第十九章《二次根式》章节测试卷 （含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第十九章《二次根式》章节测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列二次根式运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0
4．若最简二次根式与能合并，则a的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣9 D．﹣2
5．若，则x的值是（　　）
A．2 B．3 C．8 D．15
6．若，则a的取值范围是（　　）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
7．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　）
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
8．若a＝1，b，则a与b的关系是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．相等 D．互为负倒数
9．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．已知，则值为（　　）
A． B． C． D．
11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B．1
C．b D．（）2＝﹣ab
12．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
已知两个根分式与．则下列说法：
①根分式中x的取值范围为：x≥1且x≠2；
②存在实数x，使得N2﹣M2＝1；
③存在两个无理数x，使得M2+N2是一个整数．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．写出的一个有理化因式 　 　 ．
14．如果成立，那么a的取值范围是　 　 ．
15．已知1≤a≤2，化简　 　 ．
16．已知，则（x+y）2025（x﹣y）2026的值为　 　 ．
17．已知实数a满足，那么a﹣20252的值是 　 　 ．
18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形ABCD和正方形EFGH），已知：，，S四边形MCIE＝25，则大正方形的边长为　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）计算题
（1）； （2）．
20．（8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高h（m）与电视节目的信号传播半径r（m）之间满足r，其中R是地球半径，R≈6.4×106m．
（1）已知广州塔高约600m，求广州塔发射节目信号的传播半径；（8.76）
（2）设广州塔的高度是h1，另一座塔高为h2，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比．
21．（8分）定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
22．（8分）已知a，b．
（1）求a2b+ab2的值；
（2）求a2﹣ab+b2的值．
23．（10分）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|．
（2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：．
24．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
（1）将分母有理化得　 　 ，分母有理化得　 　 ．
（2）利用上述方法，化简．
25．（10分）阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：
设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，
∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝　 　 ；y＝　 　 ；
（2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值；
（3）①填空：　 　 ；
②化简：．
26．（10分）【知识背景】
在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和是无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积是无理数；0与无理数的积是0．
由以上信息可知：
如果mx+n＝0（m，n为有理数，x为无理数），那么m＝0，n＝0．
运用上述知识解决下列问题：
【基础应用】
已知，且（m+2）x+n﹣3＝0（m，n为有理数），则m的值为　 　 ，n的值为　 　 ；
【进阶拓展】
已知a，b，c均为有理数，且，求a与c的等量关系；
【实际应用】
制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求bc的值．
参考答案
一、选择题
1．B
【解答】解：A、2+3＝5，原计算错误，不符合题意；
B、3，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式．不能合并，原计算错误，不符合题意，
故选：B．
2．B
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、|x|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、3，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3．D
【解答】解：由题意可知：，
∴x≥﹣2且x≠0，
故选：D．
4．D
【解答】解：根据题意可知，与是同类二次根式，
∴被开方数相等，即：1﹣3a＝7，
