12.7 直角三角形同步练习（含答案）

12.7
直角三角形
基础能力训练
◆对直角三角形性质的认识
1.在直角三角形中，有一个锐角为52.5°，那么另一个锐角的度数为______.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝____，∠B＝_____.
3.如图13.7—8，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么，
(1)与∠B互余的角有______；
(2)与∠A相等的角有______；
(3)与∠B相等的角有_______.
4.如图13.7—9所示，在△ABC中，AB＝AC＝8
cm，∠BAC＝120°.AD⊥BC.求AD的长.
◆对直角角三角形判定的认识
5.判断题：
(1)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等(
).
(2)斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(
).
(3)斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等(
).
(4)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等(
).
(5)一条直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等(
).
6.下列条件中能判断两个直角三角形全等的是(
)
A.一锐角对应相等
B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.两条直角边对应相等
7.如图13.7—10所示，在等腰△ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是(
)
A.2
B.
C.4
D.
8.如图13.7—11所示，△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，要使△ABC≌△A'B'C'，还需要什么条件 并说明理由.
(1)∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，______＝_______(
)；
(2)∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，______＝_______(
)；
(3)∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，______＝_______(
)；
(4)∠C＝∠C'＝90°，BC＝B'C'，______＝_______(
).
9.两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图13.7—12所示，E，A，C三点在一条直线上，联结BD，取BD的中点M，联结ME，MC，则△EMC的形状为______.
10.如图13.7—13所示，AE⊥BC，D是BC的中点，且AC=BE，那么AC//BE吗
11.如图13.7—14所示，AB⊥AC，AC⊥CD，AD＝BC，求证：(1)AB＝CD;(2)AD//BC.
12.如图13.7—15所示，点E、F在AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，BF＝AE.CF＝DE.求证：CF//ED.
综合创新训练
◆综合应用
13.在下列条件中，不能保证两个直角三角形全等的是(
)
A.两锐角对应相等
B.一直角边与一锐角对应相等
C.两直角边对应相等
D.斜边与一锐角对应相等
14.如图13.7—16所示，有一Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10
cm，BC＝5
cm，线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.问点P运动到AC上什么位置时，△ABC和△APQ全等
15.如图13.7—17所示，点A、F、E、B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF,AC＝BD，试问：△ACF和△BDE全等吗
◆实际应用
16.如图13.7—18所示，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗 请说明你的理由.
17.如图13.7—19所示，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系
参考答案
1答案：37.5°
解析：利用直角三角形的两锐角互余来求出另一个锐角的度数.
2答案：60°
30°
解析：由∠A－∠B＝30°和∠A+∠B＝90°，求出∠A，∠B的度数.
3答案：(1)∠A，∠BCD
(2)∠BCD
(3)∠ACD
4答案：解析：由等腰三角形的性质可求出∠BAD＝60°，则∠B＝30°，在Rt△ABD中，AD＝AB＝4(cm).
5答案：(1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误；(5)正确.
6答案：D
解析：利用SAS来说明全等
7答案：D
解析：当PM+PN最小时，P为AC的中点，所以可知BA+BC＝4，且BA＝BC＝2，又因为∠ABC＝120°，所以∠A＝30°，所以AC边上的高为1，从而可求得.
8答案：(1)AC
A'C'
SAS
(2)∠A
∠A'
AAS
(3)AB
A'B'
HL
(4)∠B
∠B'
ASA
9答案：等腰直角三角形
10答案：解析：AC∥BE，
∵D是BC的中点，∴DB＝DC，∵AE⊥BC，且AC＝BE，
∴Rt△ADC≌Rt△EDB(HL)，∴∠B＝∠C，∴AC∥BE.
11答案：证明：(1)∵AD＝BC(已知)，AC＝CA(公共边)，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，∴AB＝CD；
(2)∵Rt△ABC≌Rt△CDA,∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥BC.
12答案：证明：∵CA⊥AB于点A，DB上AB于点B，∴∠A＝∠B＝90°，
∵BF＝AE，∴AF＝BE，∵CF＝DE.
∴△AFC≌△BED(HL)，∴∠AFC＝∠BED.∴CF∥ED.
13答案：A
解析：两个锐角对应相等的两个直角三角形不全等.
14答案：解析：由题意可知，∠C＝∠PAQ＝90°.要△ABC和△APQ全等，只需PA＝BC或AP＝AC即可，从而当点P运动到AP＝5
cm，即AC的中点时，△ABC≌△QPA.或P点与C点重合时，△ABC≌△PQA.
15答案：解析：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°，
∵在Rt△ACE和Rt△BDF中，AE＝BF，AC＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF，∴∠A＝∠B，
∵AE＝BF,∴AF＝BE,
∴△ACF≌△BDE(SAS).
16答案：解析：∵AD⊥BC,∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC,
∴DB＝DC，即两个木桩离旗杆底部的距离相等.
17答案：解析：∠ABC和∠DFE互余，
∵BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠ABC＝∠DEF，∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°.即∠ABC和∠DFE互余.