第20章《勾股定理》--- 利用勾股定理求最短路径问题（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第20章《勾股定理》--- 利用勾股定理求最短路径问题
一、单选题
1．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
4．如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　）
A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空题
6．如图是一个“”型的零件，四边形和四边形均为长方形，在点处有一只蚂蚁（看作点），点到的距离为，，，则蚂蚁沿零件表面从点到点爬行的最短路程是 ．
7．如图是一个直六棱柱，底面边长均为，侧棱，有一只蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为 ．
8．如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点A出发，经过长方体的表面爬到顶点B的最短路程为 ．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且，、是该直线上的两个动点，且，连接、，则周长的最小值为 ．
10．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ．
三、解答题
11．如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离．
12．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）：
(1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？
(2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？
13．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务．
任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________
任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由．
任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程．
14．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
15．小明在探索平面直角坐标系中任意两点、之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当轴时，、两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当轴时，、两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当、两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整．

解：过、分别向轴、轴作垂线，两条垂线交于点．
∵轴，轴，
∴（_________，_________），
∴______________，
______________，
在中，由勾股定理可得
，
∴．
解答以下问题：
（1）若，，则_________．
（2）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点的对应点是，点的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标．
（3）已知点为轴上一点，则的最小值为_________．
16．学科实践
【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．
【包装准备】
如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等．
【问题解决】
(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______．
(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）
17．课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
18．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角 ABC和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角 ABC使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
（1）代数式的最小值为______；
（2）变式训练：求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数满足，则______．
（4）的最大值是______；
参考答案
一、单选题
1．C
解：如图为圆柱体的侧面展开图，
圆柱体的底面周长为，
半周长为，
又，
，
沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是．
故选：C．
2．B
解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短，
∵ ，M为的中点，
∴，
∴ ．
故选：B．
3．B
解：如图，将圆柱体的侧面展开，过点作于点，连接，
由题意得，，
∵钢管横截面的周长为，
∴，
∴，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是．
故选：B．
4．D
解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求，
根据题意，得，，，
∴，
故选：D．
5．A
解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，
线段的长为的最小值，
、、,
、、，
即的最小值；
延长交于点，
、
当点P运动到时，有最大值，
、、，
过点B作于点F，则，
即有最大值，
，
故选：A．
二、填空题
6．
解：将其展开，连接，过点D作于点H，如图，
由题意得，，，
，
，
，
故答案为：．
7．
解：直六棱柱的侧面展开图如图所示，
由题意可知，，，
由勾股定理得，，
根据“两点之间，线段最短”可知，蚂蚁沿着爬行时，路径最短，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为．
故答案为：．
8．
解：①展开前面和上面，连接，如图，

由勾股定理得；
②展开前面和右面，连接，如图，

由勾股定理得；
③展开左面和上面，连接，如图，

由勾股定理得；
，
最短路径的长为，
故答案为：．
9．
解：如图，作点O关于直线的对称点，作，且，连接交于点D，连接，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
，
即，
∴当点M到点D的位置时，即当、M、C三点共线，，取得最小值，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
10．
解：如图，由题意得，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，
故问题转化为求的最小值，则当与共线时，有最小值，最小值为的长，
则，，，，，
∴，
∴，
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
三、解答题
11．解：将长方体的两个面展开，连接．
分三种情况：
①如图①，；
②如图②，；
③如图③，．
，
蚂蚁需要爬行的最短距离是．
12．（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形，
则长方形的对角线的长为最短路径．
由题意，得，．
由勾股定理，得．
故葛藤绕树盘旋的最短路程是．
（2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，．
由勾股定理，得，
葛藤绕树1圈升高．
若绕树圈到达树顶，则树干的高为．
13．解：任务一，如图
依题意，
∴；
任务二：小星的猜想对，理由如下，
如图，取的中点，连接，取的中点，连接，
∵，
∴
依题意，
在中，，
在中，
∴
∴是等边三角形
∴
又∵
∴，
∴
即平分，
任务三：
如图，连接，过点作于点，
∵，
∴
依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，
∴
∴
设，则，
在中，，在中，
∴
∴
解得：，即
∴
∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为．
14．解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
故答案为：25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，
连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，
，，，，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．
15．解：根据题意，可知，则，．
故推导过程补充：；；．
（1）根据，
可知．
．
（2）由题可知，到，横坐标变化为，纵坐标变化为，
由，则，
解得，，
当，可知点由点向左平移个单位，向上平移个单位，即的坐标为；
当，可知点由点向左平移个单位，向下平移个单位，即的坐标为；
故点的坐标为或．
（3）点在轴上，则，令，，
根据题意，可知表示，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴与点，

根据对称的性质可知，，
则，
此时即为取得的最小值，，
故的最小值为．
故答案为：．
16．（1）解：分三种展开方式求解：
①前与右：；
②左与后：；
③前与下：；
∵，
∴胶带的最短长度为：，
故答案为：．
（2）如图所示为长度最短的部分展开图：
如图，连接，，易得．
由题可得．
在中，由勾股定理，得．
所以，这根绳子的最短长度为．
17．解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和．
根据勾股定理，最短路径为：
（2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为，
根据勾股定理，，
绕两周彩条最短长度为：；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
（4）底面是半圆长加一个半径，，高为6，
根据勾股定理，爬行最短长度为．
18．解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接，
设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，，
则，，
∴表示，
∵，
∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（）如图，过点作，交延长线于点，连接，
设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，，
则，，
∴表示，
∵，
∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为；
（）如图，构造 ABC，于点，，，
设，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴方程的解是，
故答案为：；
（）构造 ABC，，，，，，，如图所示，
过点作，交延长线于点，
则，，，
设，则，，，
∴代数式表示，
∵，
∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长，
在中,由勾股定理得：，
∴的最大值为，
故答案为：．