12.10
轴对称和轴对称图形
名师导学
典例分析
例1
如图13.10—4所示，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称.
思路分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，联结所得到的这三个点.
作法：(1)作AD上MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，
得点A的对称点A1；(2)同法作点B、C关于MN的对称点B1、Cl；(3)顺次联结A1、B1、C1，∴△A1B1C1即为所求.
例2
如图3.10—5，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500
m.问：
(1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短
(2)最短路程是多少
思路分析：若A、B两点在直线的两侧，自然想到联结AB，交点即为所求的点，但本题的A、B在直线的同侧，我们容易想到“翻折”即“轴对称”.若点A关于直线的对称点为A1，则对于直线上的任意点到A和A1的距离总相等.
解：已知直线CD和CD同侧两点A、B，在CD上作一点M，使AM+BM最小，先作点A关于CD的对称点A1，再联结A1B，交CD于点M，则点M为所求的点.
证明：(1)在CD上任取一点M1，联结A1M1、AM1、BM1、AM.
∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上，∴AM＝A1M，AM1＝A1M1，
∴AM+BM＝A1M+BM＝A1B，在△A1M1B中，∵A1M1+BM1>A1M+BM1，即AM+BM最小.
(2)由(1)可得AM＝A1M，A1C＝AC＝BD，∴△ACM≌△BDM，∴A1M＝BM，CM=DM，即M为CD中点，且A1B=2AM，∵AM＝500
m，∴最短路程A1B＝AM+BM=2AM＝1
000(m).
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
因为对称点的连线被对称轴垂直平分，所以首先做出关键的点(关于直线的对称点).
2
方法点拨：
所求问题可转化为在CD上取一点M使其AM+BM为最小；在上述基础上，利用三角形性质来解.要善于将实际问题转化为数学问题.12.10
轴对称和轴对称图形
自主学习
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勤于归纳→
阅读课本，回答下列问题：
1.如果把_______图形沿着一条直线折叠后，______的部分能够完全______，那么这个图形叫做______图形.
答案：一个
直线两侧
重合
轴对称.
2.如果把______图形沿着一条直线对折后，能够与另一个图形______，那么这两个图形关于______成轴对称，______叫做对称轴，______叫做对称点.
答案：一个
重合
直线
这条直线
互相重合的点
3.判断题
(1)轴对称图形只有一条对称轴(
)
(2)轴对称图形的对称轴是一条线段(
)
(3)两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形(
)
(4)全等的两个图形一定成轴对称(
)
(5)轴对称图形指一个图形，而轴对称是对两个图形而言的(
)
答案：(1)错误；(2)错误；(3)正确；(4)错误；(5)正确.
4.如图13.10—1中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是(
)
答案：A
5.如图13.10—2中的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是
是对称轴的是______；不是对称轴的是______(填写序号).
答案：②④⑥
①③⑤
6.如图13.10—3所示，已知△ABC中，过点A的直线EF是△ABC的对称轴，且B与C是对称点,∠B＝50°，求∠BAF.
答案：∵EF是△ABC的对称轴，∴EF⊥BC，∵∠B=50°,∴∠BAF＝90°－∠B=90°－50°=40°.
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1.轴对称图形是针对几个图形而言的
答案：轴对称图形是针对1个图形而言.
2.成轴对称的两个图形有什么特点
答案：成轴对称的两个图形特点有：这两个图形是全等形；对称点的连线被对称轴垂直平分.
3.请写出三个是轴对称图形的汉字：______________________________________________.
答案：王、田、中.
4.轴对称和轴对称图形有什么区别和联系
答案：不同点：轴对称图形是一个图形，而轴对称是两个图形.
相同点：对称轴两侧的部分重合，对称点的连线被对称轴垂直平分.
