12.6
等腰三角形
名师导学
典例分析
例1
如图13.6.2—5所示，AD平分∠CAE，且AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形.
思路分析：由AD平分∠CAE，得∠CAD＝∠EAD.由AD∥BC，得∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD，由此得出∠B=∠C.
解：∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠EAD(角平分线定义)，
∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD(两直线平行，同位角相等)，
∠C＝∠CAD(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形.
例2
如图13.6.2—6所示，在△ABC中，AB＝AC，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，求证：BP＝CP.
思路分析：本题只要证出∠PBC＝∠PCB即可，由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB.由BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB.从而得出∠PBC＝∠PCB.
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CP平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB,∴△PBC是等腰三角形，即BP＝CP.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
本题是直接利用等角对等边来解题，因此要根据已知条件得出∠B＝∠C.
2
方法点拨：
本题是综合利用等腰三角形的性质和判定.在使用时要分清它们的区别和联系.12.6
等腰三角形
名师导学
典例分析
例1
如图13.6.1—4所示，已知AE⊥BC，则AE平分BC吗 AE平分∠BAC吗
思路分析：△ABC虽看似等腰三角形，但题目条件并没有给出，故不能把它当作等腰三角形.
解析：AE不一定平分BC，也不一定平分∠BAC
例2
如图13.6.1—5所示，AB＝AC＝AD，且AD//BC.试说明∠C和∠D的数量关系.
思路分析：已知有AB＝AC＝AD，结合图形发现其中包含有两个“等边对等角”，一方面有“∠ABC＝∠C”，另一方面有“∠ABD＝∠D”，再加上AD//BC，我们可以得到∠D＝∠DBC，由此得到∠ABC就等于2∠D，所以∠C＝2∠D.
解析：∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠C，且∠ABD＝∠D，
∵AD//BC，∴∠D＝∠DBC，∴∠ABD＝∠D＝∠DBC，即∠ABC＝2∠D，
∴∠C＝2∠D.
例3
如图13.6.1—6所示，在△ABC中AB＝AC，DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，那么DE＝DF吗 请说明理由.
思路分析：由AB＝AC，得∠B＝∠C，由DE⊥AB，DF⊥AC，∠BED＝∠CFD＝90°，又DB＝DC，因此△BED≌△CFD，由此得出DE＝DF.
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，又∵DB＝DC，∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE＝DF(全等三角形的对应边相等).
规律总结
善于总结★触类旁通
1
误区点拨：
“三线合一”指的是等腰三角形顶角的平分线、底边的中线和底边的高互相重合.
2
方法点拨：
本题利用“等边对等角”和平行线的性质来解决两个角之间的数量关系.
3
方法点拨：
本题是利用三角形全等来说明两条线段的关系.除了DE＝DF外，你还能得出哪些线段相等
