第十九章《二次根式》章节知识点复习题（含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第十九章《二次根式》章节知识点复习题
题型一 求二次根式的值
1．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
2．代数式的最小值为 ．
题型二 求二次根式中的参数
3．代数式的值为0时，的值为 ．
4．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
题型三 二次根式有意义的条件
5．已知，是实数，且满足，则的值为 ．
6．（1）已知x、y为实数，且，求的值；
（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：．
题型四 利用二次根式的性质化筍
7．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值．
小刚是这样解的：
第一步
第二步
第三步
…
小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程．
题型五 二次根式的乘法
9．计算：
(1)． (2)（，）．
． (4)．
10．计算下列各题：
(1)． (2)．
．
题型六 二次根式的除法
11．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
12．计算：
(1)； (2)．
题型七 二次根式的乘除混合运算
13．计算：
（1） ．
．
14．计算：
(1)． (2)．
题型八 最简二次根式的判断
15．有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型九 化为最简二次根式
17．请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
18．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型十 已知最简二次根式求参数
19．如果最简根式和是同类二次根式，则
20．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
题型十一 同类二次根式
21．当 时，两个最简二次根式和可以合并．
22．计算：
(1)； (2)．
题型十二 二次根式的加减运算
23．计算：
(1)． (2)．
． (4)．
24．计算：
(1)． (2)．
题型十三 二次根式的混合运算
25．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（ ）
A． B． C． D．
26．计算：
(1)； (2)．
题型十四 分母有理化
27．计算：
(1)； (2)；
（3）。
28．数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式．
第1个等式：
；
第2个等式：
；…
请你根据上述方法完成下列题目：
(1)计算：______________；
(2)计算：______________；
(3)计算：．
题型十五 已知字母的值，化简求值
29．已知 ，．
(1)求的值；
(2)求的值．
30．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
，
，
即，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1) ．
(2)化简：．
(3)若，
①求的值，
②求的值．
题型十六 已知条件式，化简求值
31．问题：已知，求的值．
小明是这样分析与解答的：，，
，，，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：________；
(2)若，求的值．
32．计算∶
(1)；
(2)先化简，再求值∶，其中．
题型十七 比较二次根式的大小
33．比较大小： ．
34．（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）；
（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？
题型十八 二次根式的应用
35．如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
36．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十九 复合二次根式的化简
37．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有．
例如：化简，首先把化为，这里，；
由于，即，
原式
由上述例题的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
38．像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
再如：
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；
(2)化简：；
(3)化简：．
参考答案
题型一 求二次根式的值
1．C
解：∵，，，，，，，
∴第个数为，
∴第10个数是，
故选C．
2．2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
∴
，
∴的最小值为2，
故答案为：．
题型二 求二次根式中的参数
3．3
解：∵代数式的值为0，
∴，解得：．
∴的值为3．
故答案为：3．
4．（1）解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
（2）解：①
移项，得
去根号，两边同时平方得，
即
解得：，
检验：时，方程左边右边，
∴不是原方程的解，原方程无解；
②若代数式的值等于7，即，
移项，得，
两边同时平方，得，
化简，得，
两边同时平方，得，
∴该方程无解，
∴代数式的值不能等于7．
题型三 二次根式有意义的条件
5．1
解：由二次根式有意义条件，
得
解得，
当时，．
∴．
故答案为：1．
6．解：（1）根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）根据题意得：，，
∴，，
．
题型四 利用二次根式的性质化筍
7．A
解：由数轴可知，，且，因此，
故，
∵，
∴ 原式
．
故选：A．
8．解：小刚同学未讨论的符号直接进行化简，
∴第一步是错误的
故答案为：一．
正确过程如下：
，，
可得，，
．
把，代入，
得，
的值为3．
题型五 二次根式的乘法
9．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：先化简各根式：
，，
原式
．
10．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
题型六 二次根式的除法
11．（1）解：已知，，，代入公式：
．
（2）解：已知，对公式变形得：
代入、、：
．
12．（1）解：
；
（2）解：
．
题型七 二次根式的乘除混合运算
13．
解：（1）原式
（2）原式
故答案为：①，②．
14．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
题型八 最简二次根式的判断
15．B
解：根据最简二次根式的定义分析各根式：
①： ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意；
②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意；
③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意；
④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意．
综上，是最简二次根式的有②③，共个．
故选：B．
16．C
解：由题意知，A中，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中，不是最简二次根式，故不符合要求；
C中，是最简二次根式，故符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：C．
题型九 化为最简二次根式
17．（1）解：①．
②．
③．
（2）解：把中根号外的因式移到根号内：
由有意义，得，即．
将变形为，再平方移入根号内：
原式
．
18．A
解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件．
选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②．
选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②．
选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①．
故选：A．
题型十 已知最简二次根式求参数
19．2
解：由题意，得，
解得：，
故答案为：2．
20．D
解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
题型十一 同类二次根式
21.1
解：∵最简二次根式和可以合并，
∴被开方数相同．
∴．
解得．
故答案为：1．
22．（1）解：
；
（2）
．
题型十二 二次根式的加减运算
23．（1）解：原式=
．
（2）解：原式=
．
（3）解：原式=
．
（4）解：原式=
．
24．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
题型十三 二次根式的混合运算
25．A
解：∵
又∵
∴
∴
∴数轴上最接近的是A．
故选：A．
26．（1）解：
；
（2）解：
．
题型十四 分母有理化
27．（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
28．（1）解： ，
故答案为：；
（2）解：
故答案为：；
（3）解：
．
题型十五 已知字母的值，化简求值
29．（1）解：化简，
，
故．
（2）解：原式
将，代入上式得．
故
30．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
；
题型十六 已知条件式，化简求值
31．（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵
∴
∴
∴
32．（1）解：原式；
；
（2）原式；
当时，
原式
．
题型十七 比较二次根式的大小
33．
解：，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
34．解：（1）由题意，，，
∵，
；
∵，
∴，
，，
．
，，
．
故答案为：，，．
（2）理由如下：
当，时，，
，
，
．
（3）设花圃的长为米，宽为米，
，，．
根据（2）的结论可得：，
篱笆至少需要米．
故答案为：．
题型十八 二次根式的应用
35．（1）长方形的周长
，
答：长方形的周长是；
（2）蔬菜地的面积
，
（元），
答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元．
36．A
因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选：A．
题型十九 复合二次根式的化简
37．（1）解：中，，，
由于，即，，
∴，
（2）在中，这里，，
由于，即，，
；
（3）中，这里，，
由于，即，，
，
∴．
38．（1）解：①．
②．
（2）解：设，两边平方可得：
，
所以．
则．
又因为，
所以．
（3）∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴原式．