第26章《 反比例函数》章节知识点复习题（含答案）初中数学人教版九年级下册

第26章《 反比例函数》章节知识点复习题
题型一：反比例函数的图像与性质
1．关于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．该函数图象位于第一、三象限
B．该函数图象与y轴有交点
C．该函数图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而增大
D．若该函数图象经过（a，a﹣4），则a＝﹣1
2．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　）
A．x＞0时，y随x的增大而减小
B．当1＜x＜5时，1＜y＜5
C．当﹣2≤x＜0时，y有最小值为﹣2.5
D．它的图象位于第一、三象限
3．若反比例函数y在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜2 D．k＞2
4．已知，P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数图象上，且a＜0＜b，则下列正确的为（　　）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
5．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
6．函数y的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数和y＝kx+2的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．函数y＝kx2﹣2与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
题型二：反比例函数的k的几何意义
1．如图，点A是反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴于点B，若△AOB的面积等于3，则k的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
2．如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
3．如图，A，B是双曲线上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上，顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，AB，AC分别与反比例函数的图象相交于点D，E，若四边形ODAE的面积S四边形ODAE＝5，则m的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．3
5．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝4，则S1+S3＝（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO：OB＝3：2．△ABC的面积为10，则k的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，已知反比例函数的图象上有一组点B1、B2、 、Bn，它们的横坐标依次增加1，且点B1横坐标为1．“①、②、③、 ”分别表示如图所示的三角形的面积，记S1＝①﹣②，S2＝②﹣③， ，则S1+S2+ +S2025＝（　　）
A． B．1 C． D．2
题型三：待定系数法求反比例函数
1．已知反比例函数图象经过点（3，﹣2），则反比例函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，反比例函数的图象的一个分支上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知反比例函数的图象经过点A（2，3）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）判断点B（﹣1，﹣6）是否在这个函数的图象上；
（3）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
4．某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，若长方形ABOC面积为12．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若A点横坐标为﹣3，P为反比例图象上一点，△ACP面积为9，求P点坐标．
（3）当y＞2时，直接写出x的取值范围．
题型四：反比例函数与其他函数
1．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A（﹣2，6），B（﹣6，a）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
2．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，4），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b时，x的取值范围．
3．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，3），点B（﹣3，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
4．如图，已知直线y＝x+3与双曲线的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，a），设点P（m，0），过点P作PD∥y轴，交直线y＝x+3于点D，交双曲线于点E．
（1）求反比例函数解析式；
