人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2 等差数列的前n项和公式 教学设计

《等差数列的前n项和公式（第1课时）》
教学设计
一、教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时）。
数列是高中数学的主要内容之一，它与数、式、函数、方程、不等式、三角函数等有着密切的联系，是高考的重点和热点。
数列是培养学生数学能力的良好题材之一。通过对等差数列的前n项和公式的推导，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。
二、教材目标与核心素养
教学目标：
1、掌握等差数列的前n项和公式的推导方法；
2、掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题。
核心素养：
1、数学抽象：等差数列的前n项和公式；
2、逻辑推理：等差数列的前n项和公式的推导；
3、数学运算：等差数列的前n项和公式的运用；
4、数学建模：等差数列的前n项和公式的综合运用。
三、教学重难点
教学重点：等差数列的前n项和公式的应用。
教学难点：等差数列的前n项和公式的推导方法。
四、教学方法
问题引导、合作探究、发现式教学。
五、教 具
多媒体、多媒体课件（以PowerPoint为平台）。
六、教学过程
1、创设情景、提出问题
问题1：印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿皇帝沙贾汗
为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷。泰姬陵是印度知名度最高的古迹之一，世界文化遗产，被评选为“世界新七大奇迹”。它的陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，传说陵寝中有一个三角形图案（如图1所示），以相同大小的宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？
图1 泰姬陵图片
师生活动：
1）教师展示印度泰姬陵的相关图片，并提出问题。
2）学生分析得出题中问题其实就是求1+2+3+…+100=？的问题。
3）给学生思考的时间，征集学生的解法，并请部分同学发言讲解思路，其他同学总结发言同学的思路，教师引导得出它的首尾对应项相加都等于101的结论。
4）教师口述讲解高斯的算法。
5）教师指出这其实就是等差数列1，2，3，…的前100项求和的问题，也是我们今天要讨论的主题。
追问1：大家听说过少年高斯的故事吧，他是如何解决这个问题的？
追问2：求1+2+3+…+100+101=？还能用上述方法吗？
【设计意图】：通过历史故事的引入，从学生熟悉的处理问题的方法入手，激发学生的兴趣和自信，让学生体会数学与生活的联系，消除学生对数学的畏难情绪和枯燥感。
2、探究新知、得出公式
问题2：求1+2+3+…+n=？呢？
师生活动：
对于1+2+3+…+n=？需要对n的奇偶性进行分类讨论。当n为偶数时，刚好有项(1+n)；当n为奇数时，有项(1+n)，还有正中间一项是，加起来依然是。
追问：不管n为奇数还是偶数，结果都是，既然这样，有避开分类讨论的方法么？怎样出现首尾两项的和？
问题3：能否借助三角形来研究这个问题？
师生活动：
1）提醒学生回忆三角形面积公式的推导。
2）学生们自主讨论的结果是把三角形倒置后，补成平行四边形。
3）学生总结将不规则的、不熟悉的图形转化为规则的或者熟悉的图形（学生回答后教师补充）。
4）教师引导学生，共同分析讨论，引入“倒序相加”的方法。
追问：能否借助这样的策略研究上述问题？（课件展示，如图2）
图2
【设计意图】：设置冲突，启发学生思考解决问题的新办法，培养学生的发现意识，引导学生进行分类讨论，通过问题的解决，引入“倒序相加”的方法，让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
问题4：对于一般的等差数列，如何去求它的前n项和？即Sn=a1+ a2 + …+an-1+an。“倒序相加”的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？
师生活动：
1）有问题3的“倒序相加法”的启示，我们也可以把等差数列的前n项和写成：Sn=an+an-1+… + a2 +a1。
2）问题的关键是有没有a1+an= a2+an-1= = an-1+a2= an+a1？
3）利用等差数列的性质，在等差数列中，如果p＋q＝s＋t，则有则 ap＋aq＝as＋at ，所以可以得到：
2Sn =(a1+an)+ (a2+an-1)+ + (an-1+a2)+(an+a1)
=n(a1+an)
所以得到等差数列的前n项和公式：
