第27章《 相似》章节知识点复习题 （含答案）初中数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第27章《 相似》章节知识点复习题 （含答案）初中数学人教版九年级下册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-20 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
第27章《 相似》章节知识点复习题
题型一：比例及其比例线段
1．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．若，则的值是（ ）
A．﹣9 B．3 C．6 D．9
4．若，则（ ）
A．﹣5 B． C．﹣5或 D．﹣5或
5．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm、3cm、4cm、1cm
B．1cm、2cm、2cm、4cm
C．1.5cm、2.5cm、4.5cm、5.5cm
D．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm
6．已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．36 B．5 C．2 D．6
7．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（ ）cm
A．15 B． C． D．
题型二：相似多边形及相似三角形的性质
1．如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，若AB＝2cm，EF＝3cm，则矩形ABCD与矩形EFGH的相似比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
2．如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN．若AB：FG＝2：3，则下列结论中正确的是（ ）
A．3∠A＝2∠F B．2∠A＝3∠F C．3DE＝2MN D．2DE＝3MN
3．如图，已知 ABCD和 ADEF相似，且 ADEF的面积是 ABCD的，则FO：EO的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若两个相似三角形的面积比是2：9，那么它们的周长比是（ ）
A．2：9 B．1：3 C． D．
5．如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边BC上，连接CF，DE，交于点G．若DE∥AC，BD＝2AD，BF＝2DF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交BC于点F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则MN的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BE＝1：3，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，连接AF并延长AF，交BC的延长线于点G，若CG＝3，则正方形的边AD长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
题型三：相似三角形的判定
1．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
2．如图，线段AC与BD交于点O，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（ ）
A．OA OC＝OD OB B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠D D．
3．如图，∠1＝∠2，从下列条件“①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；②；④.”中选择一个作为添加条件，使△ABC∽△ADE．这个条件可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C/的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝6，E是AC的中点，ED⊥AB，垂足为D．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）求AD的长．
6．如图所示，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．
（1）证明：；
（2）证明：正方形ABCD的边长是BH与DG的比例中项．
7．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD，AC于点F，E．
（1）求证：△CBF∽△ABE；
（2）若AB＝10，BC＝6，
①求CF的长度；
②直接写出△CBF的面积．
8．如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC AP；
（3）若AB＝6，AD＝8，求AP的长．
题型四：相似三角形的应用
1．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆DE的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度AB为a米，同时量得小菲与镜子的水平距离BC为b米，镜子与旗杆的水平距离CD为c米，则旗杆高度为（ ）
A．（米） B．（米） C．（米） D．（米）
2．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为50cm，物距为25cm，蜡烛烛焰倒立的像的高度是4cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．8cm B．4cm C．2cm D．1cm
3．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
4．（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
（2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度．
5．用硬纸板复制视力表中0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤．
