的长．
(2)如图，若为的中点．求证：．
(3)如图，若为的中点．
试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段的长．
15．在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E在边上时，求的长度．
(2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．
(3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长．
参考答案
一、单选题
1．A
解：由折叠的性质可知，折叠后．
在中，，，，
∴．
∴．
∵，
∴．
故选：A．
2．C
解：如图，记点C的对应点为，
长方形中，，，
，，，
由折叠可得，，，，
设，则，
在中，，
，解得，
则的长为．
故选：C．
3．C
解：设，
由折叠可得，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
则．
故选：C．
4.C
解：由折叠性质得：，，，，
∵，，然后利用勾股定理求解即可．
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
5．D
解：四边形是长方形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
设，
当为直角三角形时，则，
，
、、三点共线，
分两种情况：
①点在线段上时，如图1所示：
则，
，
，
在中，BE=4-x，，
由勾股定理得：，
解得：，
；
②点在线段的延长线上时，如图2所示：
则，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
解得：，
；
综上所述，当为直角三角形时，的长为或；
故选：D．
二、填空题
6．
解：如图所示，连接，
根据题意得，，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴ ，
解得：．
∴．
故答案为：．
7．
解：∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
在长方形中，，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
故答案为．
8．
解：如图，作于点，连接，设与交于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
根据平行线间的距离相等得，
∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
故答案为：．
9．或
解：如图，当时，则，
由折叠的性质可得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
如图，当时，
由折叠的性质可得，,，
∴，
∴三点共线，
由勾股定理得，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴
综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或，
故答案为：或．
10．或5
解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，，
∴或，
由题意，得，
如图1，当时，
在中，由勾股定理，得：，
，
，
；
②如图2，当时，
在中，由勾股定理，得：，
，
，
．
综上所述，线段的长为或5．
故答案为：或5．
三、解答题
11．解：∵在直角三角形纸片中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
12．解：如图，连接交于点．
将沿折叠得到，
，，垂直平分．
为的中点，
，
．
，
，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
．
在中，由勾股定理，得．
13．（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．
，
∵四边形是长方形，
．
，
，
；
设，则，
在中，，根据勾股定理得，，
∵16+（8-x）2=x2，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
∴，
根据翻折的性质得，，
∴ BDE的面积为，
故答案为：6；
（3）解：①若，
，
；
②若，作于点，
，，，
，
，
；
③若，则，，，
，，
，
；
综上所述，或3或．
14．（1）解：，满足，，，
，，
，，
在 ABC中，，
；
（2）证明：如图，连接交于点，
沿折叠得，
，，垂直平分，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作交延长线于点，连接，
，即，
，
，，
为的中点．
，
，
，，
，
，
，，，
，
∴DE=DH
在中，，
；
如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，，
，，
，，
，，
设，则，
在中，，
即，解得，
，
，
设，则，
由知，，
又，
，
即，解得，
．
15．（1）解：根据题意得：，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：；
（2）解：由翻折的性质得：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即；
（3）解：当点Q在线段上时，如图：
由翻折的性质得：，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在延长线上时，如图：
由翻折的性质得：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即；
综上所述，的长为4或16．