（2）根据图象直接写出的解集；
（3）当直线PD在y轴的左侧，且线段DE的长为3时，求m的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2和反比例函数的图象相交于A（2，m）、B（n，﹣2）两点．
（1）求m，n，k的值；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）若P为x轴上一点，且S△ABP＝12，求P点的坐标．
题型五：反比例函数的实际应用
1．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I＝0.2时，R＝1000
B．I与R的函数表达式是
C．当R＞500时，I＞0.44
D．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25
2．如图，为做好校园疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是（　　）
A．每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2分钟
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是
C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25分钟后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为10分钟
3．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v（m/s）是载重后总质量M（kg）的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量M＝25kg时，它的最快移动速度v＝2m/s．
（1）求v与M之间的关系式；
（2）当其载重后总质量M＝10kg时，求它的最快移动速度v．
4．某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到800℃，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度y（℃）与时间x（min）成反比例关系．
（1）求材料停止加热后y与x的函数关系式．
（2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于480℃时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？
5．某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
（3）请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎．
6．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系，其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，OD为水面，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.3米，宽1米，其中点A，E，D均在坐标轴上，且CD⊥x轴．
（1）①求k的值；
②求出口C点到BE的距离CF的长；
（2）若滑梯BC上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于1.5米，则Q到BE的距离至少是多少米？
题型六：反比例函数的综合
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过A，B两点，连接AB，OA，OB，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，BD交OA于点C（1，2），且C为线段OA中点．
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）在反比例函数的图象是否存在一点E，使得OA⊥AE？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，一次函数y1＝﹣x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象交于点A，B，已知点A的纵坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．
3．综合与应用
【知识背景】如题1图，在反比例函数的图象上有一点A（1，2），过点A作AB⊥y轴于点B，连接OA，点C为反比例函数图象上一动点，连接OC．
【基础尝试】
（1）求反比例函数的表达式；
【深入探究】
（2）若∠AOB＝∠AOC，求点C的坐标；
（3）如题2图，若AC⊥OA，求△AOC的面积．
4．在平面直角坐标系xOy中，M为第一象限内一点，连接MO，交反比例函数的图象于点A，B为反比例函数图象上一点，连接MB并延长，交x轴的正半轴于点C，已知AM＝AO，．
（1）如图1，已知M（4，4），求k值；
（2）如图2，延长MO交反比例函数的另一支于点D，连接CD并延长，与反比例函数交于点E，F为DE中点，连接AF．
①若n＝2，A的横坐标为2，求C的坐标；
②若n＝3，A的横坐标为a，且∠DAF＝45°，求F的坐标（用含a的代数式表示）．
参考答案
题型一：反比例函数的图像与性质
1．C
【解答】解：中，k＜0，
A、函数图象分布在第二、四象限，原说法错误，不符合题意；
B、函数图象与y轴没有公共点，原说法错误，不符合题意；
C、在每一象限内，y随x的增大而增大，正确，符合题意；
D、若该函数图象经过（a，a﹣4），则a＝1或a＝3，原说法错误，不符合题意，
故选：C．
2．C
【解答】解：A、∵k＝5＞0，
