26.2 实际问题与反比例函数 同步练习（含答案）初中数学人教版九年级下册

26.2 实际问题与反比例函数
一、单选题
1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　）
体积x（mL） 100 80 60 40 20
压强y（kPa） 60 75 100 150 300
A．y＝3000x B．y＝6000x C．y D．y
2．李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园，已知长方形菜园ABCD的面积为24平方米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数解析式为（　　）
A． B．y＝﹣2x+24 C．y＝2x﹣24 D．
3．某沼泽地能承受的压强为20000Pa，一位同学的体重为600N，为了让他不陷入沼泽地，他与沼泽地的接触面积至少为（　　）平方米．
A．0.01 B．3 C．0.1 D．0.03
4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5
5．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm
B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40c
C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3
D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm
6．用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率f（单位：kHz）可近似地看成吸管长度l（单位：cm）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率f关于吸管长度l的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短
B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长
C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大
D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大
7．已知电功率P（W）与电压U（V）、电阻R（Q）的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为220V的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（　　）
A．2 B．4 C． D．
8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为0.5Ω，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是72A B．最大电流是36A
C．最小电流是72A D．最小电流是36A
9．如图，点A（a，b）在双曲线上，a＞b＞0，，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（　　）
A． B．5 C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（　　）
A．（，0） B．（2，0） C．（，0） D．（3，0）
二、填空题
11．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示：
n 1 1.5 2 …
v/（亿米/秒） 3 2 1.5 …
若普通玻璃的折射率为1.2，则光在普通玻璃中的传播速度为 　 　 亿米/秒．
12．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系．初一入校小明佩戴的250度近视镜片的焦距为0.4米，由于小明有长时间使用电子产品等不规范用眼的行为，初三测视力发现近视度数增长为400度，那么此时需要重配的眼镜镜片焦距应为　 　 米．
13．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．当受力面积S＝0.1m2时，该物体承受的压强p＝1000Pa；当受力面积S＝0.25m2时，该物体承受的压强p＝ 　 　 Pa．
14．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为P（P），P关于R的函数图象如图②所示．嘉嘉通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20W，则当R＝16Ω时，P的值为 　 　 W．
15．如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P　 　 ，使PA+PB最小．
三、解答题
16．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路．
（1）工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？
（2）公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？
17．如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠16m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
18．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第10分钟时消毒效果为　 　 效力；
（2）当x≥10时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
19．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
（1）这场沙尘暴的最高风速是　　 千米/时，最高风速维持了　　 小时．
（2）当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
20．已知一次函数与反比例函数的图象交于A（2，m）、B两点，交y轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若点A关于原点的对称点为A′，求△AA′B的面积；
（3）探究：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．D
【解答】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y，
则xy＝k＝6000，
故y与x之间的关系的式子是y，
故选：D．
2．A
【解答】解：∵AB＝y米，BC＝x米，长方形菜园ABCD的面积为24平方米，
∴xy＝24，
∴y，
∴y与x之间的函数解析式为y．
故选：A．
3．D
【解答】解：此同学对沼泽地的压力F＝G＝600Nu，
他对沼泽地的压强：p，
∴S0.03，
故选：D．
4．D
【解答】解：设反比例函数解析式为，
将（0.4，250）代入得，k＝100，
∴反比例函数解析式为：，
当y＝200时，x0.5．
∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5，
故选：D．
5．C
【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为，
由条件可得k＝20．
∴h关于ρ的函数解析式为．据此，逐项分析判断如下：
A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确，不符合题意；
