11.4
无理数与实数
名师导学
典例分析
例1
如果在数轴上表示a、b两个实数的点的位置如图12.4—1所示，请化简｜a－b｜+｜a+b｜.
思路分析：根据数形结合的思想，找出隐含在数轴上的解题信息：
b>0，a<0，｜a｜>｜b｜，
由此可知a－b<0，a+b<0，从而完成对代数式的化简.
解：根据图示可知，b>0，a<0，｜a｜>｜b｜，a－b＜0，a+b<0，
∴｜a－b｜+｜a+b｜＝－a+b－a－b＝－2a.
例2
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积是400
000平方米.
(1)公园的宽大约是多少 它有1
000米吗
(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少
(3)该公园中心有一圆形花坛，面积是800平方米，它的半径大约是多少米(误差小于1米)
思路分析：本题牵涉到平方根的意义，估算的方法等数学知识,解决此题时，可以利用设未知数，列方程的方法进行解答.
解：(1)设公园的宽为x米，则x·2x＝400
000，，
∵4002＝160
000<200
000，5002＝250
000>200
000，∴400答：公园的宽大约有400多米，没有1
000米宽.
(2)∵4402＝193
600，4502＝202
500,∴193
600<200
000<202
500，
∴440(3)设花坛的半径为R米，则∴R2≈254.8，因为225<254.8<256，
所以152<254.8<162，即152例3
比较和的大小.
思路分析：2<<3，1<<2，所以<6，＞7.由此即可比较出两个无理数的大小.
解：和的大小关系是<.
例4
一个正方体的棱长是cm，再做一个正方体使它的体积是原正方体的2倍，求所做正方体的棱长(误差小于1
cm).
思路分析：先求出原正方体的体积，再求所做正方体的体积，正方体的体积的立方根就是它的棱长.
解：因为，所以V2=2V1=2×5=10，设所做正方体的棱长为x
cm，则x3=10，，因为8<10<27，所以23<10<33，所以2故所做正方体的棱长为2
cm或3
cm.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
利用数轴分析和判断各实数之间的大小关系，是典型的数形结合思想的应用，也是近几年中考试题中经常考查的问题.这里应切记“数轴上右边的点比左边的点表示的数大”这一准则.同时，要深刻理解绝对值、相反数等基本概念.
2
方法点拨：
对于本例这类题目的解答，一定要先确定误差到哪一位，误差小于100米，也就是说我们只要推导到百位即可，上下之差在100米以内.这与精确到百位不同，精确到百位是指通过四舍五入得到的近似数.
误区点拨：将“误差到哪一位”理解为“精确到哪一位”，从而导致错误的结论.
3
误区点拨：
认为被开方数7大于2，即得出，这是错误的.比较两个无理数的大小，是要比较它们的结果的大小，而不仅仅是比较被开方数的大小.
4
方法点拨：
解答此类问题时，要注意分析题目所牵涉的各个数量之间的关系.本题中，正方体的体积是其棱长的三次方，棱长是其体积的三次方根.同时在解答问题时，要注意单位要求.11.4
无理数与实数
自主学习
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勤于归纳→
阅读课本，回答下列问题：
1.有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.无限不循环小数叫做_________；也就是说，________就是无限不循环小数.
答案：无理数
无理数
2.有理数和无理数统称为________.
答案：实数
3.实数和数轴上的点是________的关系.
答案：一一对应
4.任何两个实数都是可以比较大小的，数轴上右边的点比左边的点表示的数_______.
答案：大
5.有理数的运算法则和运算律(交换律、结合律、分配律)在实数集内_______(填“适用”或“不适用”).
答案：适用
6.
答案：有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
7.下列各数中，哪些是有理数 哪些是无理数
2.15,,9,0,,,,0.606
000
600
000
6...(相邻两个6之间0的个数逐次加2).
答案：有理数：2.15,,9,0,,;
无理数：π，0.606
000
600
000
6……(相邻两个6之间0的个数逐次加2).
点击思维←温故知新
查漏补缺→
1.有理数与无理数有什么区别
答案：有理数是指有限小数和无限循环小数，无理数是指无限不循环小数.
2.是否存在这样的数，它既是有理数，又是无理数
答案：既是有理数，又是无理数的数是不存在的.
3.你还有哪种方法对实数进行分类
答案：还可以分类为：实数
4.是无理数，是无理数吗
答案：是无理数.