∴图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，正确，不符合题意；
B、当 x＝1 时，y＝5；当 x＝5 时，y＝1；
∵y随x增大而减小，
∴当 1＜x＜5时，1＜y＜5，正确，不符合题意；
C、当﹣2≤x＜0时，
∵x＜0，y随x增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣2.5为最大值；
当x无限接近于0时，y值无限小，无最小值，错误，符合题意；
D、∵k＝5＞0，
∴图象位于第一、三象限，正确，不符合题意，
故选：C．
3．D
【解答】解：∵反比例函数y在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2，
故选：D．
4．D
【解答】解：∵反比例函数，
∴k＝﹣4＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞0，
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0，
∴n＜0＜m，
故选：D．
5．D
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，
∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣1，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
6．A
【解答】解：反比例函数y中，
∵k＝﹣3＜0，
∴双曲线位于二、四象限．
故选：A．
7．D
【解答】解：当k＞0时，
函数过第二、四象限，函数y＝kx+2过第一、二、三象限，
没有选项符合条件；
当k＜0时，
函数过第一、三象限，函数y＝kx+2过第一、二、四象限，
选项D符合题意；
故选：D．
8．C
【解答】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，反比例函数y，在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣2开口向上，与y轴交点为（0，﹣2），都不符；
②当k＜0时，反比例函数y，在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣2开口向下，与y轴交点为（0，﹣1），C符合．
故选：C．
9．C
【解答】解：由题意，a＜0，b＜0，c＞0，
∴反比例函数的图象在二，四象限，一次函数y＝﹣bx+c的图象经过一，二，三象限．
故选：C．
题型二：反比例函数的k的几何意义
1．B
【解答】解：根据反比例函数k值的几何意义可知：
k＝2S△AOB＝2×3＝6．
故选：B．
2．A
【解答】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C，连接CP，OA，OB，
∵直线l与x轴平行，
∴S△BOC＝S△BPC，AB⊥y轴，S△AOC＝S△APC，
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC＝S△AOC+S△BOC，
∵直线l与反比例函数和的图象分别交于点A和点B，
∴，
∴S△ABP＝1.5+4＝5.5，
故选：A．
3．B
【解答】解：连接AB，
由条件可知AB经过原点，
∵AC∥y轴，BD∥y轴，
∴，
假设A点坐标为（x，y），
则点B坐标为（﹣x，﹣y），
则OC＝OD＝x，
∴，，
∴四边形ADBC面积，
故选：B．
4．B
【解答】解：由题知，
因为矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上，
所以S矩形OBAC＝6．
因为点D和点E都在反比例函数的图象上，
所以．
又因为S四边形ODAE＝5，
所以，
解得m＝2．
故选：B．
5．A
【解答】解：设反比例函数解析式为，由条件可设OA＝n，AB＝2n，BC＝3n，
得到OB＝3n，OC＝6n，
故，，，
，
解得k＝12，
故，，，
故，，
故，
故，，
故S1＝2；S3＝8，
故S1+S3＝8+2＝10；
故选：A．
6．C
【解答】解：如图，连接OA，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＞0，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∵CO：OB＝3：2，
∴S△OAC：S△OAB＝3：2，
∴S△OAB：S△ABC＝2：5，
∵△ABC的面积为10，
∴，即，
解得：k＝8．
故选：C．
7．A
【解答】解：∵，
∴B1（1，2）、B2（2，1）、；以此类推，．
观察图形，每个三角形的底为1（横坐标依次增加1），高为对应点的纵坐标．
∴．
．
．
以此类推，三角形k的面积为．
根据题意，，， ，．
∴
．
故选：A．
题型三：待定系数法求反比例函数
1．A
【解答】解：由题意知，k＝﹣2×3＝﹣6．
则反比例函数的解析式为：y．
故选：A．
2．B
【解答】解：∵△ABO的面积是1，
∴，
|k|＝2，
k＝±2，
∵点A在第一象限，点B在y轴上，
∴k＝2，
∴反比例函数的表达式为：，
故选：B．
3．解：（1）由条件可知，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为．
（2）在中，当x＝﹣1时，，
∴点B（﹣1，﹣6）在这个函数的图象上．
（3）在中，
当x＝﹣3时，y＝﹣2，
当x＝﹣1时，y＝﹣6，
又∵k＝6＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是﹣6＜y＜﹣2．
4．解：（1）设点A（m，n），
由条件可知OB＝|m|，AB＝|n|，
∴OB AB＝12，即|m| |n|＝12，
∴|mn|＝12，
∵反比例函数图象在二、四象限，
