10.5
可化为一元一次方程的分式方程及其应用
名师导学
典例分析
例1
某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天才能完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天
思路分析：这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为S，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是S＝mt，或，或.这与速度、路程、时间三量之间的关系有共通之处.
解：设规定的日期为x天，则乙单独工作需(x+3)天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程.
解这个方程，得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的根.
答：规定日期是6天.
例2
已知，求，f1.
思路分析：要从公式中求出f1，需要公式两边同乘以Ff1f2，去掉分母，再从关于f1的整式方程中求得f1.
解：公式两边同乘以Ff1f2，得f1f2=Ff2+2Ff1.
移项，得(f2－2F)f1=Ff2，
因为f2≠2F，所以f2－2F≠0,
所以.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：这是一个典型的“三量关系”问题，解决这类问题的一般方法是，先分析题目中所揭示的“三量关系”，用所设的未知数x表示出有关各量，分析题目中的等量关系，列出方程，解方程，得出结论.
这里应特别注意的是：解答这种“列方程解应用题”的问题时，由于主要精力集中于寻找题目中的等量关系上，往往忽略或遗漏对于方程根的检验，从而造成不完整或错误的答案.要记住，凡是牵涉到分式方程的问题，都应经过检验这一重要环节.
2
方法点拨：这种公式变形，实质上就是解含有字母已知数的分式方程，其解法与含有数字系数的分式方程相同，但要注意两边除以未知数系数时，应保证这个系数不等于零.解字母已知数的分式方程时不要求检验.10.5
可化为一元一次方程的分式方程及其应用
自主学习
主干知识←提前预习
勤于归纳→
阅读课本，回答以下问题：
1.分母中含有________的方程叫做分式方程.
答案：未知数
2.下列方程中，是分式方程的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
3.下列方程的解法对吗
解方程
解：方程两边都乘以x－2，得1＝－(1－x)－3，
解这个整式方程，得x＝5，
所以，原方程的解为x＝5.
答案：不对.去分母时漏乘常数项.
4.解下列方程：
(1)；
(2).
答案：(1)x=－5;(2)无解,x=2是方程的增根,不是方程的解.
点击思维←温故知新
查漏补缺→
1.分式方程与整式方程有什么区别
答案：分式方程分母中含有未知数,解方程时需要验根.
2.分式方程为什么会产生增根 如何检验分式方程的根
答案：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的.根据方程的同解原理，方程两边都乘(或除以)同一个不为0的数或整数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘的是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
把求得的整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是原方程的增根.
3.若关于x的方程有增根，增根会是什么 并求出方程有增根时m的值.
答案：增根是x=5,此时m=±10.10.5
可化为一元一次方程的分式方程及其应用
名师导学
典例分析
例1
解方程：
(1);
(2).
思路分析：方程(1)的右边分母为x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此方程(1)中各分式的公分母是(x+1)(x+2)；对于方程(2)可以通过适当的变形找出各分式的公分母.
解：(1)方程两边同时乘(x+1)(x+2)，得(x+4)(x+2)+(2x+3)(x+1)＝3x2+10x.
x2+6x+8+2x2+5x+3=3x2+10x
所以x＝－11.
经检验，x＝－11是原分式方程的根.
(2)原方程变形为
整理得：,
,
所以x＝4
经检验，x＝4是原方程的解.
例2
m是什么数时，分式方程有根
思路分析：分式方程有根是指分式方程中各分式的公分母不等于零，这是解决此类问题的关键.
解：方程两边同乘x(x－1)并整理得8x＝m+3，，
因为原方程有根，所以且，
解得m≠－3且m≠5.
所以，当m≠－3且m≠5时，
分式方程有根.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
解分式方程的一般步骤是：(1)在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原分式方程的增根，必须舍去.
方程(1)的解法是分式方程的常规解法；方程(2)的解法是先分析方程的特点，发现组成分式方程的各个分式都是1与另一个简单分式的和，从而对方程进行整理后，再进行解答.
方程(2)也可以这样解答：
移项得
解得x＝4
经检验，x＝4是原分式方程的根.
2
方法点拨：
能化成一元一次方程的分式方程的特点是，要么方程有一个根，这个根使得分式方程中各分式的公分母不等于零；要么方程有一个增根，这个增根使得分式方程中各分式的公分母等于零.本例明确说明所给分式方程有根，就是说x(x－1)≠0，即x≠0且x－1≠0，由此可求出m的取值范围.