B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故该选项不正确，不符合题意；
C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，故该选项正确，符合题意；
D．当液体的密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意；
故选：C．
6．A
【解答】解：根据反比例函数图象的性质逐项分析判断如下：
A、如图所示，
频率相同时，均为f1，甲材质吸管乐器的长度l1比乙材质吸管乐器的长度l2短，正确，符合题意；
B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，故原选项错误，不符合题意；
C、如图所示，
长度相同时，均为l1，甲材质吸管乐器的频率f1比乙材质吸管乐器的频率f2小，故原选项错误，不符合题意；
D、对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越小，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
7．C
【解答】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同，
故，
即．
所以它们的电阻的比为．
答：所以它们的电阻的比为．
故选：C．
8．A
【解答】解：设，由条件可得，解得U＝36，
∴；
若该电路的最小电阻值为0.5Ω，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
9．B
【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB＝OB，
∴△ABC的周长＝OC+AC，
设OC＝a，AC＝b，
则有方程组，
解得a+b＝5，
即△ABC的周长＝OC+AC＝5．
故选：B．
10．A
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD．
在△ACO与△CBD中，
．
∴△ACO≌△CBD（AAS）．
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y，
将B（3，1）代入y，
∴k＝3．
∴y．
∴把y＝2代入y，
∴x．
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度．
此时点C的对应点C′的坐标为（，0）．
故选：A．
二、填空题
11．．
【解答】解：由表格可知，vn＝3×1＝1.2×2.5＝2×1.5＝3．
∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系．
∴设光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间的函数解析式为v（k≠0）．
将v＝3，n＝1代入v得3．
解得k＝3．
∴光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间的函数解析式为v．
将n＝1.2代入v，
得v（亿米/秒）．
答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒．
故答案为：．
12．0.25．
【解答】解：设，代入y＝250，x＝0.4，
得：，
解得：k＝100，
∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的关系式为，
当y＝400时，
，
解得：x＝0.25．
故答案为：0.25．
13．400．
【解答】解：设反比例函数的解析式为P（k≠0），
由函数图象得反比例函数经过点（0.1，1000），
∴k＝0.1×1000＝100，
∴反比例函数的解析式为P，
当S＝0.255m2时，P400（Pa）．
故答案为：400．
14．25．
【解答】解：∵源电压U一定，
∴U2一定，
∵P，
∴P与R之间是反比例函数，
设U2＝k（k为常数，且k≠0），则P，
根据题意，得20，
解得k＝400，
∴P与R之间的函数关系式为P，
当R＝16Ω时，P25（W）．
故答案为：25．
15．（，0）．
【解答】解：设A点的坐标为（a，b），则，
∴ab＝k，
∵，
∴
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为．
根据题意画出图形，如图所示：
联立得，
解得，
∴A为（2，1），
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）．
令直线BC的解析式为y＝mx+n
∵B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：，
解得：
∴BC的解析式为y＝﹣3x+5，
当y＝0时，，
∴P点为（，0）．
故答案为：（，0）．
三、解答题
16．解：（1）由题意，得，
（2）当v＝40时，则，
解得：t＝30，
当v＝30时，则，
解得：t＝40，
∵40﹣30＝10（天），
∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程．
17．解：（1）设y与x的函数关系式为，
∵点（24，50）在函数图象上，
∴，
∴k＝1200，
∴所求函数关系式为；
（2）当y＝15时，，
∴x＝80，
80÷16＝5，
答：需要5台这样的挖掘机．
18．解：（1）根据图象知，当10分钟时，效力为3，
故答案为：3．
（2）当10≤x≤30时，
设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，由题意可得：
，
∴，
所以．
当x≥30时，
设反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得m＝180，
故．
（3）∵，，
∴当y＝4时，；
当y＝4时，；
持续时长为．
故本次消毒有效．
19．解：（1）由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时；
10～20时，风速不变；最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；
故答案为：32，10；
（2）设当4≤x≤10时函数解析式为y＝ax+b，将（4，8），（10，32）代入，
，
解得，
当4≤x≤10时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为y＝4x﹣8；
（3）∵当4≤x≤10，y＝10时，10＝4x﹣8，
解得，
∴时风速为10千米/时，
当x≥20时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y，
将（20，32）代入，得，
解得k＝640，
所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为；
当x≥20，y＝10时，，
解得x＝64，
“危险时刻”的时间为：64﹣4.5＝59.5（小时）．
∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．
20．解：（1）由条件可知，
∴A（2，3），
∵反比例函数的图象过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）；
（2）如图，过点A′作A′M∥CO，交AB于点M，
由条件可知点A关于原点的对称点为A′的坐标为（﹣2，﹣3），
把x＝﹣2代入，
可得y1＝1，
∴M（﹣2，1），
∴MA′＝4，
∴；
（3）如图，过点A作AE⊥y轴于E，BD⊥y轴于D，
∴∠AEP＝∠BDP＝90°，
由条件可知BP＝AP，∠APB＝90°＝∠AEP＝∠BDP，
∴∠APE+∠BPD＝90°＝∠APE+∠PAE，
∴∠BPD＝∠PAE，
∴△BPD≌△PAE（AAS），
∴BD＝PE＝6，
∵E（0，3），
∴点P（0，﹣3）．