∴mn＜0，即mn＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为．
（2）由条件可知点A的坐标为（﹣3，4），
∴AC＝3，
设点P的坐标为，
∴△ACP边AC上的高为，
∵△ACP面积为9，
∴，解得：或6，
∴点P的坐标为或（6，﹣2）．
（3）如图：作直线y＝2交抛物线于点D，即点D（﹣6，2），
由函数图象可得：当y＞2时，x的取值范围为﹣6＜x＜0．
题型四：反比例函数与其他函数
1．解：（1）由题意可得：m＝﹣2×6＝﹣12，﹣6a＝m，
∴a＝2，
∴B（﹣6，2），反比例函数的解析式是；
把A（﹣2，6），B（﹣6，2）代入一次函数y＝kx+b中，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式是y＝x+8；
（2）设y＝x+8与y轴交于点C，如图，
则当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标是（0，8），即OC＝8，
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC
＝16．
2．解：（1）把点A（2，4）代入y得，4
∴m＝8，
∴反比例函数的解析式为y，
把B（a，﹣2）代入y得，﹣2，
∴a＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣2），
把点A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b得
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）由图象可知，﹣4＜x＜0或x＞2时，kx+b，
∴kx+b时，x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞2．
3．解：（1）由题意可得：1+b＝3，
解得b＝2，
即一次函数解析式为y＝x+2，
∴n＝﹣3+2＝﹣1；
（2）记一次函数交x轴于点C，
当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），即OC＝2，
∵点A（1，3），点B（﹣3，﹣1），
∴△OAB的面积；
（3）∵点A（1，3），点B（﹣3，﹣1），
则一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围为x＞1或﹣3＜x＜0．
4．解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝x+3上，
∴a＝1+3＝4，
∴A（1，4）．
把A（1，4）代入，得：k＝4，
∴；
（2）由题意，联立，
∴或
∴A（1，4），B（﹣4，﹣1），
∴结合图象可得，不等式的解集为：x＞1或﹣4＜x＜0；
（3）如图所示，当PD在点B的右侧时，
∵点P（m，0），
∴，
∴，
∵DE＝3，
∴．
∴m＝±2，
∵当直线PD在y轴的左侧，
∴m＜0
∴m＝﹣2，
当PD在B点的左侧时，
同理可得：，
∴，
∴或（舍去），
综上所述，m＝﹣2或．
5．解：（1）把A（2，m）、B（n，﹣2）代入y1＝x+2得
m＝4，n＝﹣4；
把A（2，4）代入得k＝8，
综上，m＝4，n＝﹣4，k＝8；
（2）由（1）可知A（2，4）、B（﹣4，﹣2），
观察图象，不等式的解集是x＜﹣4或0＜x＜2；
（3）设AB与x轴交于点C，
令y1＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵S△ABP＝S△ACP+S△BCPPC （yA﹣yB）6＝12，
∴PC＝4，
∴P点坐标为（﹣6，0）或（2，0）．
题型五：反比例函数的实际应用
1．D
【解答】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：k＝220，
即函数解析式为：，故B不正确；
当I＝0.2时，即，解得：R＝1100；故A不正确；
当R＝500时，，
由图象知，当R＞500时，I＜0.44；故C不正确；
当R＝880时，；当R＝1000时，，
表明当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25；故D正确；
故选：D．
2．C
【解答】解：设喷雾阶段函数解析式为y＝kx，
由题意得8＝5k，
解得，
∴此阶段函数解析式为；
设喷雾结束后函数解析式为，
由题意得，
解得m＝40，
∴；
A．在喷雾阶段，当y＝8时，x＝5，当y＝6时，x＝3.75，共需要5﹣3.75＝1.25（min），故不符合题意．
B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故不符合题意．
C．喷雾结束后，当y＝1.6时，x＝25，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后25min学生才能进入教室，故符合题意．
D．在喷雾阶段，当y＝4时，x＝2.5，在喷雾结束后，当y＝4时，x＝10，所以每立方米空气中含药量不低于4mg的持续时间为10﹣2.5＝7.5（min），故不符合题意．
故选：C．
3．解：（1）设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且k≠0）．
将M＝25，v＝2代入，
得，
解得k＝50，
∴v与M之间的函数关系式为；
（2）当M＝10时，，
∴当其载重后总质量M＝10kg时，它的最快移动速度v为5m/s．
4．解：（1）设反比例函数的解析式为，
把（8，600）代入解析式，得m＝600×8＝4800，
故反比例函数的解析式为．
（2）将y＝800代入，
解得x＝6，
∴B（6，800），
当y＝480时，；
故加工的时长为10﹣6＝4（min）．
5．解：（1）设函数的表达式为p，
将A（0.05，120）代入得k＝6．
