12.5
全等三角形的判定
基础能力训练
◆对“ASA、SAS”的认识
1.如图13.5.1—9所示，已知点D、E是△ABC中BC边上的两点，DC＝BE，∠1＝∠2，请你再添加一个条件_____，使△ABE≌△ACD.
2.如图13.5.1—10所示，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.
(1)如果以“ASA”为依据，还缺条件_______.
(2)如果以“SAS”为依据，还缺条件_______.
3.如图13.5.1—11所示，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是(
)
A.∠B＝∠E,
BC＝EF
B.BC＝EF，AC＝DF
C.∠A＝∠D，∠B＝∠E
D.∠A＝∠D,
BC＝EF
4.如图13.5.1—12所示，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为(
)
A.
B.4
C.
D.5
5.如图13.5.1—13所示，B为AD的中点，AC//BE，且AC＝BE.
(1)△ABC和△BDE全等吗
(2)BC、DE的大小关系是怎样的 位置关系呢
6.如图13..5.1—14所示，AE=FD，AE//FD，AC=BD，则EB和CF相等吗 为什么
综合创新训练
◆综合应用
7.如图13.5.1—15所示，点A、E、F、C在同一条直线上，AD//BC，AD＝CB，AE＝CF.求证：BE＝DF.
8.如图13.5.1—16所示，已知AE＝CE，∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，AB＝3
cm，CD＝2
cm，求BD的长.
◆开放性题
9.如图13.5.1—17所示，已知∠1＝∠2，AE＝AC，请再补充条件______(写一个即可)，使△ABC≌△ADE，并写出证明过程.
◆生活应用
10.如图13.5.1—18所示，太阳光线AC、A'C'是平行的，如果两根旗杆在太阳光线照射下的影子长相等，你能判断两根旗杆的高度相等吗
参考答案
1答案：∠B＝∠C或AD＝AE等(答案不唯一)
2答案：(1)∠A＝∠D
(2)BC＝EF
3答案：D
解析：判定两个一般三角形全等的方法有四种：SSS、SAS、ASA、AAS.
4答案：B
解析：由条件可知△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD，又因为∠DAC＝90°－∠C=∠EBC，所以△HBD≌△CAD，所以BH＝AC＝4.
5答案：解析：(1)△ABC和△BDE全等.∵AC//BE，∴∠A＝∠DBE，
∵B为AD的中点，∴AB＝BD，又∵AC＝BE，
∴△ABC≌△BDE(SAS)；
(2)∵△ABC≌△BDE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠D，∴BC//DE(同位角相等，两直线平行).
6答案：解析：EB＝CF，
∵AE//FD，∴∠EAB＝∠FDC，∵AC＝BD，∴AB＝CD，∵AE＝FD，∴△AEB≌△DFC(SAS)，∴EB＝CF.
7答案：证明：∵AD//BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，
∴AF＝CE，又∵AD＝CB，
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴BE＝DF(全等三角形对应边相等)
8答案：解析：∵∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，
∠A+∠AEB＝90°，∴∠A＝∠CED，同理∠C＝∠AEB，
又∵AE＝CE，∴△AEB≌△ECD(ASA)，∴EB＝CD＝2
cm，
DE＝AB＝3
cm.BD＝DE+BE＝2+3＝5(cm).
9答案：解析：添加∠E＝∠ACB
∵∠1＝∠2，∴∠EAD＝∠CAB，又∵AE＝AC，
∴△ABC≌△ADE(ASA).
也可以添加AD＝AB，证明略.
10答案：解析：两根旗杆的高度相等，
∵太阳光线AC、A'C'是平行的，∴∠ACB＝∠A'C'B'，∵旗杆在太阳光线照射下的影子长相等，即BC＝B'C'，且∠ABC＝∠A'B'C'＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA),∴AB＝A'B'.即两根旗杆的高度相等.12.5
全等三角形的判定
基础能力训练
◆对“SSS.”的认识
1.如图13.5.2—7所示，AB＝CD，AF＝CE，BE＝DF，试判断AB、CD的位置关系.