（1）取编号为①②的两个“E”，按图（1）的方式把它们放置在水平桌面上．
（2）如图（2），将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O看去，点P1，P2，O在一条直线上为止，这时我们说在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．
我们知道，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同，请你利用图（2）写出理论依据．
（3）由标准视力表中的b1＝72mm，l1为5m，可计算出l2＝3m时，b2＝ ．
6．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度．
（1）第一小组的同学测得身高1.68米的小明影子长为2.52米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度；
（2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树AB的高度，小丽在F处竖立了一根标杆EF，小华从F处走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米，EF＝2.4米，CF＝2米，FA＝16米，点C、F、A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，求出树AB的高度．
7．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
题型五：位似及其性质
1．如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的相似比为2：3，若AC的长为6，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣8，4） B．（8，﹣4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
3．如图，一块三角板ABC与投影面平行放置，测得BC＝12cm，AC＝10cm，BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（ ）
A．24cm B．20cm C．15cm D．10cm
4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1；
（2）连接BA1、BB1，求△A1B1C1的面积．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（3，0），B（1，1），C（2，﹣1），若△A1B1C1与△ABC关于点O位似，且点A的对应点A1坐标为（6，0）．
（1）请在图中作出△A1B1C1（点B的对应点为点B1，点C的对应点为点C1）．
（2）若△ABC中BC边上的高为m，则△A1B1C1中B1C1边上的高为 （用关于m的代数式表示）．
（3）连接OB，BB1，则△OAB与四边形BB1A1A的面积比为 ．
7．△ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），请按要求完成任务：
（1）以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'．
（2）在（1）中，点A'的坐标为 ．
（3）在（1）中，若点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中对应线段P'Q'的长度为 ．
参考答案
题型一：比例及其比例线段
1．C
【解答】解：∵，
∴设b＝2k，a＝3k（k≠0），
∴，
故选：C．
2．D
【解答】解：∵，
∴可设，
∴a＝4k，b＝3k，c＝2k，
∴，
故选：D．
3．D
【解答】解：设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k．
所以．
故选：D．
4．C
【解答】解：设k，
∴a＝k（b+c），b＝k（c+a），c＝k（a+b），
∴a+b+c＝2k（a+b+c），
∴（a+b+c）（2k﹣1）＝0，
当a+b+c＝0时，
∴a+b＝﹣c，
∴；
当2k﹣1＝0时，
∴k，
∴a+b＝2c，
∴5，
∴5或．
故选：C．
5．B
【解答】解：A、4×1≠2×3，故A选项错误；
B、1×4＝2×2，故B选项正确；
C、1.5×5.5≠2.5×4.5，故C选项错误；
D、1.1×4.4≠2.2×3.3，故D选项错误．
故选：B．
6．D
【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，
则：c2＝ab＝4×9＝36，
∵c＞0，
∴c＝6
故选：D．
7．A
【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段，
∴a：b＝c：d，即1：5＝3：d，
∴d＝15（cm）．
故选：A．
题型二：相似多边形及相似三角形的性质
1．A
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，AB＝2cm，EF＝3cm，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的相似比＝AB：EF＝2：3，
故选：A．
2．C
【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN，
∴∠A＝∠F，
∴故A，B错误，不符合题意；
∵AB：FG＝2：3，
∴DE：MN＝AB：FG＝2：3，
∴3DE＝2MN，
∴C正确，符合题意，D错误，不符合题意，
故选：C．
3．C
【解答】解：∵ ABCD和 ADEF相似，且 ADEF的面积是 ABCD的，
∴，
∴AD＝2DE，CD＝2AD，
∴CD＝4DE，
∴DE：CE＝AF：CE＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOF∽△COE，
∴．
故选：C．
4．D
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是2：9，
∴它们的周长比是：3．
故选：D．
5．B
【解答】解：如图，DE∥AC，过点B作BP∥AC，交CF的延长线于点P，
∴BP∥DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，△GCE∽△PCB，
∴，，
∵BD＝2AD，AB＝BD+AD，
∴，
∴，
∴BP＝3EG，
∵BP∥DG，
∴△BFP∽△DFG，
∴，
∵BF＝2DF，
∴，
