12.6
等腰三角形
基础能力训练
◆认识等腰三角形
1.在等腰三角形中，
(1)如果有两边长分别为2和9，则该等腰三角形的周长为_______.
(2)如果有两边长分别为2和3，则该等腰三角形的周长为______.
2.如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10厘米，那么它的三边长为_______或________.
◆对等腰三角形性质的认识
3.在等腰三角形中，
(1)若一个内角是70°，则另外两个角分别为_______.
(2)若一个内角为130°，则另外两个内角为________.
4.在等腰三角形中，如果顶角度数是底角度数的2倍，则顶角为_______；如果底角度数是顶角度数的2倍，则顶角为_______.
5.等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角和等于260°，那么它的各个内角分别为______.
6.若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为_____.
7.等腰三角形底边长为5
cm，一腰上的中线把周长分为两部分的差为3
cm，则腰长为(
)
A.2
cm
B.8
cm
C.2
cm或8
cm
D.以上都不对
8.在等腰△ABC中，AB的长是BC的2倍，周长是40，则AB的长为(
)
A.20
B.16
C.16或20
D.以上均不对
9.如图13.6.1—7所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数.
10.如图13.6.1—8所示，AB＝AC，AE平分∠DAC，那么会有AE//BC吗
11.如图13.6.1—9所示，等边△ABC中，AD＝CE，求∠BPC的度数.
综合创新训练
◆综合应用
12.如图13.6.1—10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，联结BE、CE，求证：BE＝CE.
13.如图13.6.1—11所示，已知：在△ABC中，AB＝AC，AD＝BC＝BD，求∠A的度数.
◆生活应用
14.如图13.6.1—12所示，有A、B、C、D、E五个村庄，其中A、B、C三个村庄恰好组成一个等边三角形，A、D、C三个村庄在一条直线上，且D村到A、C村的距离相等，B、C、E三个村在一条直线上，C村到D、E村的距离相等，请问：D村到B、E村的距离相等吗 请说明理由.
◆活学活用
15.一个三角形的内角分别为20°、40°、120°，请将它分割成两个等腰三角形，画图说明你有几种分割方法，并在图中标出每个角的度数.
参考答案
1答案：(1)20
解析：由三角形三边关系知，边长为9的边只能是腰；
(2)7或8
解析：本题中的边长为2的边可能是腰，也可能是底.
2答案：3，3，4
4，4，2
解析：设腰为x，底边为y，由题意得，2x+y＝10,因为x、y为整数，故可得出它们的值.
3答案：(1)55°，55°或40°，70°
(2)25°，25°
4答案：90°
36°
解析：由顶角和底角的关系，根据三角形内角和可列出方程来解决.
5答案：100°，40°，40°
解析：由“等腰三角形的三个内角与顶角的外角和等于260°”得，顶角的外角为80°，因此顶角为100°，底角为40°.
6答案：35°
解析：由三角形的内角和定理可知,该外角只能为顶角的外角，所以该等腰三角形的底角数为：［180°－(180°－70°)]÷2＝70°÷2＝35°.
7答案：B
解析：“一腰上的中线把周长分为两部分的差为3
cm,”应分两种情况讨论，但腰长为2
cm时，不能构成三角形.
8答案：B
9答案：解析：∠1＝60°；∠ADC＝90°.
10答案：解析：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，又∵∠DAC＝∠B+∠C，∴∠DAE＝∠DAC＝∠B，∴AE∥BC.
11答案：解析：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴∠ACD＝∠CBE，∴∠BPC＝180°－(∠CBE+∠BCP)
＝180°－∠BCA＝180°－60°＝120°
12答案：证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE＝CE.
13答案：解析：设∠A的度数为x，∵AB＝AC，AD＝BC＝BD，
∴∠ABC＝∠l＝∠C＝2∠A.
即x+2x+2x＝180°.解得x＝36°.即∠A的度数为36°.
14答案：解析：∵△ABC是等边三角形，且DC＝DA，∴∠CBD＝,∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，∴∠E＝30°,∴∠CBD＝∠E，
∴DB＝DE，即D村到B、E村的距离相等.
15答案：解析：如图所示：12.6
等腰三角形
基础创新训练
◆对等腰三角形判定的认识
1.判断：
(1)有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形(
)；
(2)顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等(
).
