12.3
三角形中的主要线段
名师导学
典例分析
例1
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两个部分，求△ABC各边的长.
思路分析：因为点D为AC的中点，所以AD＝DC，造成分成的两部分不等的原因就在于BC边与AB、AC边的不等，因此，需要分类讨论.
解：如图13.3－6所示，设AB＝x，则AD＝DC＝.
(1)如果AB+AD＝12，即,∴x＝8，即AB＝AC＝8，则DC＝4，
∴BC＝15－4＝1l，此时AB+AC>BC，可以构成三角形.
(2)如果AB+AD＝15，即，∴x＝10，即AB＝AC＝10，则DC＝5，
∴BC＝12－5＝7，很显然此时也可以构成三角形.
例2
如图13.3－7所示，已知△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∠A＝50°，求∠BPC的度数.
思路分析：把∠BPC放在△BPC中，由∠A的度数可求出∠ABC+∠ACB的值，再利用BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB和三角形内角和定理，进而求出∠BPC的度数.
解：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°－(∠1+∠2)＝180°－(∠ABC+∠ACB)＝180°－(∠ABC+∠ACB)
=180°－(180°－∠A)=180°－(180°－50°)=115°.
例3
如图13.3－8所示，△ABC中的三条主要线段画得对吗
思路分析：∠ABC的平分线BD应该与对边AC相交，点B与交点间的线段是∠ABC的平分线；BC边上的中线应该是BC边上的中点与顶点A所联结的线段；BC边上的高应该是点A到BC边的垂线段.
解：都不正确.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
在涉及等腰三角形的边的问题时，常常要分情况予以讨论.看某边是腰还是底，并且在求出三边的长之后，还应验证是否满足两边之和大于第三边.
2方法点拨：
本题可当作一个基本结论：△ABC中，若P为∠ABC、∠ACB平分线的交点，则∠BPC＝90°+∠A.
3
方法点拨：
三角形的中线、角平分线、高线都是线段，在每个三角形中都有三条、都会相交于一点(或延长线交于一点).12.3
三角形中的主要线段
自主学习
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勤于归纳→
阅读课本，回答下列问题：
1.如图13.3－1所示，已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，那么CE＝______；BD＝______；AF＝______.
答案：AE
DC
FB
2.如图13.3－2所示，△ABC中BE是角平分线，∠ABE＝30°，求∠ABC的度数.
答案：60°
3.如图13.3－3所示，在△ABC中，指出AB边上的高线.
答案：CE
4.如图13.3－4所示，在△ABC中，AD、AE分别是角平分线、中线，∠AFB＝90°，则BE＝______；∠BAC＝2∠_____2∠______；AF是______边上的高.
答案：BC
∠BAD
∠CAD
BC
5.判断下列说法是否正确
(1)经过三角形任意一个顶点和对边中点的直线叫做三角形的中线.(
)
(2)三角形一个内角的平分线叫做三角形的角平分线.(
)
(3)三角形的三条中线一定相交与三角形内同一个点.(
)
(4)三角形的三条角平分线必相交与三角形内同一个点.(
)
答案：(1)、(2)错误；(3)、(4)正确.
6.三角形的三条高所在的直线相交与一点，这个点的位置在(
)
A.三角形内
B.三角形外
C.三角形的边上
D.要根据三角形形状确定
答案：D
解析：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；直角三角形高线的交点在三角形的斜边上；钝角三角形高线的交点在三角形外部.
点击思维←温故知新
查漏补缺→
1.三角形的中线是直线、射线还是线段 三角形的三条中线相交于一点吗
答案：线段；三角形的三条中线相交于一点.
2.三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗
答案：三角形的角平分线和角的平分线不是一回事.三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线.
3.指出图13.3－5中的高.
答案：(1)中的高有AC、BC；(2)中的高是AE.
4.三角形的中线、角平分线、高的相同之处是什么
答案：三角形的中线、角平分线、高的相同点是：它们都是线段，它们所在的直线都相交于一点.
