18.2
黄金分割
自主学习
主干知识←提前预习
勤于归纳→
认真阅读教材,完成下列各题
1.点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果______,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的______,AC与AB的比叫做________.
答案：
黄金分割点
黄金比
2.黄金分割的比值可以通过一元二次方程解出来,就是______,用小数表示约为_________.
答案：
0.618
3.如图19－2－1所示的正五角星,请你找出线段AB的黄金分割点.
答案：如图所示,点C是线段AB的黄金分割点.
4.如果线段AB上有一点C,满足AC2=AB·BC,我们称点C为AB的黄金分割点,一条线段的黄金分割点有几个
答案：2个
点击思维←温故知新
查漏补缺→
1.报幕员在台上时,若站在黄金分割点处,会显得活泼而生动,已知舞台长10米,那么报幕员至少要走多远报幕
答案：
解析:.
2.穿高跟鞋真使人觉得美些吗 结合黄金分割及已有的其他知识,谈谈你自己的理解.
答案：解析：美本身没什么标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上一种美感的参考,这个比例称之为黄金分割,在人体的躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,若这个比值越接近0.618,越能给别人一种美的感觉.但是,一般人的躯干与身高的比都低于此数值,大约只有0.58至0.60左右(腿长的人会有较高的比值),若增高鞋的高度,则这种比值会接近或达到0.618.因此.女士们穿高跟鞋使她们显得更美是有数学依据的.(注：躯干是指从脚底到肚脐的长度)
3.你知道为什么芭蕾舞演员的亮相动作很漂亮吗
答案：解析：当芭蕾舞演员亮相时,两指尖的距离与头顶到脚尖的距离近似比为0.618：1,所以看上去非常漂亮.
4.你知道自己的身体上有哪些黄金分割点吗
答案：解析：如：肚脐是人体的黄金分割点；膝关节是肚脐到脚的黄金分割点；肘关节是手指到肩部的黄金分割点等等.19.2
黄金分割
名师导学
典例分析
例1
已知线段MN=l,在MN上有一点A,如果,试判断A是不是MN的黄金分割点.
思路分析：要判断A是不是MN的黄金分割点.,由于MN=1,因而,只要计算出MA的长即可,若,A点就是黄金分割点,否则就不是.
解析：因为,MN=l,
所以MA=MN－AN=.
所以A点是MN的黄金分割点.
例2
如图19－2－2所示,在△ABC中,AB=AC=2,,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D,试说明点D是线段AC的黄金分割点.
思路分析：本题可先判别AD=BD=BC=,再根据黄金分割的概念确定这个特殊的结论,即可说明点D是AC的黄金分割点.
解：在△ABC中,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2=36°,∴∠1=∠A,∴AD=BD,∴∠BDC=∠1+∠A=72°,
∴∠BDC=∠C,∴BC=BD=AD=,∴,
∴点D是线段AC的黄金分割点.
变式训练：如图19－2－3所示,矩形ABCD内有一个AEFD,且.问点E是线段AB的黄金分割点吗
思路分析:仍依据黄金分割点的定义来解决,通过计算可知,而BC=AD=AE,即,显然点E是线段AB的黄金分割点.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1
方法点拨：判断一个点是不是已知线段的黄金分割点,可依据定义判断,只要满足相应的比例式就可确定其是黄金分割点；另外,也可用较长线段与总线段进行求比,若结果为,也可确定其为黄金分割点.
2
方法点拨：对于探索结论正确性的题目,一般都是从条件出发,根据数形结合的思想方法,结合图形的性质,用代数方法去论证.
另外,本例中的三角形称为黄金三角形,即顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形.
该矩形中(即)是黄金比,也就是说,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比,我们把这样的矩形称之为黄金矩形.