2.如图13.5.2—8所示，AB＝CD，AD＝BC，则AB//CD吗
◆对“AAS”的认识
3.如图13.5.2—9所示，AD＝CB，∠B＝∠D，那么，OA＝OC吗
4.如图13.5.2—10所示，已知DE是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，∠1＝∠2，请你再添加一个条件_____，使△ABE≌△ACD.
5.如图13.5.2—11所示，AB∥CF，DE＝EF，AB＝15，CF＝8，则BD等于(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
6.如图13.5.2—12所示，AB∥DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，还需要补充的条件是(
)
A.AC＝EF
B.AB＝DE
C.∠B＝∠E
D.不用补充
7.如图13.5.2—13所示，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEE.
(1)若以“SAS”为依据，还缺条件_____.
(2)若“ASA”为依据，还缺条件_____.
(3)若以“AAS”为依据，还缺条件____.
8.13.5.2—14所示，△ABC是一个钢架，∠B＝∠C，AD是平分∠BAC的一根支架.你能用全等的知识判断AD与BD互相垂直吗
综合创新训练
◆综合应用
9.下列说法中正确的有(
)
①有两角及一边对应相等的两个三角形全等；
②有两边及一角对应相等的两个三角形全等；
③全等三角形三对对应角都相等；
④三对对应角都相等的两个三角形全等；
⑤三对对应边都相等的两个三角形全等.
A.3个
B.4个
C.5个
D.都不对
10.如图13.5.2—15所示，∠ABC＝∠ABD，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△ABD的是(
)
A.BC＝BD
B.∠C＝∠D
C.AC＝AD
D.∠CAB＝∠DAB
11.已知：如图13.5.2—16所示，AD＝BC，AC＝BD，求证：OD＝OC
◆生活应用
12.工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图13.5.2—17所示，∠AOB是一个任意角，分别在OA、OB边上取OD＝OE，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与D、E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.你能说明其中的道理吗
◆趣昧应用
13.如图13.5.2—18所示，小明和小强各有一个三角形纸片，纸片被遮住了一部分，你能按照图上露出来的部分画一个与它们全等的三角形吗
14.如图13.5.2—19所示，李委在做数学作业时，遇到了这样一个问题，AB＝CD，BC＝AD，请说明：∠A＝∠C李委动手测量了一下，发现∠A确实等于∠C，但他不能说明其中的道理.你能帮他说明这个道理吗 试试看.
参考答案
1答案：解析：AB//CD，
∵BE＝DF，∴BF＝DE，∵AB＝CD，AF＝CE，∴△ABF≌△CDE(SSS)，∴∠B＝∠D，∴AB//CD.
2答案：解析：AB//CD，
∵AB＝CD，AD＝BC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠BAC＝∠DCA，∴AB//CD.
3答案：解析：OA＝OC，
∵AD＝CB，∠D＝∠B，∠AOD＝∠COB(对顶角相等)，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，∴OA＝OC.
4答案：∠B＝∠C或BE＝CD等(答案不唯一)
5答案：B
解析：∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∴.BD＝AB－AD＝AB－CF＝15－8=7.
6答案：B
解析：利用SAS来说明△ABC≌△EDF.
7答案：(1)BC＝EF或BE＝CF
(2)∠A＝∠D
(3)∠ACB＝∠F
8答案：解析：AD⊥BD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B＝∠C(已知)，AD＝AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴∠ADB＝∠ADC.∴点B、D、C在一条直线上，∴AD⊥BD.
9答案：A
解析：本题考查对AAS，ASA，SSS，SAS的理解.
10答案：C
解析：本题的图形中暗含“AB为公共边”
11答案：证明：联结AB，在△ADB和△BCA中，,
所以△ADB≌△BCA，∴∠D＝∠C
又∵AD＝BC，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌BOC，∴OD＝OC
12答案：解析：∵OE＝OD，PE=PD，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPD(SSS)，∴∠EOP＝∠DOP.
13答案：解析：利用ASA可以把第二个三角形画出来，即小明的三角形画不出来，小强的三角形可以画出来.
14答案：解析：如图所示，联结BD，
∵AB＝CD，BC＝AD(已知)，BD＝BD(公共边)，∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠A＝∠C
