第28章《锐角三角函数》章节知识点复习题 （含答案）初中数学人教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第28章《锐角三角函数》章节知识点复习题 （含答案）初中数学人教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 867.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-20 00:00:00 | ||
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文档简介
第28章《锐角三角函数》章节知识点复习题
题型一：求锐角三角函数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，cosA，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据锐角三角函数求三角形的边
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，cosA，那么AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝6，，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
3．在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果∠B＝α，AC＝m，那么AB等于（ ）
A． B． C．m tanα D．m cotα
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则AC的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝BD，AE是BC边上的高．若AC＝5，AE＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．
题型三：特殊角的锐角三角函数及运算
1．计算2cos45°的结果是（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（ ）
A． B．1 C． D．
3．计算：
（1）sin30°+cos60°﹣tan45°； （2）sin245°﹣3tan30°+|1﹣tan60°|．
4．计算：
（1）sin245°+tan60℃os30°﹣tan45°； （2）||+（cos60°﹣tan30°）0．
5．计算：
（1）； （2）2cos60°+2sin30°﹣3tan45°．
题型四：根据锐角三角函数求角
1．在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
4．在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
题型五：解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，BD＝5，AC＝6，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若sin∠DBC，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为CD的中点，连结AE，AB＝5，AD＝4，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长．
（2）求sin∠DAE的值．
4．在Rt△ABC中，，解这个直角三角形．
5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝6，BC＝3，解这个直角三角形．
6．根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b．
题型六：解直角三角形中的方向角、仰角俯角、坡度问题
1．共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，如图2．
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）．
2．材料阅读：
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求∠POM的正弦值；
（2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：，）
3．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的右侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
4．暑假期间，小亮与小明相约到某旅游风景区登山．需要登顶550m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为70m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
5．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离CD为40米，小普在甲楼顶部A处测得乙楼顶部B处的俯角为37°．
（1）问：甲楼比乙楼高多少米？
（2）如果小普在两幢大楼之间的点E处（点C、E、D在同一条直线上）分别测得甲楼顶部A处的仰角为67.4°，乙楼顶部B处的仰角为63.4°，求甲楼的高度．
（参考数据：tan37°，cot37°，sin37°，tan63.4°≈2，cot63.4°，sin63.4°，tan67.4°．）
6．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：3，E、A、C在同一水平线上．
（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
7．北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，一家人自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地．再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，发现风景区C在A地的北偏东15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求A，C两地的距离（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）．
8．为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西15°方向海里处，同时在观测点D的北偏西60°方向处；观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在AC上且距离A点100海里处．（参考数据：
（1）求AD的距离（结果保留根号）；
（2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点E出发沿EC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿DC往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离D处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位）