【设计意图】：引导学生用“倒序相加法”推导出等差数列的前n项和公式，并让学生理解，“倒序相加法”的关键是倒序相加后每项和要相等，从而引导学生学会知识迁移，可以利用等差数列的性质解决这一问题，让学生再一次体验从特殊到一般的数学思想。
3、探究公式、强化理解
问题5：我们能否用等差数列的定义结合倒序相加法来推导出等差数列前n项和公式？
师生活动：
1）让学生用倒序相加法书写过程，得到等差数列前n项和公式：
2）让学生用等差数列的定义自行推导等差数列前n项和公式，得出。
教师总结，把通项公式代入，可得到，反之，由通项公式得，代入，可得到。
追问1：既然定义是本源，我们能否试试用等差数列通项公式来推导等差数列的前n项和公式？
追问2：等差数列前n项和公式的两种形式有什么特征？这两者之间如何互相转化？
【设计意图】：将问题化归到用等差数列的定义去解决，让学生充分认识到定义是本质，培养学生化归思想，将知识之间的联系展现得更透彻；让学生通过不同的方法，从不同的角度参与公式的形成过程，提高兴趣，体验成就感，培养学生思维的灵活性，也为后面等比数列前n项和奠定基础；通过对比等差数列前n项和的两个公式特征，培养学生细致的观察能力，更深层次地对公式进行剖析，找到量与量之间的关系，便于后期对公式的灵活运用，培养学生等价转化的能力和逆向思维的能力，进一步让学生清晰公式形成的来龙去脉。
问题6：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列{an}的前n项和公式与梯形的面积公式之间有什么联系吗？
师生活动：
1）教师引导学生从两种求和公式的结构特征入手分析，结合从前面探究活动中得到的启发，总结归纳。
2）让学生回忆梯形的面积公式，类比得到等差数列前n项和公式。（如图3所示）
3）教师提醒，学生分组讨论，把梯形分割为一个平行四边形和一个三角形，类比得到等差数列前n项和公式。（如图4所示）
教
图3 图4
【设计意图】：通过数形结合的方式，明确公式的几何意义，有助于学生深入理解公式，并在理解的基础上记忆公式，而不是简单的、机械的记住公式。
4、剖析典例、精讲点拨
问题7：你能否求出下列问题的答案？
①已知数列是等差数列.
（1）若，求.
（2）若，求.
（3）若，求.
②已知一个等差数列的前10项和是310，前20项的和是1220。由这些条件 ，你能确定这个等差数列的首项和公差吗？
师生活动：
1）教师与学生一起审题并分析，请学生谈解题思路并演板，其他学生评价；
2）对于第1小题，可以直接利用公式求和；
3）第2小题，可以先利用和的值求出，再利用公式求和；
4）第3小题，已知公式中的a1、d和，联立、解方程即可求解。
追问1：你是否还能想到其他的解法？
追问2：对于等差数列的相关量a1、an、d、n和Sn，已知几个量就可以确定其他量？
【设计意图】：通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解，培养学生直接运用公式计算的能力和方程思想的运用；通过一题多解，培养学生发散思维能力，进一步培养学生灵活运用公式的能力，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。
5、及时训练、强化巩固
问题8：你能否求出下列问题的答案？
变式练习：已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
师生活动：
1）教师与学生一起审题并分析，请学生谈解题思路并演板，其他学生评价；
2）对于第1小题，根据等差数列的通项公式，可以求出d，然后再利用公式直接求出结果即可；
3）对于第2题，可以直接利用公式求出a8，然后再根据等差数列的通项公式d。
【设计意图】：通过学生的练习，反馈所学的知识及规范表达能力，突出本节课的重点，便于学生及时复习巩固。
6、课堂小结、思维提升
问题9：
等差数列的前n项和公式是如何推导的？
在推导等差数列的前n项和公式中，有哪些数学思想方法？如何应用到解题中去？
等差数列前n项和反映了哪些量之间的关系？
师生活动：
1）学生思考、小组讨论、推举代表发言，其它同学补充。
2）教师引导学生对所学知识、数学思想进行小结，并对学生回答情况进行评价和补充。
3）师生共同画出本节课的思维导图。
【设计意图】：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯。
7、布置作业、延伸拓展
基础巩固（必做题）：教材24页复习巩固1、2，教材25页综合应用6、8。
拓展思维（选做题）：教材25页拓广探索10、12。
8、板书设计、突出重点
[设计意图]：给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系。
课题：等差数列的前n项和公式
公式一：公式二： PPT投影 三、典型例题例1：例2：变式练习
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