∴BP＝2DG，
又∵BP＝3EG，
∴3EG＝2DG，
∴，
故选：B．
6．C
【解答】解：延长BE交AC于点D，作DT⊥BC于点T，则∠DTC＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC10，
∵BE平分∠ABC，DT⊥BC，DA⊥BA，
∴DT＝DA，
∵sin∠ACB，
∴DT＝DADC，
∴DC+DC＝8，
解得DC＝5，
∵CE平分∠ACB，EF∥AC，
∴∠FCE＝∠ACE＝∠FEC，
∴CF＝EF，
∴BF＝BC﹣CF＝10﹣EF，
∵EF∥DC，
∴△BEF∽△BDC，
∴，
∴，
解得EF，
故选：C．
7．B
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴，
由作图过程知BP平分∠CBD，则∠CBO＝∠MBO，
∵CM⊥BP．，
∴∠COB＝∠MOB＝90°，
又∵BO＝BO，
在△BOC和△BOM中，
，
∴△BOC≌△BOM（ASA），
∴BM＝BC＝8，则DM＝BD﹣BM＝2，
∵DN∥BC，
∴△DMN∽△BMC，
∴，即，
∴DN＝2，
在Rt△CDN中，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵CE：BE＝1：3，
∴设CE＝x，BC＝3 x，则AD＝AB＝BC＝4x，
∵∠B＝90°，EF⊥AE，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
由∵∠B＝∠ECF＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，即
∴，
∵∠B＝∠FCG＝90°，∠G＝∠G，
∴△ABG∽△FCG，
∴，即，
解得：，
∴AD＝4x＝13，
故选：B．
题型三：相似三角形的判定
1．D
【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A，
当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，
都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，
故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB；
由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件时，
满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，
故添加条件C能判断△ABP∽△ACB；
当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法，
故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB．
故选：D．
2．D
【解答】解：由图可知：∠AOB＝∠DOC，
A、OA OC＝OD OB，即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意；
B、∠B＝∠C，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意；
C、∠A＝∠D，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意；
D、，不能判定△AOB与△DOC相似，故该选项符合题意；
故选：D．
3．B
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE，
当①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；④时，△ABC∽△ADE．
故选：B．
4．C
【解答】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故选：C．
5．（1）证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠EDA，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
（2）解：∵E是AC的中点，AB＝7，AC＝6，
∴，
∵△ABC∽△AED，
∴，
即，
解得．
6．（1）证明：连接AC，由正方形对角线性质可知∠ADH＝∠ACE＝∠DAC＝45°，
∴∠DAH+∠HAC＝∠DAC＝45°，
∵∠CAE+∠HAC＝∠EAF＝45°．
∴∠DAH＝∠CAE，
∴△DAH∽△CAE，
∴，
即；
（2）证明：∵∠AHB＝∠ADH+∠DAH＝45°+∠DAH，
∠GAD＝∠DAC+∠CAE＝45°+∠CAE，
又∵∠DAH＝∠CAE，
∴∠AHB＝∠GAD，
又∵∠ADG＝∠HBA＝45°，
∴△BHA∽△DAG，
∴，
∴AD AB＝BH DG，即AB2＝BH DG，
即正方形ABCD的边长是BH与DG的比例中项．
7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△CBF∽△ABE；
（2）解：①AB＝10，BC＝6，
∴，
∵△CBF∽△ABE，
∴∠BFC＝∠BEA，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
设CF＝CE＝m，则AE＝8﹣m，
∵△CBF∽△ABE，
∴，
∴，
解得m＝3，即CF＝3；
②过点E作EM⊥AB于点M，
∵∠ACB＝∠BME＝90°，BE是∠ABC的平分线，
∴CE＝ME＝3，
∴，
由（1）知，△CBF∽△ABE，
∴，
∴．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵过AC的中点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，
∴EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，CF＝AF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∵∠AEF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵EF⊥AC于点O，EP⊥AD于点E，
∴∠AOE＝∠AEP＝90°，
∵∠OAE＝∠EAP，
∴△OAE∽△EAP，
∴，
∵OA＝OCAC，
∴，
∴2AE2＝AC AP．
（3）解：∵∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝8，
∴AC10，