参考答案
题型一：求锐角三角函数
1．D
【解答】解：由题意可得：，
∴．
故选：D．
2．B
【解答】解：设AC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得：BC2x，
则tanA2，
故选：B．
3．B
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinB．
故选：B．
4．B
【解答】解：由题意得
．
故选：B．
5．D
【解答】解：∵cosA知，设b＝3x，则c＝5x，
根据a2+b2＝c2得a＝4x．
∴tanA．
故选：D．
6．B
【解答】解：由条件可知，
设BC＝4x，AB＝5x，
，
∴，
故选：B．
题型二：根据锐角三角函数求三角形的边
1．B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，
则，即，
解得，AB＝4，
故选：B．
2．B
【解答】解：∵
∴．
∴．
故选：B．
3．D
【解答】解：根据题意画图得：
∴，
∴AB＝m cotα．
故选：D．
4．C
【解答】解：如图，
∵BC＝4，，
∴．
故选：C．
5．D
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，且AD＝BD，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠DAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠DAC＝180°，
∴∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC＝90°，
∵AC＝5，AE＝4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
题型三：特殊角的锐角三角函数及运算
1．A
【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
2．A
【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴sinC＝sin30°．
故选：A．
3．解：（1）原式1
＝1﹣1
＝0；
（2）原式＝（）2﹣31
1
．
4．解：（1）原式＝（）21
1
＝1；
（2）原式1
＝1．
5．解：（1）原式1
1
＝1；
（2）原式＝223×1
＝1+1﹣3
＝﹣1．
题型四：根据锐角三角函数求角
1．A
【解答】解：在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为30°，
故选：A．
2．A
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A为锐角．
∵sin60°，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
3．D
【解答】解：由题意得：cosA0，1﹣tanB＝0，
∴cosA，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：D．
4．D
【解答】解：由题意得，sinA，cosB．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故选：D．
5．C
【解答】解：∵，，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．
题型五：解直角三角形
1．B
【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴．
故选：B．
2．A
【解答】解：∵MN垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∵∠C＝90°，
∴sin∠DBC，
∴CD：AD＝3：5，
∵AC＝8cm，
∴CD＝3cm
∴BD＝AD＝5cm，
∴BC4（cm）．
故选：A．
3．解：（1）∵AD⊥BC，AB＝5，AD＝4，
∴BD．
在Rt△ACD中，
tan∠ACB1，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝7．
（2）∵点E为CD的中点，
∴DE．
在Rt△ADE中，
AE，
∴sin∠DAE．
4．解：在Rt△ABC中，，
∴tanA，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
即∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝8．
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝6，BC＝3，
如图所示，
根据勾股定理得；
∵，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
6．解：（1）∠A＝30°，c16，b＝atanB＝8．
（2）∠B＝45°，a＝btanAtan45°，c2．
题型六：解直角三角形中的方向角、仰角俯角、坡度问题
1．解：（1）∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，
∴，
∴车架档AD的长是75cm．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AE＝AC+CE＝45+20＝65（cm），
∴EF＝AE sin75°≈65×0.9659≈63（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约为63cm．
2．解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，
∴，
∵光线从空气进入水中时的折射率为，
∴，
∴，
即∠POM的正弦值为；
（2）∵∠POM＝∠CON，
∴，
在Rt△CON中，，
∴设CN＝4xcm，则OC＝5xcm，
∴，
∴3x＝16，
解得：，
∴，
∴，
答：CQ的长约为9.3cm．
3．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴ADAB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（m），
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AB cos∠ACD＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），
∴BC＝CD﹣BD＝（44）m，
∴PC＝BP﹣BC＝4（44）＝4（m），
∵4m＜5m，
∴货物MNQP需要挪走．
4．解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，
∵需要登顶550m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°，
∴∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝550m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴，
∴DE＝DF﹣EF＝550﹣150＝400（m）；
答：登山缆车上升的高度DE为400m；
（2）解：在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝400m，
