28.1 锐角三角函数 同步练习（含答案）初中数学人教版九年级下册

28.1 锐角三角函数
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　）
A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正切值是（　　）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，，AB＝2，则cosA的值估计在（　　）
A．0到之间 B．到之间
C．到1之间 D．0到之间
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
7．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA，求tanB为（　　）
A． B． C． D．
8．若∠A+∠B＝90°，，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．1
9．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA，BC＝10，则AB长为（　　）
A．12 B．26 C．24 D．13
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝6，则BC的长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°．如果tanB＝2，AB＝5，那么AC＝ 　 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝3，则sinB的值是 　 ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，现给出下列结论：①sinA；②cosB；③tanA＝2；④sinB，其中正确的是　 　 ．
14．5个全等的方块如图放置在Rt△ABC中，则tanC的值是 　 　 ．
15．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　 ．
三、解答题
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝6，求sinA、cosA和tanA的值．
17．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC．
（1）求sin∠BAC的值．
（2）求点B到直线MC的距离．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）若a：c＝2：3，求sinA和sinB的值．
（2）若，BC＝6，求△ABC的周长．
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OA＝4，OE＝2，求cosD．
20．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．
（1）填空：【初步尝试】我们知道：，，发现tanA　 　 （填“＝”或“≠”）．
（2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求的值．
（3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值．
参考答案
一、单选题
1．C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，
∴sinA，
故选：C．
2．C
【解答】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，
∴∠A的大小不变，
∴sinA的值不变，
故选：C．
3．A
【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
，故A正确，符合题意；
，故B错误，不符合题意；
；故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；ρ
故选：A．
4．A
【解答】解：根据题意，画出图形如下：
由勾股定理可得，
∴．
故选：A．
5．C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝2，
∴cosA0.866，
∴cosA的值估计在和1之间，
故选：C．
6．B
【解答】解：由条件可知，
设BC＝4x，AB＝5x，
，
∴，
故选：B．
7．D
【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA，
∴AB＝5，
∴AC4，
∴tanB，
故选：D．
8．B
【解答】解：如图，
由条件可知∠C＝90°，
∵，
∴，
故选：B．
9．B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝10，
∴AB1026，
故选：B．
10．A
【解答】解：根据题意，作出图形，如图所示：
由提交可知，
解得BC＝3，
故选：A．
二、填空题
11．2．
【解答】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，
设BC＝x，则AC＝2x（x＞0）
由勾股定理，得（2x）2+x2＝52，
即（2BC）2+BC2＝52，
∴4x2+x2＝25，
∴x2＝5，
∵x＞0，x，
∴，
∴．
故答案为：．
12．．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC，
∴sinB，
故答案为：．
13．②③
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，
∴AB，
∴①sinA，故此选项错误；
②cosB，故此选项正确；
③tanA2，故此选项正确；
④sinB，故此选项错误．
故答案为：②③．
14．1．
【解答】解：如图：
由图可知△DEF是等腰直角三角形，∠DFE＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠DFE＝45°，
∴tanC＝tan45°＝1．
故答案为：1．
15．．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD＝1/2AB，
∴△DAC是等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCA，
∴∠EDC＝∠DCA＝∠A，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，
∵∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠A+∠AED＝90°，
∴∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
设DE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AD，
∴secA．
三、解答题
16．解：b4，
所以sinA，
CosA，
TanA．
17．解：（1）如图：
在Rt△ABC中，
BC5．
sin∠BAC；
（2）作BE⊥MC，垂足是E，
BE＝BC sin∠BCE，
∴BE＝5．
18．解：（1）∵a：c＝2：3，
∴设a＝2k，c＝3k，
∵∠C＝90°，
∴bk，
∴sinA，sinB．
（2）∵∠C＝90°，
∴sinA，
∴AB＝7.5，
∴AC4.5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝7.5+6+4.5＝18．
19．（1）证明：连接OC，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠AEO，
∴∠DCE＝∠AEO，
∵DO⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠EAO+∠AEO＝∠EAO+∠DCE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠EAO＝∠OCA，
∴∠OCA+∠DCE＝∠DCO＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设CD＝x，
则DE＝x，DO＝DE+OE＝x+2，
在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，
即（x+2）2＝42+x2，
解得x＝3，
∴CD＝3，OD＝5，
∴cosD．
20．解：（1），，
∴，
故答案为：≠；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴．
∴AD＝AB＝5，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝9，
∴．
（3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE．
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，．
∴BC＝1，．
设AE＝x，则EC＝3﹣x，
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得，即，．
∴．