19.2 《二次根式的乘法与除法》--二次根式的除法 （含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

19.2 《二次根式的乘法与除法》--二次根式的除法
一、单选题
1．计算的结果为（　　）
A． B．2 C．2 D．
2．下列各式从左到右的变形正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列与结果相同的是（　　）
A． B．
C． D．
4．计算：62的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．40 D．7
5．等式成立的条件是（　　）
A．x≤3 且 x≠﹣1 B．x＞﹣1
C．﹣1＜x≤3 D．x≤3
6．在下列各式中，是的有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是的有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知a1，b，则a与b的关系（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1
9．将（2﹣x）根号外面的因式移到根式里面，正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．若a，b为正有理数，则有，，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”；与互称为“有理化因式”令，利用有理化因式，可以得到如下结论，其中正确的有（　　）
①；
②若（其中b，c为有理数），则b＝3c；
③若F（43﹣m）﹣F（11﹣m）＝4，则F（43﹣m）+F（11﹣m）＝8；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．写出一个的有理化因式　 　 ．
12．计算　 　 ．
13．一个长方形的面积为12，其中一边长为，则另一边长为　 （结果化为最简二次根式）．
14．若mn＞0，m+n＜0，则化简　 ．
15．化简： 　 　 ．
三、解答题
16．（1）35； （2）（）÷（）．
（3）（﹣5）； （4）．
17．已知，且x为偶数，求的值．
18．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：、等等
（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；
（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
19．创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了令世界震惊的具有超强创新能力的智能机器人以及AI助手DeepSeek，其创始人分别为王兴兴，梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小慧猜想出了一个新的问题：两个数比值的算术平方根与这两个数的算术平方根的比值可能存在相等关系？小慧用自己的方法进行了验证：因为，而，所以．
请你根据小慧的猜想，解答下列问题．
（1）比较大小：　 　 （填“＞”“＝”或“＜”）．
（2）当a≥0，b＞0时，直接写出和之间的关系．
（3）运用（2）的结论，计算：
①．
②已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽．
（4）直接写出的值．
20．阅读下面问题：，
，
，
【问题探究】
（1）根据以上信息，化简： 　 ．
【应用结论】
（2）利用以上规律，计算：．
【拓展应用】
（3）如果有理数a，b满足，试求：的值．
参考答案
一、单选题
1．B
【解答】解：原式2．
故选：B．
2．B
【解答】解：①（a≥0，b≥0），原变形错误；
②（a≥0，b＞0），原变形错误；
③，变形正确；
④，变形正确；
所以从左到右的变形正确的有2个，
故选：B．
3．A
【解答】解：2．
故选：A．
4．D
【解答】解：62
＝6
＝7．
故选：D．
5．C
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0且1+x＞0，
解得：﹣1＜x≤3．
故选：C．
6．A
【解答】解：根据有理化因式的概念逐项分析判断如下：
A．，结果不带根式，符合题意．
B．，结果带根式，不符合题意．
C．，结果带根式，不符合题意．
D．，结果带根式，不符合题意．
故选：A．
7．C
【解答】解：A、，结果不含根式，不符合题意；
B、，结果不含根式，不符合题意；
C、，结果仍含根式，符合题意；
D、，结果不含根式，不符合题意．
故选：C．
8．A
【解答】解：∵b，∴a＝b．
故选：A．
9．D
【解答】解：∵0，则x﹣2＞0，
∴（2﹣x）（x﹣2），
故选：D．
10．D
【解答】解：①
，故该结论正确，符合题意；
②
，
∴，
解得，
∴可有b＝3c，故该结论正确，符合题意；
③∵F（43﹣m）﹣F（11﹣m）＝4，
∴[F（43﹣m）﹣F（11﹣m）][F（43﹣m）+F（11﹣m）]
＝（）（）
＝（43﹣m）﹣（11﹣m）
＝32，
∴F（43﹣m）+F（11﹣m）＝8，故该结论正确，符合题意；
④∵
，故该结论正确，符合题意．
综上所述，结论正确的有4个．
故选：D．
二、填空题
11．（答案不唯一）
【解答】解：∵ 2a+b，
∴的有理化因式为，
故答案为：（答案不唯一）．
12．．
【解答】解：
＝4
．
故答案为：．
13．．
【解答】解：设另一边长为a，由长方形面积公式得：
；
故答案为：．
14．﹣m．
【解答】解：∵mn＞0，m+n＜0，
∴m＜0，n＜0，
∴
＝﹣m，
故答案为：﹣m．
15．9．
【解答】解：原式
＝﹣1+10
＝9．
故答案为：9．
三、解答题
16．（解：（1）35
5
；
（2）（）÷（）
3
＝﹣9x2y．
（3）（﹣5）
；
（4）
．
17．解：∵，
∴，
由①得：x≤9，
由②得：x＞6，
∴不等式组的解集为：6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8，
∴x+1＞0，x﹣4＞0，
∴
＝2．
18．解：（1），
验证：5；
（2）规律：（n为正整数，n≥2），
证明：n．
19．解：（1）由材料知，，
故答案为：＝；
（2）当a≥0，b＞0时，；
（3）①；
②由题意列式得：，
则这个长方形的宽为；
（4）原式45．
20．解：（1）原式
．
故答案为：；
（2）原式
＝2026﹣1
＝2025；
（3）∵，
∴b﹣1≥0且b﹣1≤0，
解得b＝1，
故a﹣2＝0，
解得a＝2．
∴
，
∵
∴
．