∴，
∴从山底A处到达山顶D处需要的时间，
答：从山底A处到达山顶D处大约需要17.1min．
5．解：（1）过点B作BF⊥AD，垂足为F，
由题意得：BC＝DF，BF＝CD＝40米，∠ABF＝37°，
在Rt△ABF中，AF＝BF tan37°≈4030（米），
∴甲楼比乙楼高约30米；
（2）设CE＝x米，
∵CD＝40米，
∴DE＝CD﹣CE＝（40﹣x）米，
在Rt△BCE中，∠BEC＝63.4°，
∴BC＝CE tan63.4°≈2x（米），
在Rt△ADE中，∠AED＝67.4°，
∴AD＝DE tan67.4°（40﹣x）米，
∵AD﹣BC＝AF，
∴（40﹣x）﹣2x＝30，
解得：x＝15，
∴AD（40﹣x）＝60（米），
∴甲楼的高度约为60米．
6．解：（1）过点D作DG⊥AE，垂足为G，
由题意得：DG＝2米，
∵斜坡AF的坡比为1：3，
∴，
∴AG＝3DG＝6（米），
在Rt△ADG中，AD2（米），
∴小明从点A走到点D的距离为2米；
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，
由题意得：DG＝CH＝2米，DH＝CG，
设AC＝x米，
∵AG＝6米，
∴DH＝GC＝AG+AC＝（6+x）米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC＝AC tan45°＝x（米），
在Rt△DBH中，∠BDH＝31°，
∴BH＝DH tan31°≈0.6（x+6）米，
∵BH+CH＝BC，
∴0.6（x+6）+2＝x，
解得：x＝14，
∴BC＝14米，
∴大树BC的高度约为14米．
7．解：（1）到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地．再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，发现风景区C在A地的北偏东15°方向．则：
由题意得：∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∴∠C的度数为45°；
（2）如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G．
AB＝10千米，∠BAC＝60°，∠C＝45°，
∴（千米）．
∴（千米），
∴A，C两地的直线距离约为千米．
8．解：（1）由观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处知：∠ADC＝90°，
∵点B在观测点D的北偏西60°方向处，
∴∠ADB＝60°，
∵点B在观测点A的北偏西15°方向，
∴∠BAD＝15°+60°＝75°，
过点A作AF⊥BD，垂足为F，
则∠DAF＝30°，∠BAF＝45°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝45°，
∵（海里），
∴AF＝BF＝300（海里），
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，
∴（海里）．
（2）由（1）得：在Rt△ADC中，，∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，CD（海里），AC＝2CD＝400（海里），
设乙巡逻艇距离D处x海里的M处时，此时甲巡逻艇到N处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接MN，过M作MP⊥EC，垂足为P，
则MC＝（200﹣x）海里，
在Rt△MPC中，∠MPC＝90°，∠PMC＝30°，
∴，，PN＝AC﹣AE﹣EN﹣PC＝200x，
在Rt△MPN中，MN＝200海里，
由勾股定理得：，
解得：x＝150或x＝150（舍去），
（海里），
答：乙巡逻艇距离D处38.2海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．
题型一：求锐角三角函数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，BC＝6，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，AC＝13，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，cosA，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据锐角三角函数求三角形的边
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，cosA，那么AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝6，，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
3．在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果∠B＝α，AC＝m，那么AB等于（ ）
A． B． C．m tanα D．m cotα
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，则AC的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝BD，AE是BC边上的高．若AC＝5，AE＝4，则AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．
题型三：特殊角的锐角三角函数及运算
1．计算2cos45°的结果是（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（ ）
A． B．1 C． D．
3．计算：
（1）sin30°+cos60°﹣tan45°； （2）sin245°﹣3tan30°+|1﹣tan60°|．
4．计算：
（1）sin245°+tan60℃os30°﹣tan45°； （2）||+（cos60°﹣tan30°）0．
5．计算：
（1）； （2）2cos60°+2sin30°﹣3tan45°．
题型四：根据锐角三角函数求角
1．在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
4．在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
题型五：解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是AC边上的中线，BD＝5，AC＝6，则tanA＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若sin∠DBC，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为CD的中点，连结AE，AB＝5，AD＝4，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长．
（2）求sin∠DAE的值．
4．在Rt△ABC中，，解这个直角三角形．
5．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝6，BC＝3，解这个直角三角形．
6．根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b．