∵CD2+DE2＝CE2，且AE＝CE，DE＝8﹣AE，
∴62+（8﹣AE）2＝AE2，
解得AE，
由（2）得2AE2＝AC AP，
∴AP，
∴AP的长是．
题型四：相似三角形的应用
1．A
【解答】解：由题意得：AB⊥BD，CD⊥DE，如图，过点C作CF⊥BD于点C，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
根据镜面的反射性质，得：∠ACF＝∠ECF，
∴90°﹣∠ACF＝90°﹣∠ECF，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵AB为a米，BC为b米，CD为c米，
∴，
解得：DE（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴旗杆高度为米．
故选：A．
2．C
【解答】解：如图，由题意知：点O到AB的距离为25cm，点O到CD的距离为50cm，CD＝4cm，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴AB＝2（cm）．
故选：C．
3．B
【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm，
∴，
∴AC＝60，
∴AC的长为60cm．
故选：B．
4．解：（1）∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB＝15（m）．
答：建筑物AB的高度为15米．
（2）由题意得：BE1＝BD﹣DE1＝10m，BE2＝BD﹣DE2＝9m，∠CE1D＝∠GE1B，∠CE2D＝∠AE2B，
∵∠CDE1＝∠GBE1＝90°，∠CE1D＝∠GE1B，
∴△CDE1∽△GBE1，
∴，
∴，
∴GB＝7.5（m）．
∵∠CE2D＝∠AE2B，∠CDE2＝∠ABE2＝90°，
∴△CDE2∽△ABE2，
∴，
∴，
∴AB＝4.5（m），
∴AG＝BG＝AB＝7.5﹣4.5＝3（m）．
答：广告牌AG的高度为3米．
5．解：（2）∵①号“E”和②号“E”都放置在水平桌面上，
∴①号“E”和②号“E”都垂直于水平桌面，即P1A1⊥OA1，P2A2⊥OA2，
∴∠P1A1O＝∠P2A2O＝90°，
∵点P1、P2、O在一条直线上，
∴∠P1OA1＝∠P2OA2，
∴△P1OA1∽△P2OA2，
∴，
即，
∴，
∴当人离①号“E”的水平距离l1与人离②号“E”的水平距离l2，满足时，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同；
（3）由（2）得：△P1OA1∽△P2OA2，
∴，
∴b2b172＝43.2（mm），
故答案为：43.2mm．
6．解：（1）设旗杆的高度为x米，根据题意得，
解得x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
（2）如图，过点D作DP⊥AB于P，交EF于点N，
则∠PAC＝∠NFC＝∠DCF＝∠DNF＝∠DPA＝90°，
∴四边形CDPA，四边形CDNF都是矩形，
则AP＝DC＝NF＝1.6米，DN＝CF＝2米，
EN＝EF﹣NF＝2.4﹣1.6＝0.8（米），DP＝AC＝CF+AF＝2+16＝18（米），
由题意得，∠BPD＝∠END＝90°，∠BDP＝∠EDN，
∴△DBP∽△DEN，
∴，
∴，
∴AB＝8.8，
答：树AB的高度为8.8米．
7．解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，
∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
∴，
∴，
解得：x＝19.8，
经检验，x＝19.8是原方程的解，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．
题型五：位似及其性质
1．D
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，且AC：DF＝2：3，
∵AC＝6，
∴DF＝9，
故选：D．
2．D
【解答】解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是（﹣4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，
∴若A′与A在原点同侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：（4，2），即（﹣2，1），
若A′与A在原点异侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：[（﹣4），2]，即（2，﹣1），
综上所述：点A的对应点A′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
3．B
【解答】解：∵三角板ABC与阴影△A1B1C1是位似图形，
它们的位似比为，
∴，
解得：A1C1＝20cm．
故选：B．
4．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，
△A1B1C1的面积4×4＝8．
5．解：（1）∵△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴，
∴DF＝2AC＝4；
（2）∵∠O＝22°，∠ABC＝38°，
∴∠OCB＝180°﹣22°﹣38°＝120°．
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴，
∴△OBC∽△OEF，
∴∠OFE＝∠OCB＝120°．
6．解：（1）由题意得，△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）∵△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，△ABC中BC边上的高为m，
∴△A1B1C1中B1C1边上的高为2m．
故答案为：2m．
（3）∵△A1B1C1与△ABC关于点O位似，相似比为2：1，
∴．
∵∠AOB＝∠A1OB1，
∴△A1OB1∽△AOB，相似比为2：1，
∴△A1OB1与△AOB的面积比为4：1，
∴△OAB与四边形BB1A1A的面积比为1：3．
故答案为：1：3．
7．解：（1）∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，
∴△A'B'C'三个顶点的坐标分别为A'（6，﹣4）、B'（2，﹣6）、C'（4，﹣2），
依次连接三个顶点可得△A'B'C'，如图所示：