所以p，
（2）当p＞150kPa时，气球将爆炸，所以p≤150，即p，
解得V0.04（m3），
故为了安全起见，气体的体积应不小于0.04m3；
（3）由p与V的表达式可得，超载时轮胎体积变小，压强变大，所以超载的车辆容易爆胎．
6．解：（1）①由题意可得：
BE＝0.3×10＝3（米），OE＝1（米），
∴点B的坐标为（1，3），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝3；
②∵EF＝0.3×2＝0.6（米），
∴点C的纵坐标为0.6，
由①得：反比例函数的解析式为，
当y＝0.6时，，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，
∴点C的坐标为（4，0.9），（5，0.6），
∴CF＝5﹣1＝4（米）；
（2）若滑梯BC上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于1.5米，
当y＝1.5时，，
∴x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y≤1.5（米），
∵2﹣1＝1（米），
∴点Q到BE的距离至少是1米．
题型六：反比例函数的综合
1．解：（1）∵O（0，0），C（1，2），且点C为OA中点，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8；
（2）由（1）知k＝8，
∴反比例函数解析式为y，
∵BD⊥y轴，
∴yB＝yC＝2，
∴B（4，2），
∴BC＝3，
∴S△ABCBC （yA﹣yB）＝3；
（3）当OA⊥AE时，如图，过A作MN∥x轴交y轴于点N，过E作EM⊥MN于点M，
则∠ANO＝∠OAE＝∠AME＝90°，
∴∠OAN＝∠AEM＝90°﹣∠MAE，
∴△OAN∽△AEM，
∴，
设E（m，），则AM＝m﹣2，EM＝4，
∴，
解得m＝5，
∵m＞0，
∴m＝5，
此时E（5，）．
2．解：（1）∵点A在直线y1＝﹣x﹣3上，点A的纵坐标为1，
∴﹣x﹣3＝1，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，1）．
∵点A在反比例函数上，
∴m＝﹣4，∴．
（2）∵点B是y1＝﹣x﹣3和的交点，
∴，
∴解得或．
∵点B在第四象限，
∴B（1，﹣4），
∴由图象可得：当x＜﹣4或0＜x＜1时y1＞y2．
（3）∵一次函数y1＝﹣x﹣3的图象与y轴交于点D，
令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴D（0，﹣3）．
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴F（0，3）．
∵S△ABF＝S△ADF+S△BDF，
∴．
3．解：（1）∵点A（1，2）在反比例函数的图象上，
∴，
解得：k＝2，
∴反比例函数表达式为；
（2）如图所示，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，交OC于点I，
∵OB⊥x轴，
∴OB∥AH，
∴∠AOB＝∠OAH，
由题意可知，∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝∠OAH，
∴OI＝AI，
设I（1，m），则AI＝2﹣m，HI＝m，
在Rt△OHI中，OI2＝HI2+HO2，
∴（2﹣m）2＝m2+12，
解得：，
∴由图象可知，OC所在直线是正比例函数，
∴设OC所在直线的函数为y＝ax，
将代入y＝ax，
可得：，
解得，
∴，
联立构成方程组得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为；
（3）如图所示，过点C作MN⊥x轴，垂足为N，交BA的延长线于点M，
则∠ONC＝90°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，即∠BAO+∠MAC＝90°，
∵AB⊥y轴，
∴∠ABO＝90°，即∠BAO+∠BOA＝90°，
∴∠MAC＝∠BOA，
∵∠ONC＝∠OAC＝∠ABO＝90°，
∴∠AMC＝∠ABO＝90°，
∴△ABO∽△CMA，
∴，即AB AM＝BO CM，
设，则，AM＝c﹣1，
由A（1，2），得OB＝2，AB＝1，
∴，
整理得：c2﹣5c+4＝0，
解得：c1＝4或c2＝1（舍去），
∴点C的坐标为，
∴S△OAC＝S矩形OBMN﹣S△AOB﹣S△AMC﹣S△NOC
．
∴若AC⊥OA，△AOC的面积为．
4．解：（1）∵M（4，4），AM＝AO，
∴A（2，2），
∵A在反比例函数图象上，
∴k＝2×2＝4；
（2）①如图，过点B作BG⊥x轴于点G，过点M作MH⊥x轴于点H，
设C（x，0），则BG∥MH，
∴△CBG∽△CMH，
∵，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，A的横坐标为2，
∴，
∵AM＝AO，
∴M（4，k），
∴CH＝4﹣x，MH＝k，
∴，
∵B为反比例函数图象上一点，
∴，
∴CG＝3﹣x，
∴，
∴，
∴；
②∵AM＝AO，，
∴，
∴，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MB⊥x轴，
∴C（2a，0），
由中心对称知，
设DC解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴，
联立，得，
化简，得k（x2﹣2ax﹣3a2）＝0，
∵k≠0，
∴x2﹣2ax﹣3a2＝0，
解得x＝﹣a（舍去）或x＝3a，
∴，
∴，
∵F为DE中点，
∴，，
∴，
∴AF⊥x轴，
过点D作DI⊥AF交AF延长线于点I，
∵∠DAF＝45°，
∴△ADI是等腰直角三角形，
∴AI＝DI，
∵DI＝a+a＝2a，，
∴k＝a2，
∴，
∴．