28.2.1 解直角三角形 同步练习（含答案）初中数学人教版九年级下册

28.2.1 解直角三角形
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠ABC＝35°，AD为角平分线，则BC的长为（　　）
A．cos35° B．2cos35° C．sin35° D．2sin35°
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D为AB上一点，且DC＝DB＝5，则cos∠A的值为（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，则cosA也扩大3倍
B．若α为锐角，，则
C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）
D．△ABC的三边长为a，b，c，则
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，BD＝5，AC＝6，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
5．在下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BCA的值为（　　）
A． B． C．5 D．
6．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰△ABC是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CE⊥AB于点E，若2AE＝BE，则tan∠ACD的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点H．若cosA，CH＝1，则AH的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设∠CFD＝α，则tanα的值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．如图，每个小正方形的边长为1，点A，B、C均在格点上，则tanC的值是 　 　 ．
12．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝ 　 ．
13．在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2，那么cos∠ABC的值是 　 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，，则DC的值为 　 ．
15．如图，P是矩形ABCD对角线AC上的一个动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．若AC，且cos∠ACB，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，PC的长为 　 ．
三、解答题
16．由下列条件解直角三角形；在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知a+c＝12，∠B＝60°；
（2）b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．
17．如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝30°，BC＝a（a为常数且a≠0），延长CD到点A，使AD＝BD．
（1）求∠A的度数及tanA的值；
（2）作DE⊥AB，求DE的长．
18．如图，在菱形ABCD中，AB，．
（1）求对角线BD的长；
（2）求sin∠ABC的值．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求tan∠A的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠BCE＝∠A时，求线段CE的长．
20．（1）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，求∠α+∠β的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．
（2）已知∠α，∠β均为锐角，tanα，则∠α+∠β＝　 　 °；
（3）已知∠α，∠β，∠θ均为锐角，tanα，∠α+∠β＝∠θ，请在图2中自行构图求tanθ的值．
参考答案
一、单选题
1．B
【解答】解：由题知，
∵AB＝AC，AD为角平分线，
∴AD⊥BC，BC＝2BD．
在Rt△ABD中，
cosB．
∵AB＝1，∠ABC＝35°，
∴BD＝cos35°，
∴BC＝2BD＝2cos35°．
故选：B．
2．A
【解答】解：因为DC＝DB，
所以∠DCB＝∠B．
因为∠ACB＝90°，
所以∠DCB+∠ACD＝∠B+∠A＝90°，
所以∠ACD＝∠A，
所以AD＝CD．
因为CD＝5，
所以AD＝BD＝5，
所以AB＝10．
在Rt△ABC中，
AC，
cos∠A．
故选：A．
3．B
【解答】解：由题知，
在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，
则所得三角形与原三角形是相似的，
所以∠A的大小不变，
所以cosA不变．
故A选项不符合题意；
因为α为锐角，且，
所以．
则令sinα＝5x，cosα＝12x，
由sin2α+cos2α＝1得，
（5x）2+（12x）2＝1，
解得x（舍负），
所以sinα．
故B选项符合题意；
因为cos30°+cos45°1，cos（30°+45°）＝cos75°＜1，
故C选项不符合题意；
因为△ABC的三边长为a，b，c，但没有表明谁是直角，
所以无法表示tanA，
故D选项不符合题意．
故选：B．
4．B
【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴．
故选：B．
5．B
【解答】解：作AC边上的高BD，如图：
由图可知：，，
∴，
则，
∴，
，
故选：B．
6．D
【解答】解：设等腰△ABC的底角为x，
当顶角为2x时，有2x+x+x＝180°，解得：x＝45°；
此时，底角的余弦值为；
当顶角为时，有，解得：x＝72°；
如图所示：作AF⊥BC，CE平分∠ACB，
∵x＝72°，
∴∠CAB36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∠CAB＝36°，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝72°，∠ACE＝∠EAC，
