12.5
全等三角形的判定
名师导学
典例分析
例1
如图13.5.2—5所示，已知点B是AC的中点，BE＝BF，AE=CF，那么△ABE和△CBF全等吗 说明理由.
思路分析：由点B是AC的中点，可得AB＝CB，再利用已知的条件，根据“SSS”可证明两个三角形全等.
证明：∵点B是AC的中点，∴AB＝CB，又∵BE＝BF，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF(SSS)，∴OD＝OE
例2
如图13.5.2—6所示，已知△ABC中，点O是AB的中点，AD//BC，过点O的直线分别交AD、BC于D、E，OD与OE相等吗 试说明理由.
思路分析：解本题的关键是找出符合三角形全等的条件.
由AD//BC，得∠D＝∠BEO，又OA＝OB，可利用“AAS”来推出△ADO≌△BEO，从而解决问题.
解：∵点O是AB的中点，∴OA＝OB，∵AD//BC，
∴∠D＝∠BEO，又∵∠AOD＝∠BOE，
∴△ADO≌△BEO(AAS)，∴OD＝OE.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
证明两个三角形全等，当有两组边对应相等时，可考虑用“SSS”和“SAS”，然后再结合已知找所需的条件.
2
方法点拨：
本题给出一组边对应相等和线段平行，因此可用“AAS”或“ASA”来说明三角形全等.12.5
全等三角形的判定
典例分析
例1
如图13.5.1—5所示，∠B＝∠C，AB＝AC，△ABE和△ACD全等吗 为什么
思路分析：本题中暗含∠A是公共角这个条件，再结合∠B＝∠C，AB＝AC，就可以判定△ABE≌△ACD.
解：∵∠A＝∠A(公共角)，AB＝AC，∠B＝∠C，
∴△ABE≌△ACD(ASA).
例2
如图13.5.1—6所示，∠ABD＝∠DCA，∠ABC＝∠DCB，试判断线段AB、CD是否相等.
思路分析：线段AB、CD在△ABC和△DCB中，只要能证明△ABC≌△DCB，就可以说明AB＝CD.
解：∵∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA，
∴∠ABC－∠ABD＝∠DCB－∠DCA，即∠DBC＝∠ACB，
在△ABC和△DCB中，有∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，
∴△ABC≌△DCB(ASA)，∴AB＝CD(全等三角形对应边相等).
例3
如图l3.5.1—7所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，△ABC与△ABD全等吗 请说明理由.
思路分析：要证明△ABC≌△ABD，需要三个条件，∠3和∠4不是这两个三角形中的角，但与它们相邻的角是相等的，再加上AB为公共边，即可说明两个三角形全等.
解：△ABC与△ABD全等.理由如下：
∵∠3＝∠4，
∴180°－∠3＝180°－∠4，即∠ABD＝∠ABC，
在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABD＝∠ABC，
∴△ABC≌△ABD(ASA).
例4
如图13.5.1—8所示，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，AD与BC相等吗
思路分析：本题的关键是寻找三角形全等的“边角边”条件.由∠AOC＝∠BOD，可以得到∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，则△AOD≌△BOC，从而得AD＝BC
解：AD＝BC.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC－∠AOB＝∠BOD－∠AOB，
即∠AOD＝∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OC＝OD，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD＝BC
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
在解决几何问题时，要观察图形中隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角等.
2
方法点拨：
本题是利用角的差得到∠DBC＝∠ACB，从而利用角边角来说明△ABC≌△DCB，得出对应边相等.
3
误区点拨：
本题不能直接应用∠3＝∠4来说明△ABC与△ABD全等，因为∠3和∠4不是△ABC与△ABD中的角.
4
误区点拨：
本题很容易把∠AOC＝∠BOD作为三角形全等的条件来应用，这是错误的，因为∠AOC和∠BOD不是△AOD与△BOC中的角.