题型六：解直角三角形中的方向角、仰角俯角、坡度问题
1．共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2019年向市场提供的一种共享自行车的实物图，AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，如图2．
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321）．
2．材料阅读：
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求∠POM的正弦值；
（2）求CQ的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：，）
3．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的右侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
4．暑假期间，小亮与小明相约到某旅游风景区登山．需要登顶550m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为70m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
5．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离CD为40米，小普在甲楼顶部A处测得乙楼顶部B处的俯角为37°．
（1）问：甲楼比乙楼高多少米？
（2）如果小普在两幢大楼之间的点E处（点C、E、D在同一条直线上）分别测得甲楼顶部A处的仰角为67.4°，乙楼顶部B处的仰角为63.4°，求甲楼的高度．
（参考数据：tan37°，cot37°，sin37°，tan63.4°≈2，cot63.4°，sin63.4°，tan67.4°．）
6．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：3，E、A、C在同一水平线上．
（1）求小明从点A走到点D的距离；
（2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
7．北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，一家人自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地．再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，发现风景区C在A地的北偏东15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求A，C两地的距离（结果保留小数点后一位）．（参考数据：）．
8．为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西15°方向海里处，同时在观测点D的北偏西60°方向处；观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在AC上且距离A点100海里处．（参考数据：
（1）求AD的距离（结果保留根号）；
（2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点E出发沿EC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿DC往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离D处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位）
参考答案
题型一：求锐角三角函数
1．D
【解答】解：由题意可得：，
∴．
故选：D．
2．B
【解答】解：设AC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得：BC2x，
则tanA2，
故选：B．
3．B
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinB．
故选：B．
4．B
【解答】解：由题意得
．
故选：B．
5．D
【解答】解：∵cosA知，设b＝3x，则c＝5x，
根据a2+b2＝c2得a＝4x．
∴tanA．
故选：D．
6．B
【解答】解：由条件可知，
设BC＝4x，AB＝5x，
，
∴，
故选：B．
题型二：根据锐角三角函数求三角形的边
1．B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，
则，即，
解得，AB＝4，
故选：B．
2．B
【解答】解：∵
∴．
∴．
故选：B．
3．D
【解答】解：根据题意画图得：
∴，
∴AB＝m cotα．
故选：D．
4．C
【解答】解：如图，
∵BC＝4，，
∴．
故选：C．
5．D
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，且AD＝BD，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠DAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠DAC＝180°，
∴∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC＝90°，
∵AC＝5，AE＝4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
题型三：特殊角的锐角三角函数及运算
1．A
【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
2．A
【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴sinC＝sin30°．
故选：A．
3．解：（1）原式1
＝1﹣1
＝0；
（2）原式＝（）2﹣31
1
．
4．解：（1）原式＝（）21
1
＝1；
（2）原式1
＝1．
5．解：（1）原式1
1
＝1；
（2）原式＝223×1
＝1+1﹣3
＝﹣1．
题型四：根据锐角三角函数求角
1．A
【解答】解：在锐角△ABC中，若tanα，则∠α的度数为30°，
故选：A．
2．A
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A为锐角．
∵sin60°，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
3．D
【解答】解：由题意得：cosA0，1﹣tanB＝0，
∴cosA，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：D．
4．D
【解答】解：由题意得，sinA，cosB．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故选：D．
5．C
【解答】解：∵，，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．
题型五：解直角三角形
1．B
【解答】解：由题意可得：，
∴，
∴．
故选：B．
2．A
【解答】解：∵MN垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∵∠C＝90°，
∴sin∠DBC，
