苏科版七年级数学下册第8章 整式乘法 单元测试卷（含答案）

第8章《整式乘法》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）
1．下列算式中，能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（ ）
A． B．
C． D．
3．如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A．10 B． C．20 D．
4．若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．6
5．已知，，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（ ）
A． B． C．5 D．6
7．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（ ）
A．512 B．1024 C．2048 D．4096
8．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7
9．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（ ）
A．58 B．60 C．62 D．64
10．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）
11．计算： ．
12．若，，则 ．
13．已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ．
14．已知，则 ．
15．设，，其中为实数，则与的大小关系是
16．在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则 ．
17．观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算：的值是 ．
18．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共64．）
19．（6分）化简：
(1)； (2)．
20．（6分）先化简，再求值：，其中，．
21．（6分）已知：，．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
22．（8分）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形．
(1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ；
(2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
23．（8分）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料；阅读材料：若，求m、n的值．
解：，，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，则______，______；
(2)已知，求a，b的值；
(3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
24．（8分）问题提出
在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你
能求代数式的最大值吗？
初步思考
同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：
解：
，
因为，
所以．
所以当时，的值最大，最大值是0．
所以当时，的值最大，最大值是4．
所以的最大值是4．
根据上面的经验，求代数式的最大值．
推广运用
某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量）
25．（10分）阅读理解并解答：
我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：①，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式的最小值是2；
②，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式存在最小值－7．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______；
(2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
26．（12分）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
x … 0 1 2 …
… 9 7 5 3 a …
… 2 5 8 11 b …
【初步感知】______；______；
【归纳规律】表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就______；
【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小3：______；
若要求x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为你能找到这样的满足条件的代数式吗？请直接写出这个代数式______；
【计算验证】当x的值从a增加到时，猜想关于x的代数式（为一次项的系数），且的值会怎样变化，并通过计算加以说明；
【模型应用】某商店销售一种商品，每件进价为20元，当售价为40元时，每天仅能售出20件．若商店作降价促销，发现每降价1元，可多售出2件．当售价为______正整数元时，每天的销售利润最大．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，符合题意；
C、，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
D、，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
故选：B．
2．C
解：∵正方形中，，
梯形中，，
∴关于、的恒等式为：．
故选：C．
3．B
解：
，
，
解得：，
故选：B．
4．D
解：，
展开式中不含项，
，
，
故选：D．
5．C
解：∵，，
∴，
故选：C．
6．D
解：∵，
∴，，
∵m，n为正整数，
∴，时，；
，时，；
，时，；
，时，；
∴k的值可能是5，，，1．
故选：D．
7．B
解：由题可知，
展开式中所有项的系数为1；
展开式中所有项的系数为；
展开式中所有项的系数为；
展开式中所有项的系数为；
展开式中所有项的系数为；
…
得出规律：展开式中所有项的系数为，
∴展开式中所有项的系数和为：，
故选：B．
8．A
解：由题意可知，大长方形的长为，宽为，
则其面积为；
由图可知，A类卡片面积为 ，B类卡片面积为，C类卡片面积为，由大长方形的面积多项式可知，的系数为2，的系数为4，的系数为9，则需要A类卡片2张，B类卡片4张， C类卡片9张．
故选：A.
9．D
解：设两个连续奇数是和（其中取正整数），
，
由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数．
58、60、62都不是8的倍数，
它们不是“创新数”，
64是8的倍数，且，
64是“创新数”．
故选：D．
10．B
解：∵①，
②，
③，
…，
，
．
，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环．
，
的末位数字为，
的末位数字为，
即的计算结果的末位数字为．
故选：B．
二、填空题
11．
解：，
故答案为：．
12．8
解：，
故答案为：8．
13．
解：
，
，
由于乘积中不含项和项，
则,
解得,
因此，
故答案为：．
14．14
解：由，可知，
两边同除以得，
即．
则，
即，
所以．
故答案为：14．
15．
解：∵，，
∴
，
∴，
即，
故答案为：．
16．
解：由题意可得：
，
，
由得，
解得：，
故答案为：．
17．
解：由题中规律可得，当时，
，
即，
即，
即，
即．
故答案为：．
18．
由知，
即，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．解：
，
当，时，
原式
．
21．（1）解：∵，，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴或．
22．（1）解：图（b）中阴影部分的面积，图b中阴影部分的面积，
∴等式为；
（2）①由（1）知，，
当时，，
解得：；
②令，
∴，
，
∵9=a2+b2+2，
，
即．
23．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
（2）解：∵，
∴
∴，
∴，，
解得，；
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
24．解：
因为，
所以，
∴当时，的值最大，最大值为14，
设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为225，
即当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元．
25．（1）解：，
，
当，即时，代数式取得最小值，最小值为．
故答案为：3，3；
（2）解：
，
，；
当，即时，有最大值，最大值；
（3）解：由得；
则，
当时，取得最小值，最小值为．
26．解：【初步感知】当时，，
，
当时，，
，
故答案为：1，14；
【归纳规律】当时，，
当时，，
当时，，
……
的值的变化规律是：x的值每增加1，的值增加3，
故答案为：增加3；
【问题解决】代数式，
当时，，
当时，，
……
的值每增加1，代数式的值就减小3，
代数式，
当时，，
当时，，
……，
的值每增加1，代数式的值就增加5，
当时，，
代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加5，且当时，代数式的值为，
故答案为：（答案不唯一），；
【计算验证】猜想：代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k，
当时，，
当时，，
，
代数式的x的值每增加1，代数式的值就增加k；
【模型应用】设售价为x元，
根据题意得：每天销售利润
，
，
∴，
当时，每天销售利润有最大值，最大值为450，
故答案为：．