∴﹣3a＝7﹣1，即﹣3a＝6，
解得：a＝﹣2．
故选：D．
5．B
【解答】解：∵，
∴，
∴x＝3，
故选：B．
6．D
【解答】解：若，
则a﹣5≤0，
解得a≤5，
故选：D．
7．B
【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，
故选：B．
8．A
【解答】解：b（1），a＝1，
∴a与b互为相反数．
故选：A．
9．D
【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：，
∴正方形②的边长为：，
∴正方形③的边长为：，
∴正方形③的面积为：．
故选：D．
10．A
【解答】解：由条件可知a≥0且a≠0，
∴a＞0，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选：A．
11．B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0．
∴，无意义，
∴A的结论不正确；
∵1，
∴B的结论正确；
∵b，
∴C的结论不正确；
∵ab，
∴D的结论不正确，
故选：B．
12．B
【解答】解：根据题意可知x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
所以①正确；
由N2﹣M2＝1，得1，
解得x＝2．
经检验，x＝2不是原方程的根，
∴原方程无解，
∴不存在．
所以②不正确；
根据题意，得N2+M21，
∵M2+N2是一个整数，
∴（x﹣2）2＝1或（x﹣2）2＝2，
解得x＝3或x＝1或x＝2或x＝2，
∵x为无理数，且x﹣1≥0，
∴x＝2，
所以③不正确；
所以正确的有1个．
故选：B．
二、填空题
13．
【解答】解：的有理化因式是．
故答案为：．
14．1＜a≤3．
【解答】解：如果果成立，
由题意可得：，
故1＜a≤3，
∴a的取值范围是1＜a≤3，
故答案为：1＜a≤3．
15．1．
【解答】解：由条件可知a﹣1≥0，a﹣2≤0，
∴原式＝|a﹣1|+|a﹣2|
＝a﹣1﹣（a﹣2）＝a﹣1﹣a+2＝1．
故答案为：1．
16．．
【解答】解：由题意可得：x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x＝2．
∴．
则 ，，
∴，
∴（x+y）2025（x﹣y）2026＝[（x+y）（x﹣y）]2025（x﹣y）
，
故答案为：．
17．2026．
【解答】解：由题可知，
a﹣2026≥0，
解得a≥2026，
∵，
∴，
∴a﹣2026＝20252，
∴a﹣20252＝2026，
故选：2026．
18．．
【解答】解：设大正方形的边长为x，
∵，，
∴，，
∴S四边形MCIE＝25，
∴，
，
，
，
∴或（舍去），
∴大正方形的边长为，
故答案为：．
三、解答题
19．解：（1）
．
（2）
＝﹣1．
20．解：（1）代入h＝600m和R≈6.4×106m到可得：
，
答：广州塔发射节目信号的传播半径为87600m；
（2）∵广州塔的高度是h1，另一座塔高为h2，
∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为，
∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为，
答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为．
21．解：（1）原式＝（1）（）
＝5﹣1
＝4；
（2）原式＝（n）（n）
＝2﹣n2．
22．解：（1）∵a，b，
∴，
，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×4
＝4；
（2）由（1）可知：ab＝1，a+b＝4，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝42﹣3×1
＝16﹣3
＝13．
23．解：（1）因为x、y都是实数，且满足y1，
则，
所以x，
则y＞1．
所以|x﹣1|
＝|x﹣1|﹣|x﹣1|
＝﹣1．
（2）因为a、b、c为△ABC的三边，
所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
所以
＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）|
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b
＝4c．
24．解：（1），
．
故答案为：，．
（2）
＝3×（10﹣1）
＝27．
25．解：（1），
∴x＝m2+5n2，y＝2mn；
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2），
∴x＝m2+3n2，4＝2mn，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴当m＝1时，n＝2，
此时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；
当m＝2时，n＝1；
此时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
∴x＝7或x＝13；
（3）①；
故答案为：1；
②
．
26．解：【基础应用】
由题意，∵，且（m+2）x+n﹣3＝0，
∴（m+2）（1）+n﹣3＝0，
∴（m+2）m﹣2+n﹣3＝0，
∴（m+2）m+n﹣5＝0．
∵m，n为有理数，
∴m+2＝0，且﹣m+n﹣5＝0．
∴m＝﹣2，n＝3．
故答案为：﹣2；3；
【进阶拓展】
由题意，∵，
∴aa+bb+c＝0．
∴a+b+c+（a﹣b）0．
∵a，b，c均为有理数，
∴a+b+c＝0，且a﹣b＝0．
∴a＝b，则2a+c＝0．
答：a与c的等量关系为2a+c＝0；
【实际应用】
由题意，∵一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为分米，
∴（2）2+a2＝（b+c）2．
∴9+4a2＝5b2+c+2bc．
∴9+a2+45b2+c+2bc．
∵a，b，c均为有理数，
∴2bc＝4．
∴bc＝2．