第七章《幂的运算》单元测试卷（含答案）初中数学苏科版（2024）七年级下册

第七章《幂的运算》单元测试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（　　）
A．6 B．9 C．16 D．27
3．若，，，则a，b，c的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
4．若，，用含a，b的式子表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
6．对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论：
若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，为实数，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）
9．计算： ．
10．如果，那么的值为 ．
11．计算： （为正整数）．
12．下面是一名学生所做的4道练习题：①；②；③；④，他做对的是 （填序号）
13．若，则x的值为 ．
14．若，，，则 ．
15．在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ．
16．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ．
三、解答题（本题共10小题，共68分．）
17．（5分）计算：
(1)； (2)．
18．（5分）已知，求的值．
19．（5分）一滴水约为，有一个未拧紧的水龙头每分钟大约漏水50滴水，问：该水龙头一天大约漏水多少立方米？（结果用科学记数法表示）
20．（6分）将幂的运算逆向思维可得，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)若，，求的值；
(2)若，求x的值．
21．（6分）观察下列各式：
………………①；
………………②；
………………③；
……
探索以上式子的规律：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(3)计算．
22．（6分）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系：
解：∵，，且
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C． 幂的乘方 D．积的乘方
(2)已知，，，，试比较，的大小．
23．（8分）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在．
类型一：简便计算
（1）______；
类型二：代数式求值
（2）若，，则______；
类型三：解方程
（3）解关于x的方程：．
24．（8分）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题：
(1)若，求x的值．
(2)若，求x的值．
(3)若，，用含m的代数式表示 ．
25．（9分）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
+（，，，），理由如下：
设，，则，，
∴，由对数的定义得．
又∵，
∴ +．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：①________，②________；
(2)求证：（，，，）；
(3)拓展运用：计算．
26．（10分）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则，；
(2)根据运算性质，填空：______．（a为正数）
(3)若，分别计算，．
参考答案
一、选择题
1．C
解： ．
故选：C．
2．B
解：原式可化为：
由，代入得：
因此，．
故选：B．
3．A
解：，
，
，
∴．
故选：A ．
4．C
∵，，
∴，
故选C．
5．C
解：由题意可知，调整后三只袋中的球数：
甲袋：个，乙袋：个，丙袋：个，
一共有个球，且调整后三只袋中球的个数相同，
调整后每只袋中球数为：（个），
，，
，，
．
故选：C．
6．C
解：由题意知，，时，
，故①正确；
∵
当时，，故②不正确；
∵，，
∴，故③正确；
当a、b互为相反数且都为0时，，
∵无意义，任何不为零的数的0次方等于1，故④错误；
故选C．
7．B
解：∵，，
，，
∴，
∴，
∴，
，
故选：B．
8．C
解：，，
，
故选：C．
二、填空题
9．4
解：，
故答案为：4．
10．9
解：∵，
∴ ，
则，
故答案为：9．
11．
解：
，
由于为正整数，为偶数，故，
∴原式．
故答案为：．
12．①④
解；①，原式计算正确；
②，原式计算错误；
③，原式计算错误；
④，原式计算正确；
∴他做对的是①④，
故答案为：①④．
13．或1或0
解：根据，可分为以下三种情况，
①当底数时，解得，此时指数，即，符合题目要求；
②当底数时，解得，此时指数为偶数，即，符合题目要求；
③当指数时，解得，此时底数，故，符合题目要求；
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
14．3
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
15．
解：前个补给站能量包的总数为
（千个），
（为正数），
，
，
故答案为：，．
16．
解：由题意知，卡片数字为，，，，，，……
∵三张卡片上的数字乘积为，
∴使三数之和最大的三个数为，，，
∴，
∴使三数之和最小的三个数为，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：
．
18．解：∵，
∴.
19．解：；
答：该水龙头一天大约漏水立方米．
20．（1）解：，，
；
（2），
，即，
解得：．
21．（1）解：∵………………①；
………………②；
………………③；
……
∴第个等式是；
（2）解：
依题意，第n个等式：，
∴成立；
（3）解：由(2)得
．
22．（1）解：由运算郭晨易看出运用的幂的乘方的公式，
故答案选：C
（2）解：∵，
且
又，
23．（1）解：原式．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：14．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
24．（1）解：，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
故答案为：．
25．（1）解：①，
故答案为：5；
②，
故答案为：0；
（2）证明：设，，则，，
∴，由对数的定义得．
又∵，
∴（，，，）．
（3）解：
=
．
26．（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：1，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．