第十九章《二次根式》单元检测卷（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第十九章《二次根式》单元检测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．已知，则的值为（
A． B． C．3 D．
2．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
4．若，下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间
9．已知为整数，且，则的值可能是（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　）
①只存在一组和使得；
②只存在两组和使得；
③不存在和使得．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．计算： ．
12．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ．
13．已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ．
14．计算： ．
15．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ．
16．观察下列各式：
，，，
请利用你所发现的规律，
计算，
其结果为 ．
17.已知：，则的值为 ．
18.如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）计算：
(1)； (2)．
20．（本题6分）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？
21．（本题8分）阅读以下的材料：
如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知，求函数的最小值．
解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4．
根据上面回答下列问题
(1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ；
(2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ．
22．（本题8分）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简：
解：因为且，所以，所以．
(1)仿照上述方法化简：①；②．
(2)比较与的大小．
23．（本题8分）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下．
，即
请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：
(1)计算：．
(2)若，求的值．
24．（本题8分）【观察发现】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化简： ； ；
（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
【解决问题】
（3）若，且，均为正整数，求的值；
25．（本题10分）（1）如图①，已知点和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整．
解决问题的思路： 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中．因此，在上任取一点，作点关于的对称点与直线相交于点．连接，易知_______，从而有．这样，在中，根据“________”可知与的交点即为所求．
（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值．
（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值．
26．（本题10分）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
参考答案
一．选择题
1．A
∵ ，
∴，，
解得，，
∴ ，
故选：A．
2．C
解：选项A：和在实数范围内无意义，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，C正确；
选项D：，D错误；
故选：C．
3．D
解：中间正方形纸片的面积为，
中间正方形的边长为，
最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．
故选：D．
4．D
解：A．，与不是同类二次根式，不合题意；
B．与不是同类二次根式，不合题意；
C．与不是同类二次根式，不合题意；
D．，与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
5．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵和为两个连续的正整数，
∴，
∴．
故选：B．
6．B
解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，含平方因数，不是最简二次根式；
④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式．
∴ 最简二次根式有①和⑤，共个.
故选：B．
7．B
解：∵四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
．
故选：B．
8．B
解：
=
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 结果在 3 到 4 之间．
故选：B．
9．D
解：∵，
∴，
设，，其中 是整数，
∴，
∴，
∵，，
∴，
当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意；
当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意；
当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意；
当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意；
故选：D．
10．C
解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
可设，，其中和都是正整数，
则，
又，∴，
∴只有满足条件的一组数，，，
此时，，
故只存在一组解，选项①正确；
②由，
同理可设，，其中和都是正整数，
则，且，
满足条件的正整数对有和，
当时，，；
当时，，；
故存在两组解．故选项②正确；
③由，
同理可设，，其中和都是正整数，
则，且，
满足的正整数对只有，，
但这不满足的条件，
故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确；
故选：C．
二．填空题
11．
解：原式
．
故答案为：．
12．
解：∵，，，
∴，，
∴，，
∵实数a，b，c分别表示的三条边，
∴，
即．
故答案为：．
13．2
解：∵是黄金三角形，
∴，
∴,
∵为等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．
解：原式
．
故答案为 ：．
15．5
解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同，
则的最简形式为，其中为正整数，
即，
解得
由为正整数，得，
解得，
则可取1，2，3，
当时，；当时，；当时，
因此的最小值为5，
故答案为：5．
16．
解：由规律可知，，其中从开始，
故
，
故答案为：．
17．
解：，
设，，则．
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
18．4
解：延长交于点H，设交于点．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
图中两个阴影部分面积之差的最大值为4，
故答案为：4．
三．解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．解：，，，
，
故这块菜地的面积约为．
21．（1）解：由题意得：，
当且仅当时，即，函数有最小值，
故答案为．
（2）解：，
，
由题意得：，即，
当且仅当时，即时，函数有最大值．
22．（1）解：①
．
②
；
（2）解：
．
23．（1）解：，
，
，
，
原式
．
（2）解：，
，
，即，
，
．
24．解：（1），
，
故答案为：，．
（2）由题意可知：
，
∵，，，均为正整数，
∴，，
故答案为：，．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．解：（1）由对称可知：，
在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求，
故答案为：；两点之间，线段最短；
（2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴的最小值为 8 ；
（3）作，使得，作于点，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值．
26．（1）解：由题意得.
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由题意得，
∴，
∴，即，
∴，
∴．