（2）∵A（﹣3，2），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，
∴A'（6，﹣4），
故答案为：A'（6，﹣4）
（3）∵点P，Q分别是线段AB，AC的中点，
∴PQ是△ABC的一条中位线，
∴，
∵相似比为2：1，
∴．
故答案为：．
题型一：比例及其比例线段
1．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．若，则的值是（ ）
A．﹣9 B．3 C．6 D．9
4．若，则（ ）
A．﹣5 B． C．﹣5或 D．﹣5或
5．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm、3cm、4cm、1cm
B．1cm、2cm、2cm、4cm
C．1.5cm、2.5cm、4.5cm、5.5cm
D．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm
6．已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．36 B．5 C．2 D．6
7．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（ ）cm
A．15 B． C． D．
题型二：相似多边形及相似三角形的性质
1．如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，若AB＝2cm，EF＝3cm，则矩形ABCD与矩形EFGH的相似比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
2．如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN．若AB：FG＝2：3，则下列结论中正确的是（ ）
A．3∠A＝2∠F B．2∠A＝3∠F C．3DE＝2MN D．2DE＝3MN
3．如图，已知 ABCD和 ADEF相似，且 ADEF的面积是 ABCD的，则FO：EO的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若两个相似三角形的面积比是2：9，那么它们的周长比是（ ）
A．2：9 B．1：3 C． D．
5．如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边BC上，连接CF，DE，交于点G．若DE∥AC，BD＝2AD，BF＝2DF，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交BC于点F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则MN的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BE＝1：3，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，连接AF并延长AF，交BC的延长线于点G，若CG＝3，则正方形的边AD长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
题型三：相似三角形的判定
1．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
2．如图，线段AC与BD交于点O，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（ ）
A．OA OC＝OD OB B．∠B＝∠C
C．∠A＝∠D D．
3．如图，∠1＝∠2，从下列条件“①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；②；④.”中选择一个作为添加条件，使△ABC∽△ADE．这个条件可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C/的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝6，E是AC的中点，ED⊥AB，垂足为D．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）求AD的长．
6．如图所示，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．
（1）证明：；
（2）证明：正方形ABCD的边长是BH与DG的比例中项．
7．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD，AC于点F，E．
（1）求证：△CBF∽△ABE；
（2）若AB＝10，BC＝6，
①求CF的长度；
②直接写出△CBF的面积．
8．如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC AP；
（3）若AB＝6，AD＝8，求AP的长．
题型四：相似三角形的应用
1．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆DE的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度AB为a米，同时量得小菲与镜子的水平距离BC为b米，镜子与旗杆的水平距离CD为c米，则旗杆高度为（ ）
A．（米） B．（米） C．（米） D．（米）
2．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为50cm，物距为25cm，蜡烛烛焰倒立的像的高度是4cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．8cm B．4cm C．2cm D．1cm
3．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
4．（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；
（2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度．
5．用硬纸板复制视力表中0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤．
（1）取编号为①②的两个“E”，按图（1）的方式把它们放置在水平桌面上．
（2）如图（2），将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O看去，点P1，P2，O在一条直线上为止，这时我们说在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．
