第八章《 整式乘法》单元测试卷（含答案）初中数学苏科版（2024）七年级下册

第八章《 整式乘法》单元测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
3．已知代数式，不论取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
4．两个连续奇数的平方差不一定是（ ）
A．2的倍数 B．4的倍数 C．8的倍数 D．16的倍数
5．如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．2 B． C．12 D．1
6．若可以配成一个完全平方公式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7.有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．29 B．25 C．18 D．24
8．小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ）
小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为．
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
9．已知， 则的值是（　　）
A．4 B． C．8 D．
10．李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）
11．计算： ．
12．如果，则的值为 ．
13．要使的展开式中不含项，则a的值为 ．
14．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如：，，则8，16均为“美好数”，在不超过2025的正整数中，所有的“美好数”之和的末尾数字为 ．
15．观察下列各式：
；；
；
根据规律计算：的值是 ．
16．若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ．
17．已知，，，那么代数式的值是 ．
18．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共64分．）
19．（6分）计算
(1)． (2)
20．（6分）已知，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)
21．（6分）先化简，再求值：，其中x，y满足．
22．（8分）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，；所以，；所以，；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则___________；
【类题探究】
（2）若满足．求的值．
23．（8分）完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)如图， ABC是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求 ABC的面积．
24．（8分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，
如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如：
第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；
第四行的数1，3，3，1，对应展开式中的系数等．
利用上面的规律，完成以下问题：
(1)的展开式为 ；
(2)计算：；
(3)若（a、b为常数）的展开式中不含和的项，求a、b的值；
(4)若今天是星期一，经过天后是星期 ．
25．（10分）阅读下列材料：
我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
可知当时，有最小值，最小值是．
再例如；求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值，最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
26．（12分）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：___________；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；
(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．A
解：
，
故选：A．
3．A
解：
，
∵,
∴，
即无论取任何值，的值都大于等于，一定是正数．
故选：A．
4．D
解：设两个连续奇数为，
则它们的平方差为，
，
，
∴两个连续奇数的平方差不一定是16的倍数﹒
故选：D
5．B
解：，
的乘积中不含x的一次项，
，
解得，
故选：．
6．B
解：可以配成一个完全平方公式，
，
，
，
故选：B．
7．A
解：设正方形，的边长各为，，
得图1中阴影部分的面积为：，
解得：或（舍去），
图2中阴影部分的面积为，
可得：，
解得：或（舍去）；
图3阴影部分的面积为：，
；
故选：A．
8．C
解：设，，
则，
∵，
∴，
即，
∴，
∴有最小值为，
故选：C．
9．D
解：∵，
∴
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
10．D
解：
故选：D．
二、填空题
11．
解：，
，
．
故答案为：．
12．
解：，
，
将代入，
原式．
故答案为：．
13．
解：，
要使的展开式中不含项，
．
解得
故答案为：．
14．8
解：依题意设连续的两个奇数为，，
∴
解得：
在不超过2025的正整数中，“美好数”共有253个，它们之和为
，
∴所有的“美好数”之和的末尾数字为8．
故答案为：8
15．
解：由题意：，
根据题干规律，令，
；
故答案为：．
16．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵无论t为何值，的值始终为定值，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．3
∵，，，
则
．
故答案为：3．
18．
解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴．
21．解：
∵，即，
∴，，
解得，，
将，，代入原式．
22．解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：3；
（2）设，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为．
23．（1）解：∵，
，
即，
又 ∵，
．
（2）解：①∵，，
∴，
故答案为：29；
②∵，，
∴，
∴，
故答案为：8；
（3）解：设，则，
由可得，，则，
∵，
∴，
，
，
．
24．（1）解：根据规律写出第五行数字，即的展开式的各项系数.
故答案为:：；
（2）由题意得：
（3）
（a、b为常数）的展开式中不含和的项
，解得；
（4），
除以7余数为1，
若今天是星期一，经过天后是星期二．
故答案为：二．
25．（1）解：由题意得，，
对于任意实数x都有，
∴，
当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：．
（2）解：由题意，∵
，
当，时，M有最小值，最小值为；
（3）解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，
，
当时，S有最大值，最大值是，
围成的菜地的最大面积是．
26．（1）解：原式
=；
故答案为：
（2），
，
，
解得：，
、、是 的三边长，
，
又是整数，；
边长的最小值是5；
（3）
，
，；
，
当 时, 即 时，取得最大值为16．