2.如图13.6.2—7所示：
(1)已知：OD平分∠AOB，ED//OB，求证：EO＝ED：
(2)已知：OD平分∠AOB，EO＝ED.求证：ED//OB；
(3)已知：ED//OB，EO＝ED.求证：OD平分∠AOB.
3.已知：如图13.6.2—8所示，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作EF//BC交AB于E，交AC于F，则图中有哪些等腰三角形
4.如图13.6.2—9所示，等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过A作EF//BC交CD延长线于E，交BD延长线于F，则图中有哪些等腰三角形
5.如图13.6.2—10所示，AB＝AC，BF平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和CE交于点D，且EF//BC，则图中有哪些等腰三角形
6.如图13.6.2—11所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作EF//BC交AB于E，交AC于F，则图中有哪些等腰三角形
7.如图13.6.2—12所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点，则图中有(
)个等边三角形.
A.2
B.3
C.4
D.5
8.如图13.6.2—13所示，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，联结PQ.以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°.
恒成立的有_______.(把你认为正确的序号都填上).
9.如图13.6.2—14所示，∠A＝∠B，CE//DA，CE交AB于点E，求证：CE＝CB.
综合创新训练
◆综含应用
10.如图13.6.2—15所示，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是两条角平分线，并且BD、CE相交于点O，求证：OB＝OC.
11.如图13.6.2—16，已知AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么，是等腰三角形的三角形有_____.
◆实际应用
12.上午8时，一条船从A处出发以15海里／时的速度向正北方向航行，10时到达B处.从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°.求从B处到灯塔C的距离(如图13.6.2—17).
◆能力拓展
13.如图13.6.2—18所示，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE//AB交BC于E，作DF//AC交BC于F.求证：BC的长等于△DEF的周长.
◆动手操作
14.如图13.6.2—19所示，把一张对边平行的纸条像图中那样折叠，重合部分是一个等腰三角形吗 为什么
参考答案
1答案：(1)正确
解析：外角为120°，则相邻的内角为60°，所以是等边三角形；
(2)正确
解析：等腰三角形的顶角相等，则底角也相等，又底边相等，故两个等腰三角形全等.
2答案：证明：(1)∵OD平分∠AOB，∴∠EOD＝∠BOD，∵ED∥OB，
∴∠D＝∠BOD，∴∠D＝∠EOD，∴ED＝ED.
(2)∵D平分∠AOB，∴∠EOD＝∠BOD，
∵EO＝ED，∵∠D＝∠EOD，∴∠D＝∠BOD，∴ED∥OB.
(3)∵OE＝OD，∴∠D＝∠EOD，∵ED∥OB，
∴∠D＝∠BOD，∴∠EOD＝∠BOD，∴OD平分∠AOB.
3答案：解析：等腰三角形有：△ABC、△AEF、△DBC、△EBD、△FDC.
4答案：解析：等腰三角形有：△DBC、△DEF、△ABC.
5答案：解析：等腰三角形有：△AEF、△EBF、△FEC、△DBC、△ABC、△DEF.
6答案：解析：等腰三角形有：△EBD、△FDC.
7答案：D
解析：图形中的小三角形都是等边三角形.
8答案：①②③⑤
9答案：证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠CEB.∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠CEB，∴CE＝CB.
10答案：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是两条角平分线，∴∠CBO＝∠CBA，∠BCO＝∠BCA，∴∠CBO＝∠BCO，∴OB＝OC.
11答案：△ABC、△DAB、△BCD
12答案：解析：由图易知∠CBA=180°－84°＝96°,∴∠C=180°－∠CBA－∠CAB＝180°－42°－96°=42°，∴BC＝AB，∵BA＝30，∴BC＝30，即从B处到灯塔C的距离为30海里.
13答案：证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠ABD,∵DE∥AB,
∴∠ABD＝∠EDB,∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可得，FD＝FC，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF=EB+EF+FC＝BC.
14答案：如下图所示，由折叠的特点可知，
△CBD≌△C'BD，∴∠C'BD＝∠CBD，又∵AD∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC，∴∠OBD＝∠ODB，
∴OB＝OD，即△OBD是等腰三角形.