我们知道，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同，请你利用图（2）写出理论依据．
（3）由标准视力表中的b1＝72mm，l1为5m，可计算出l2＝3m时，b2＝ ．
6．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度．
（1）第一小组的同学测得身高1.68米的小明影子长为2.52米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度；
（2）如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树AB的高度，小丽在F处竖立了一根标杆EF，小华从F处走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.6米，EF＝2.4米，CF＝2米，FA＝16米，点C、F、A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，求出树AB的高度．
7．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
题型五：位似及其性质
1．如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的相似比为2：3，若AC的长为6，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣8，4） B．（8，﹣4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
3．如图，一块三角板ABC与投影面平行放置，测得BC＝12cm，AC＝10cm，BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（ ）
A．24cm B．20cm C．15cm D．10cm
4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1；
（2）连接BA1、BB1，求△A1B1C1的面积．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
（1）若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC＝2，求DF的长；
（2）若∠O＝22°，∠ABC＝38°，求∠OFE的度数．
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（3，0），B（1，1），C（2，﹣1），若△A1B1C1与△ABC关于点O位似，且点A的对应点A1坐标为（6，0）．
（1）请在图中作出△A1B1C1（点B的对应点为点B1，点C的对应点为点C1）．
（2）若△ABC中BC边上的高为m，则△A1B1C1中B1C1边上的高为 （用关于m的代数式表示）．
（3）连接OB，BB1，则△OAB与四边形BB1A1A的面积比为 ．
7．△ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），请按要求完成任务：
（1）以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'．
（2）在（1）中，点A'的坐标为 ．
（3）在（1）中，若点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中对应线段P'Q'的长度为 ．
参考答案
题型一：比例及其比例线段
1．C
【解答】解：∵，
∴设b＝2k，a＝3k（k≠0），
∴，
故选：C．
2．D
【解答】解：∵，
∴可设，
∴a＝4k，b＝3k，c＝2k，
∴，
故选：D．
3．D
【解答】解：设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k．
所以．
故选：D．
4．C
【解答】解：设k，
∴a＝k（b+c），b＝k（c+a），c＝k（a+b），
∴a+b+c＝2k（a+b+c），
∴（a+b+c）（2k﹣1）＝0，
当a+b+c＝0时，
∴a+b＝﹣c，
∴；
当2k﹣1＝0时，
∴k，
∴a+b＝2c，
∴5，
∴5或．
故选：C．
5．B
【解答】解：A、4×1≠2×3，故A选项错误；
B、1×4＝2×2，故B选项正确；
C、1.5×5.5≠2.5×4.5，故C选项错误；
D、1.1×4.4≠2.2×3.3，故D选项错误．
故选：B．
6．D
【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，
则：c2＝ab＝4×9＝36，
∵c＞0，
∴c＝6
故选：D．
7．A
【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段，
∴a：b＝c：d，即1：5＝3：d，
∴d＝15（cm）．
故选：A．
题型二：相似多边形及相似三角形的性质
1．A
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，AB＝2cm，EF＝3cm，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的相似比＝AB：EF＝2：3，
故选：A．
2．C
【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN，
∴∠A＝∠F，
∴故A，B错误，不符合题意；
∵AB：FG＝2：3，
∴DE：MN＝AB：FG＝2：3，
∴3DE＝2MN，
∴C正确，符合题意，D错误，不符合题意，
故选：C．
3．C
【解答】解：∵ ABCD和 ADEF相似，且 ADEF的面积是 ABCD的，
∴，
∴AD＝2DE，CD＝2AD，
∴CD＝4DE，
∴DE：CE＝AF：CE＝1：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOF∽△COE，
∴．
故选：C．
4．D
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是2：9，
∴它们的周长比是：3．
故选：D．
5．B
【解答】解：如图，DE∥AC，过点B作BP∥AC，交CF的延长线于点P，
∴BP∥DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，△GCE∽△PCB，
∴，，
∵BD＝2AD，AB＝BD+AD，
∴，
∴，
∴BP＝3EG，
∵BP∥DG，
∴△BFP∽△DFG，
∴，