∴CD：AD＝3：5，
∵AC＝8cm，
∴CD＝3cm
∴BD＝AD＝5cm，
∴BC4（cm）．
故选：A．
3．解：（1）∵AD⊥BC，AB＝5，AD＝4，
∴BD．
在Rt△ACD中，
tan∠ACB1，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝7．
（2）∵点E为CD的中点，
∴DE．
在Rt△ADE中，
AE，
∴sin∠DAE．
4．解：在Rt△ABC中，，
∴tanA，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
即∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝8．
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝6，BC＝3，
如图所示，
根据勾股定理得；
∵，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
6．解：（1）∠A＝30°，c16，b＝atanB＝8．
（2）∠B＝45°，a＝btanAtan45°，c2．
题型六：解直角三角形中的方向角、仰角俯角、坡度问题
1．解：（1）∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，
∴，
∴车架档AD的长是75cm．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AE＝AC+CE＝45+20＝65（cm），
∴EF＝AE sin75°≈65×0.9659≈63（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约为63cm．
2．解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，
∴，
∵光线从空气进入水中时的折射率为，
∴，
∴，
即∠POM的正弦值为；
（2）∵∠POM＝∠CON，
∴，
在Rt△CON中，，
∴设CN＝4xcm，则OC＝5xcm，
∴，
∴3x＝16，
解得：，
∴，
∴，
答：CQ的长约为9.3cm．
3．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴ADAB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝8（m），
答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝AB cos∠ACD＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），
∴BC＝CD﹣BD＝（44）m，
∴PC＝BP﹣BC＝4（44）＝4（m），
∵4m＜5m，
∴货物MNQP需要挪走．
4．解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，
∵需要登顶550m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°，
∴∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝550m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴，
∴DE＝DF﹣EF＝550﹣150＝400（m）；
答：登山缆车上升的高度DE为400m；
（2）解：在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝400m，
∴，
∴从山底A处到达山顶D处需要的时间，
答：从山底A处到达山顶D处大约需要17.1min．
5．解：（1）过点B作BF⊥AD，垂足为F，
由题意得：BC＝DF，BF＝CD＝40米，∠ABF＝37°，
在Rt△ABF中，AF＝BF tan37°≈4030（米），
∴甲楼比乙楼高约30米；
（2）设CE＝x米，
∵CD＝40米，
∴DE＝CD﹣CE＝（40﹣x）米，
在Rt△BCE中，∠BEC＝63.4°，
∴BC＝CE tan63.4°≈2x（米），
在Rt△ADE中，∠AED＝67.4°，
∴AD＝DE tan67.4°（40﹣x）米，
∵AD﹣BC＝AF，
∴（40﹣x）﹣2x＝30，
解得：x＝15，
∴AD（40﹣x）＝60（米），
∴甲楼的高度约为60米．
6．解：（1）过点D作DG⊥AE，垂足为G，
由题意得：DG＝2米，
∵斜坡AF的坡比为1：3，
∴，
∴AG＝3DG＝6（米），
在Rt△ADG中，AD2（米），
∴小明从点A走到点D的距离为2米；
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，
由题意得：DG＝CH＝2米，DH＝CG，
设AC＝x米，
∵AG＝6米，
∴DH＝GC＝AG+AC＝（6+x）米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC＝AC tan45°＝x（米），
在Rt△DBH中，∠BDH＝31°，
∴BH＝DH tan31°≈0.6（x+6）米，
∵BH+CH＝BC，
∴0.6（x+6）+2＝x，
解得：x＝14，
∴BC＝14米，
∴大树BC的高度约为14米．
7．解：（1）到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶10千米至B地．再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，发现风景区C在A地的北偏东15°方向．则：
由题意得：∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∴∠C的度数为45°；
（2）如图，过点B作BG⊥AC，垂足为G．
AB＝10千米，∠BAC＝60°，∠C＝45°，
∴（千米）．
∴（千米），
∴A，C两地的直线距离约为千米．
8．解：（1）由观测点D既在A的北偏东60°方向处，同时又在C的北偏西30°方向处知：∠ADC＝90°，
∵点B在观测点D的北偏西60°方向处，
∴∠ADB＝60°，
∵点B在观测点A的北偏西15°方向，
∴∠BAD＝15°+60°＝75°，
过点A作AF⊥BD，垂足为F，
则∠DAF＝30°，∠BAF＝45°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝45°，
∵（海里），
∴AF＝BF＝300（海里），
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，
∴（海里）．
（2）由（1）得：在Rt△ADC中，，∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，CD（海里），AC＝2CD＝400（海里），
设乙巡逻艇距离D处x海里的M处时，此时甲巡逻艇到N处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接MN，过M作MP⊥EC，垂足为P，
则MC＝（200﹣x）海里，
在Rt△MPC中，∠MPC＝90°，∠PMC＝30°，
∴，，PN＝AC﹣AE﹣EN﹣PC＝200x，
在Rt△MPN中，MN＝200海里，
由勾股定理得：，
解得：x＝150或x＝150（舍去），
（海里），
答：乙巡逻艇距离D处38.2海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．