第十九章《二次根式》单元测试卷 （含答案）初中数学人教版（2024）八年级下册

第十九章《二次根式》单元测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．若是二次根式，则a的值不能是（　　）
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0
C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1
4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知x、y为实数，且，求的值为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．13
7．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　）
A．（22）a2 B．a2 C．a2 D．（3﹣2）a2
8．使式子成立的条件是（　　）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
9．已知a，b，则a与b的关系是（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
10．已知：，，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　）
A．6 B．24 C．42 D．96
11．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．0.5
12．观察下列计算： （1）＝（1）（1）＝1，
（）（1）＝[（1）+（）]（1）＝2，
（）（1）＝[（1）+（）+（）]（1）＝3，
…
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：
（）（1）的值为（　　）
A．2008 B．2010 C．2011 D．2009
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．比较大小：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．化简　 　 ．
15．若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是　 　 ．
16．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y2．例如：9◎3232，则6◎8＝　 　 ．
17．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为　 　 ．
18．任意一个四位正整数m＝abcd，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为m′，其中，若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
20．（8分）已知和是相等的最简二次根式．
（1）求a，b的值；
（2）求的值．
21．（8分）已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：．
22．（8分）一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
23．（10分）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
①
②
③
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知，
（1）求x+y，xy的值；
（2）求x2+y2﹣xy的值．
24．（10分）数学课代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与（a＞0，b＞0）的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”，运用“转化”的数学思想作为问题解决的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数a和b，如果a≥b，那么；反之，如果，那么a≥b．
【知识应用】
（1）阅读下面的解题过程，并填空：
∵（）2＝　 　 ，（）2＝　 　 ，
∴（）2　 　 （）2．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
∵，，
∴　 　 ．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
【猜想证明】
（2）判断与（a＞0，b＞0）的大小关系，并证明．
25．（10分）现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B．
（1）原长方形纸片的长为　 　 cm，宽为　 　 cm；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
26．（10分）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ．
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．
∴，
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：若是二次根式，则a≥0，
所以a的值不能是﹣2，
故选：C．
2．C
【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意；
B、±a，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、a+b，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
3．C
【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0，
即m≥﹣1，且m≠1，
∴m的取值范围是m≥﹣1，且m≠1，
故选：C．
4．A
【解答】解：2，
∵最简二次根式与可以合并，
∴m﹣1＝2，
解得m＝3，
∴．
故选：A．
5．D
【解答】解：∵2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故选：D．
6．C
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：x﹣9≥0，9﹣x≥0，
解得：x＝9，
∴y＝0﹣0+4＝4，
∴，
故选：C．
7．A
【解答】解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为x，即正八边形的边长为x，
依题意得x+2x＝a，则x，
∴正八边形的面积＝a2﹣4（22）a2．
故选：A．
8．B
【解答】解：由题意得：，
解得：a＞5．
故选：B．
9．A
【解答】解：b，a，
故选：A．
10．A
【解答】解：由已知得a﹣3，b﹣3，
两式平方，整理得a2﹣6a＝﹣7，b2﹣6b＝﹣7，
原式＝[3（a2﹣6a）+15][2（b2﹣6b）+13]
＝[3×（﹣7）+15][2×（﹣7）+13]
＝6．故选A．
11．A
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
∴S1，
故选：A．
12．D
【解答】解：由题意得：（）（1）＝2009．
故选：D．
二、填空题
13．＞．
【解答】解：原式
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：＞．
14．．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
15．．
【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得，
解得：，
∴a＝4．
∴，
∴b+2＝0，
∴b＝﹣2，
∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∴6的算术平方根是，即a﹣b的算术平方根是．
故答案为：．
16．．
【解答】解：∵x◎y2，
∴6◎8
2
＝34
，
故答案为：．
17．﹣3a．
【解答】解：根据题意可知，，
则，a+b＜0，，，
原式＝﹣a﹣（a+b）a+（b）＝﹣3a．
故答案为：﹣3a．
18．9316．
【解答】解：由题意知，m＝1000a+100b+10c+d，m'＝1000c+100d+10a+b，
∴F（m）10a+b﹣10c﹣d＝20a+2b﹣109
∴F（m）+4a+10b+1＝20a+2b﹣109+4a+10b+1＝24a+12b﹣108＝12（2a+b﹣9），
∴2，
∵为整数，
∴2a+b﹣9＝3或2a+b﹣9＝12，
由题意知，当a值最大时，m的值最大，
当2a+b﹣9＝3时，最大的a值为5，此时b＝2，m的最大值为5257；
当2a+b﹣9＝12时，最大的a值为9，此时b＝3，m的最大值为9316；
∵5257＜9316，
∴满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316，
故答案为：9316．
三、解答题
19．解：（1）
＝2
；
（2）
2
＝2﹣4；
（3）
＝﹣1﹣223﹣2
＝﹣6；
（4）．
＝13﹣6﹣（8﹣41）
＝7﹣8+41
＝42．
20．解：（1）∵和是相等的最简二次根式，
∴．
解得，，
∴a的值是0，b的值是2；
（2）2．
21．解：∵，
∴，
∴，
，
当a，b＝2时，
原式．
22．解：（1）周长
，
（2）当x＝20时，周长，
（或当x时，周长等）
23．解：（1）先对x、y分别进行分母有理化，分母有理化可得：
，
，
∴，
∴，
（2）原式＝（x+y）2﹣3xy
＝12﹣3
＝9．
24．解：（1）∵（）2＝2+23＝5+2，（）2＝2+3＝5，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：55，＞，＞；（2），
证明：∵a＞0，b＞0，，
∵，，
∵20，
∴，
∴．
25．解：（1）依题意，正方形纸片A的边长为；
正方形纸片B的边长为，
∴，
原长方形纸片的长为cm，宽为cm．
故答案为：7，4；
（2）∵长方形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
（3）不能截出，理由如下：
∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片．
26．解：（1）m＝6，n＝5．
∵1+5＝6，1×5＝5，
∴（）2+（）2＝6，，
∴1．
（2）∵．
∴m＝13，n＝40，
∵5+8＝13，5×8＝40，
∴（）2+（）2＝13，，
∴2．
（3）BC．
∵，
∴m＝16，n＝48，
∵4+12＝16，4×12＝48，
∴（）2+（）2＝16，，
∴BC22．