∵BF＝2DF，
∴，
∴BP＝2DG，
又∵BP＝3EG，
∴3EG＝2DG，
∴，
故选：B．
6．C
【解答】解：延长BE交AC于点D，作DT⊥BC于点T，则∠DTC＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC10，
∵BE平分∠ABC，DT⊥BC，DA⊥BA，
∴DT＝DA，
∵sin∠ACB，
∴DT＝DADC，
∴DC+DC＝8，
解得DC＝5，
∵CE平分∠ACB，EF∥AC，
∴∠FCE＝∠ACE＝∠FEC，
∴CF＝EF，
∴BF＝BC﹣CF＝10﹣EF，
∵EF∥DC，
∴△BEF∽△BDC，
∴，
∴，
解得EF，
故选：C．
7．B
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴，
由作图过程知BP平分∠CBD，则∠CBO＝∠MBO，
∵CM⊥BP．，
∴∠COB＝∠MOB＝90°，
又∵BO＝BO，
在△BOC和△BOM中，
，
∴△BOC≌△BOM（ASA），
∴BM＝BC＝8，则DM＝BD﹣BM＝2，
∵DN∥BC，
∴△DMN∽△BMC，
∴，即，
∴DN＝2，
在Rt△CDN中，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵CE：BE＝1：3，
∴设CE＝x，BC＝3 x，则AD＝AB＝BC＝4x，
∵∠B＝90°，EF⊥AE，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
由∵∠B＝∠ECF＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，即
∴，
∵∠B＝∠FCG＝90°，∠G＝∠G，
∴△ABG∽△FCG，
∴，即，
解得：，
∴AD＝4x＝13，
故选：B．
题型三：相似三角形的判定
1．D
【解答】解：∵△ABP与△ACB有公共角∠A，
当添加条件∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，
都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，
故添加条件A、B能判断△ABP∽△ACB；
由于AB、AP、AC、AB都是夹着∠A的边，当添加条件时，
满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，
故添加条件C能判断△ABP∽△ACB；
当添加条件时，不满足相似三角形的判定方法，
故添加条件D不能判断△ABP∽△ACB．
故选：D．
2．D
【解答】解：由图可知：∠AOB＝∠DOC，
A、OA OC＝OD OB，即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意；
B、∠B＝∠C，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意；
C、∠A＝∠D，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定△AOB与△DOC相似，故该选项不符合题意；
D、，不能判定△AOB与△DOC相似，故该选项符合题意；
故选：D．
3．B
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE，
当①∠B＝∠D；②∠C＝∠E；④时，△ABC∽△ADE．
故选：B．
4．C
【解答】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），
∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．
故选：C．
5．（1）证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠EDA，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
（2）解：∵E是AC的中点，AB＝7，AC＝6，
∴，
∵△ABC∽△AED，
∴，
即，
解得．
6．（1）证明：连接AC，由正方形对角线性质可知∠ADH＝∠ACE＝∠DAC＝45°，
∴∠DAH+∠HAC＝∠DAC＝45°，
∵∠CAE+∠HAC＝∠EAF＝45°．
∴∠DAH＝∠CAE，
∴△DAH∽△CAE，
∴，
即；
（2）证明：∵∠AHB＝∠ADH+∠DAH＝45°+∠DAH，
∠GAD＝∠DAC+∠CAE＝45°+∠CAE，
又∵∠DAH＝∠CAE，
∴∠AHB＝∠GAD，
又∵∠ADG＝∠HBA＝45°，
∴△BHA∽△DAG，
∴，
∴AD AB＝BH DG，即AB2＝BH DG，
即正方形ABCD的边长是BH与DG的比例中项．
7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△CBF∽△ABE；
（2）解：①AB＝10，BC＝6，
∴，
∵△CBF∽△ABE，
∴∠BFC＝∠BEA，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
设CF＝CE＝m，则AE＝8﹣m，
∵△CBF∽△ABE，
∴，
∴，
解得m＝3，即CF＝3；
②过点E作EM⊥AB于点M，
∵∠ACB＝∠BME＝90°，BE是∠ABC的平分线，
∴CE＝ME＝3，
∴，
由（1）知，△CBF∽△ABE，
∴，
∴．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵过AC的中点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，F，
∴EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，CF＝AF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∵∠AEF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）证明：∵EF⊥AC于点O，EP⊥AD于点E，
∴∠AOE＝∠AEP＝90°，
∵∠OAE＝∠EAP，
∴△OAE∽△EAP，
∴，
∵OA＝OCAC，
∴，
∴2AE2＝AC AP．
（3）解：∵∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝8，
∴AC10，
∵CD2+DE2＝CE2，且AE＝CE，DE＝8﹣AE，
∴62+（8﹣AE）2＝AE2，
解得AE，
由（2）得2AE2＝AC AP，
∴AP，
∴AP的长是．
题型四：相似三角形的应用
1．A
