12.12
勾股定理的逆定理
名师导学
典例分析
例1
判断边长为12，20，16的三角形是否是直角三角形.
思路分析：判断一个三角形是否为直角三角形，主要看它较小的两边的平方和是否等于较长一边的平方，即满足：a2+b2=c2.
解：∵12<16<20，∴122+162＝400，202＝400，∴122+162＝202，
∴这个三角形是直角三角形.
例2
已知：如图13.12—2，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.
思路分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和.
解：联结AC，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+CD2＝169，AD2＝132＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，
∴.
例3
如图13.12—3所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，且CF＝CD.求证：△AEF是直角三角形.
思路分析：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证出AE2+EF2＝AF2即可.
解：设正方形ABCD的边长为a，则BE＝CE＝a，CF＝，DF＝，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2=a2+，同理，在Rt△AFD中，
.
在Rt△CEF中，,
∴AF2=AE2+EF2
∴△AEF是直角三角形.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
误区点拨：
本题容易出现122+202≠162，得出不是直角三角形.产生错误的原因在于忽视“斜边是直角三角形中最长的边”.
2
方法点拨：
将求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形.
3
方法点拨：
利用代数方法(即勾股定理逆定理)，计算三角形的三边长是否符合a2+b2=c2，来判断三角形是否为直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一.12.11
勾股定理
名师导学
典例分析
例1
已知：如图13.11—6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5
cm，BC＝4
cm.CD⊥AB于D，求CD的长.
思路分析：本题考查勾股定理的应用，先用勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到，于是不难求CD.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝4，由勾股定理有AC2＝AB2－BC2，
∴AC＝，又，
∴∴CD的长是2.4
cm.
例2
证明勾股定理.
思路分析：把若干个全等的直角三角形拼出不同的图形，再利用这个图形的面积不同的表示形式，推导出a2+b2=c2.
证明：方法一：如图13.11—7所示，将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形，
,
∴a2+b2=c2.
方法二：如图13.11—8所示，将两个直角三角形拼成直角梯形
,∴a2+b2=c2
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“等面积法”求CD.
2
方法点拨：
证明勾股定理的方法很多，但是不论哪种方法，都是利用同一个图形的面积有不同的表示形式得到的.
B
图13.11-6
H
CbB
b
(2
图1
图13.11-8
