12.4
全等三角形
典例分析
例1
如图13.4—6所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.
思路分析：可以先将两个三角形分离出来(这一步可以在草稿纸上完成)，再根据题设找出对应边和对应角.
解：∵∠l＝∠2，∠B＝∠C，∴另一组对应角为∠BAE和∠CAD，∵∠1和∠2对应边为AB和AC，∠B和∠C的对应边为AE和AD，∴它们的对应边为AB和AC，AE和AD，BE和CD.
例2
用同样粗细、同样材料的金属粗线制作两个全等的三角形，如图13.4—7所示，△ABC和△DEF.已知∠B＝∠E，AC的质量是25千克，求DF的质量.
思路分析：因为两个三角形全等，所以它们的对应边相等，又因为构成三角形的金属材料是同样粗细、同样材料的，所以对应边的质量就相等.
解：∵△ABC≌△DEF，∠B＝∠E，∴∠B和∠E是对应角，∴AC、DF是对应边，∵AC的质量是25千克，∴DF的质量是25千克.
例3
如图13.4—8所示，点ADCF在同一条直线上，△ABC≌△FED，试说明：AB∥EF.
思路分析：要说明AB∥EF，需要找同位角、内错角相等或同旁内角互补.题中有三角形全等，可得对应角相等，由此可解决问题.
解：∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F，∴AB∥EF.
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：
在识别全等三角形的对应边和对应角时，先结合图形判断已知条件中的“△ABE≌△ACD”是否按对应顶点的顺序写，若顺序正确，则按相应的书写位置就是对应顶点.
2
方法点拨：
本题是利用全等三角形的性质解题.由于构成三角形的材料和粗细相同，长度相等，所以质量相等.
3
方法点拨：
从求证出发寻找所需条件，再从已知中得到所获结论，找到解决问题的办法.12.7
直角三角形
名师导学
典例分析
例1
如图13.7—6所示，CE⊥AB,DF⊥AB，垂足分别为E、F，且AC＝DB，AF＝BE，那么CE＝DF吗
思路分析：由于CE和DF在两个直角三角形中，只要能说明两直角三角形全等，就可以得出CE＝DF.
解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴△ACE和△BDF是直角三角形，∵AF＝BE，∴AE＝BF，又∵AC＝DB，∴△ACE≌△BDF(HL)，∴CE＝DF(全等三角形对应边相等).
例2
如图13.7—7所示，在△ABC和△A'B'C'中，CD、C'D'分别为高，且AC＝A'C'，CD＝C'D',∠ACB＝∠A'C'B'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
思路分析：要想证明△ABC≌△A'B'C'，题中已给出一边和一角对应相等，还缺一角或一边对应相等.另外，CD、C'D'分别为高，可以证明△ADC≌△A'D'C'，可以推得∠A＝∠A'，由此可推导出△ABC≌△A'B'C'.
证明：∵CD、C'D'分别为△ABC和△A'B'C'的高，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，∵在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
AC＝A'C'，CD＝C'D',∴△ADC≌△A'D'C'，∴∠A＝∠A'，
∵在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'，AC＝A'C'，
∠A＝∠A'，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA).
规律总结
善于总结★触类旁通
1
误区点拨：
“HL”是斜边和直角边对应相等，如果有两直角边对应相等，就不能用“HL”.
2
方法点拨：
本题两次运用三角形全等.由△ADC≌△A'D'C'推出∠A＝∠A'，进而证明出△ABC≌△A'B'C'.