【解答】解：由题意得：AB⊥BD，CD⊥DE，如图，过点C作CF⊥BD于点C，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
根据镜面的反射性质，得：∠ACF＝∠ECF，
∴90°﹣∠ACF＝90°﹣∠ECF，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵AB为a米，BC为b米，CD为c米，
∴，
解得：DE（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴旗杆高度为米．
故选：A．
2．C
【解答】解：如图，由题意知：点O到AB的距离为25cm，点O到CD的距离为50cm，CD＝4cm，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴AB＝2（cm）．
故选：C．
3．B
【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm，
∴，
∴AC＝60，
∴AC的长为60cm．
故选：B．
4．解：（1）∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB＝15（m）．
答：建筑物AB的高度为15米．
（2）由题意得：BE1＝BD﹣DE1＝10m，BE2＝BD﹣DE2＝9m，∠CE1D＝∠GE1B，∠CE2D＝∠AE2B，
∵∠CDE1＝∠GBE1＝90°，∠CE1D＝∠GE1B，
∴△CDE1∽△GBE1，
∴，
∴，
∴GB＝7.5（m）．
∵∠CE2D＝∠AE2B，∠CDE2＝∠ABE2＝90°，
∴△CDE2∽△ABE2，
∴，
∴，
∴AB＝4.5（m），
∴AG＝BG＝AB＝7.5﹣4.5＝3（m）．
答：广告牌AG的高度为3米．
5．解：（2）∵①号“E”和②号“E”都放置在水平桌面上，
∴①号“E”和②号“E”都垂直于水平桌面，即P1A1⊥OA1，P2A2⊥OA2，
∴∠P1A1O＝∠P2A2O＝90°，
∵点P1、P2、O在一条直线上，
∴∠P1OA1＝∠P2OA2，
∴△P1OA1∽△P2OA2，
∴，
即，
∴，
∴当人离①号“E”的水平距离l1与人离②号“E”的水平距离l2，满足时，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同；
（3）由（2）得：△P1OA1∽△P2OA2，
∴，
∴b2b172＝43.2（mm），
故答案为：43.2mm．
6．解：（1）设旗杆的高度为x米，根据题意得，
解得x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
（2）如图，过点D作DP⊥AB于P，交EF于点N，
则∠PAC＝∠NFC＝∠DCF＝∠DNF＝∠DPA＝90°，
∴四边形CDPA，四边形CDNF都是矩形，
则AP＝DC＝NF＝1.6米，DN＝CF＝2米，
EN＝EF﹣NF＝2.4﹣1.6＝0.8（米），DP＝AC＝CF+AF＝2+16＝18（米），
由题意得，∠BPD＝∠END＝90°，∠BDP＝∠EDN，
∴△DBP∽△DEN，
∴，
∴，
∴AB＝8.8，
答：树AB的高度为8.8米．
7．解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，
∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
∴，
∴，
解得：x＝19.8，
经检验，x＝19.8是原方程的解，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．
题型五：位似及其性质
1．D
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，且AC：DF＝2：3，
∵AC＝6，
∴DF＝9，
故选：D．
2．D
【解答】解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是（﹣4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，
∴若A′与A在原点同侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：（4，2），即（﹣2，1），
若A′与A在原点异侧，则将A点的横纵坐标均乘以，得到点A′的坐标是：[（﹣4），2]，即（2，﹣1），
综上所述：点A的对应点A′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
3．B
【解答】解：∵三角板ABC与阴影△A1B1C1是位似图形，
它们的位似比为，
∴，
解得：A1C1＝20cm．
故选：B．
4．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，
△A1B1C1的面积4×4＝8．
5．解：（1）∵△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴，
∴DF＝2AC＝4；
（2）∵∠O＝22°，∠ABC＝38°，
∴∠OCB＝180°﹣22°﹣38°＝120°．
∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴，
∴△OBC∽△OEF，
∴∠OFE＝∠OCB＝120°．
6．解：（1）由题意得，△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）∵△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，△ABC中BC边上的高为m，
∴△A1B1C1中B1C1边上的高为2m．
故答案为：2m．
（3）∵△A1B1C1与△ABC关于点O位似，相似比为2：1，
∴．
∵∠AOB＝∠A1OB1，
∴△A1OB1∽△AOB，相似比为2：1，
∴△A1OB1与△AOB的面积比为4：1，
∴△OAB与四边形BB1A1A的面积比为1：3．
故答案为：1：3．
7．解：（1）∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，
∴△A'B'C'三个顶点的坐标分别为A'（6，﹣4）、B'（2，﹣6）、C'（4，﹣2），
依次连接三个顶点可得△A'B'C'，如图所示：
（2）∵A（﹣3，2），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，
∴A'（6，﹣4），
故答案为：A'（6，﹣4）
（3）∵点P，Q分别是线段AB，AC的中点，
∴PQ是△ABC的一条中位线，
∴，
∵相似比为2：1，
∴．
故答案为：．