∴BC＝CE，AE＝CE，
∴△ACB∽△CBE，
设BC＝CE＝AE＝2y，则BE＝1﹣2y，
∴1：2y＝2y：（1﹣2y），
解得：（负值舍去），
∴，
∴；
综上所述：底角的余弦值为或．
故选：D．
7．A
【解答】解：由题知，
令AE＝m，则BE＝2m，
因为∠ACB＝90°，且点D为AB的中点，
所以CD＝AD＝BD，
所以DE．
在Rt△CDE中，
CE．
因为CD＝AD，
所以∠ACD＝∠A．
在Rt△ACE中，
tanA，
所以tan∠ACD＝tanA．
故选：A．
8．C
【解答】解：如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HCBC，
∴AH，
∴sin∠ACB，
∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，
∴AE平分∠MAC，
∴∠MAE＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴sin∠EAC＝sin∠ACB．
故选：C．
9．B
【解答】解：由作图知：BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∴cosA，
∵CH＝1，
∴AB＝AC＝AH+1，
∴，
∴AH＝4．
故选：B．
10．C
【解答】解：如图所示，连接AD，AG，设AG，CF交于点O，则AG⊥CF，
由条件可知∠DAB＝∠CAG＝45°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAG+∠BAC＝180°，
∴D，A，G三点共线，
又∵AG⊥CF，
∴，
∵AB＝4，AC＝6，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．．
【解答】解：如图：
在Rt△ACD中，AD＝4，CD＝3，
∴tanC，
故答案为：．
12．或
【解答】解：如图所示：
BD3，
若高AD在△ABC内部，
CD＝BC﹣BD＝10，
∴tanC．
若高AD在△ABC外部，
CD＝BC+BD＝16，
tanC．
13．．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝AC＝3k，BC＝2k，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝k，
∴cos∠ABC，
故答案为：．
14．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴tanB＝tan∠DAC，
∴，
∵AD＝3，
∴，
∴CD，
故答案为：．
15．或．
【解答】解：由题意知⊙P只能与AD，AB相切，
如图作PM⊥AD与M，PN⊥AB于N，
∵，，
∴，
∴，
当⊙P与AD相切时，PM＝PC，
由矩形性质可知CD⊥AD，BC⊥AB，CD＝AB＝1，
∴PM∥CD，
∴△APM∽△ACD，
∴，
∵，
∴，
∴，
当⊙P与AB相切时，PN＝PC，
∵PN∥CB，
∴△ANP∽△ABC，
∴AP：AC＝PN：BC，
∵，
∴，
∴，
∴PC的长是或，
故答案为：或．
三、解答题
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a+c＝12，∠B＝60°，
∴∠A＝30°．
∴c＝2a．
∴a＝4，c＝8．
∴b4．
即：a＝4，b，c＝8，∠A＝30°；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∵sin30°，
∴bc，
∵b+c＝30，
∴c+c＝30，
解得c＝20，
则b＝10，
∴a10．
17．解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD．＝30°，
∴∠A＝15°．
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝30°，BC＝a，
∴BD＝AD＝2a，CDa．
∴AC＝AD+CD＝2aa．
∴tanA2．
（2）在Rt△ABC中，
∵AC＝2aa，BC＝a，
∴AB2a（1）a＝（）a．
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AEAB（）a．
由（1）知，tanA＝2，
∵tanA，
∴ED＝tanA AE
＝（2） （）a
a．
18．解：（1）连接AC交BD于点O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，AB，
∴BC＝AB，OA＝OCAC，OB＝ODBD，
∴∠BOC＝90°，AC＝2OC，BD＝2OB，
在Rt△OBC中，tan∠CBD，
设OC＝a，OB＝2a，
由勾股定理得：BC，
∴，
解得：a＝1，
∴OC＝a＝1，OB＝2a＝2，
∴AC＝2OC＝2，BD＝2OB＝4，
即对角线BD的长为4；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，如图2所示：
由（1）可知：AC＝2，BD＝4，
由菱形的面积公式得：S菱形ABCD＝BC AEAC BC，
∴AE，
在Rt△ABE中，sin∠ABC．
19．解：（1）过点A作BC的垂线，垂足为M，
∵AB＝AC，BC＝12，
∴BM，
则AM．
∵，
∴BD，
则AD．
在Rt△ABD中，
tan∠BAD；
（2）过点E作BC的垂线，垂足为M，
∵∠BCE＝∠A，
∴tan∠BCE＝tan∠BAC．
令EM＝24x，CM＝7x，
则CE．
∵AD，
∴CD＝10．
在Rt△BCD中，
tan∠DBC．
在Rt△EBM中，
tan∠DBC，
则，
解得x，
经检验x是原方程的解，且符合题意，
∴CE．
20．解：（1）如图所示，取格点E、F，连接BC，
，
，
∴∠α＝∠BAE，∠β＝∠CAF
，，
，
∴，AC2＝（10）2＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BAE+∠FAC＝∠α+∠β＝45°；
（2）∵∠α，∠β均为锐角，，，
∴∠α＝60°，∠β＝30°，
∴∠α+∠β＝90°；
故答案为：90；
（3）如图所示，，
∴tan∠HDG＝tanα，tan∠HDF＝tanβ，
∴∠HDG＝∠α，∠HDF＝∠β，
∴∠α+∠β＝∠HDF+∠HDG＝∠GDF；
∴，，
，
∴，
∴DG2+FG2＝DF2，
∴∠FGD＝90°，
∴，
∵∠α+∠β＝∠θ，
∴∠θ＝∠FDG，
∴．