28.1《锐角三角函数》---特殊角的锐角三角函数值 同步练习（含答案）初中数学人教版九年级下册

28.1《锐角三角函数》---特殊角的锐角三角函数值
一、单选题
1．计算2cos45°的结果是（　　）
A． B．2 C．4 D．
2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（　　）
A． B．1 C． D．
3．已知0°＜∠α＜90°，sinα＝cos30°，那么∠α为（　　）
A．30° B．45°
C．60° D．以上答案都不对
4．3tan30°﹣sin60°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．0
5．在△ABC中，若，则∠C的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知α为锐角，且sin（α﹣10°），则α等于（　　）
A．70° B．60° C．50° D．30°
7．在△ABC中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（　　）
A．∠A＝30° B．∠B＝30°
C．△ABC是等边三角形 D．△ABC是直角三角形
8．已知△ABC中，sinA，tanB＝1，则△ABC的形状（　　）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．无法确定
9．已知△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③，；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　）
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
二、填空题
11．计算：|1﹣tan60°|＝　　 ．
12．在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝　　 ．
13．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若满足|2sinA|+（tanB﹣1）2＝0，则△ABC是　　 三角形．
14．已知：△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，边，且满足，则边c的长为 　　 ．
15．定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝60°，β＝45°时，，则sin15°的值为　 ．
三、解答题
16．计算：
（1）4cos30°+20220；
（2）已知α为锐角，sin（α+15°），计算4cosα+tanα+（）﹣1的值．
17．计算：
（1）；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝24，求BC的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值．
（2）若，BC＝6，求△ABC的周长．
19.在如图的直角三角形中，我们知道sinα，cosα，tanα，
∴sin2α+cos2α1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα，求的值．
20．若α为锐角．
（1）求证：
①sinα＝cos（90°﹣α）；
②sin2α+cos2α＝1．
（2）试求：sin21°+sin22°+…+sin245°+…+sin288°+sin289°的值．
参考答案
一、单选题
1．A
【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
2．A
【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴sinC＝sin30°．
故选：A．
3．C
【解答】解：∵0°＜∠α＜90°，sinα＝cos30°，
∴sinα，
∴∠α＝60°，
故选：C．
4．B
【解答】解：3tan30°﹣sin60°
＝3
，
故选：B．
5．D
【解答】解：由题意得，sinA，cosB．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故选：D．
6．A
【解答】解：∵sin（α﹣10°），
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选：A．
7．C
【解答】解：∵sinA，
∴∠A＝60°；
又∵tanB，
∴∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故选：C．
8．C
【解答】解：由sinA，得∠A＝30°，
tanB＝1，得∠B＝45°，
∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故是钝角三角形，
故选：C．
9．B
【解答】解：根据三角形内角和是180°逐项分析判断如下：
条件①：∠A+∠B＝∠C，代入得∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，能确定直角三角形；
条件②：设∠A＝k、∠B＝2k、∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，则k＝30°，∠C＝90°，能确定直角三角形，符合题意；
条件③：，则∠A＝45°，，则∠B＝30°，则∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°≠90°，不能确定直角三角形，不符合题意；
条件④：设∠A＝k、∠B＝2k、∠C＝3k，则k+2k+3k＝180°，则k＝30°，∠C＝90°，能确定直角三角形，符合题意；
条件⑤：设∠A＝∠B＝k，则∠C＝2k，则k+k+2k＝180°，则k＝45°，∠C＝90°，能确定直角三角形，符合题意；
故选：B．
10．C
【解答】解：A、α＝60°，β＝45°，
α＞β，则y＝sinα；
B、α＝30°，β＝45°，
α＜β，则y＝cosβ；
C、α＝30°，β＝30°，
α＝β，则y＝sinα；
D、α＝45°，β＝30°，
α＞β，则y＝sinα；
故选：C．
二、填空题
11．1
【解答】解：|1﹣tan60°|＝|1|1．
故答案为：1．
12．75°．
【解答】解：由条件可知，，
即，，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
13．等腰直角．
【解答】解：∵|2sinA|+（tanB﹣1）2＝0，
∴2sinA0，tanB﹣1＝0，
∴sinA，tanB＝1，
∵∠A、∠B都是锐角，
∴∠A＝45°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
14．．
【解答】解：由条件可知，1﹣2cosB＝0，
∴，，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
在Rt△ABC中，，
∴．
故答案为：．
15．．
【解答】解：sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60° cos45°﹣cos60° sin45°
，
故答案为：．
三、解答题
16．解：（1）原式＝|1|﹣41
1﹣21
；
（2）∵sin60°，sin（α+15°），
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴4cosα+tanα+（）﹣1
＝241+3
＝4．
17．解：（1）原式
；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
∴，
设BC＝5x，AB＝13x，
由勾股定理得AC＝12x，
∵AC＝24．
∴12x＝24，
解得：x＝2，
∴BC＝5x＝10．
18．解：（1）∵a：c＝2：3，
∴设a＝2k，c＝3k，
∵∠C＝90°，
∴bk，
∴sinA，sinB．
（2）∵∠C＝90°，
∴sinA，
∴AB＝7.5，
∴AC4.5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝7.5+6+4.5＝18．
19.解：（1）∵sinα，cosα，tanα，
∴，则tanα；
（2）∵tanα，
∴，
∴2sinα＝cosα，
∴．
20．（1）证明：若α为锐角，
建立如上图所示的直角△ABC，∠C＝90°，∠A＝α，
①，，
∴sinα＝cos（90°﹣α）；
②∴BC2+AC2＝AB2，而，，
∴；
（2）解：sin89°＝cos1°，sin88°＝cos2°，sin46°＝cos44°，
∴原式＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+ +（sin244°+cos244°）+sin245°
．