7.2.3《同角三角函数的基本关系》教学设计
文档属性
| 名称 | 7.2.3《同角三角函数的基本关系》教学设计 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 293.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
《同角三角函数的基本关系》教学设计
○教材分析
与三角函数的定义、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的. 通过对基本关系的推导，注意让学生重视形成对基本概念学习的良好习惯，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来. 在使用时，一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如等；二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如中的是使得有意义的值，即.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能.在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键.有时由于角的终边的位置不确定，导致解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因有：一﹑没有确定或不去确定终边的位置；二﹑利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根.
○学情分析
学生从认知角度上看，已经比较熟练地掌握了三角函数定义的两种推导方法；从方法上看，学生已经对数形结合、猜想证明有所了解；从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习；从能力上看，学生主动学习能力、探究能力较弱.
学生在获得三角函数定义的过程中已经充分认识到了单位圆、数形结合是研究三角函数的重要工具.本节课的重点是利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数的基本关系式，并应用公式解决问题.
应用三角公式进行求值、证明和化简这三类问题是学生第一次接触，因此求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果以及在恒等变形过程中公式的灵活应用是本节课的难点.通过解题探讨、分析、总结，变式训练和后续的巩固来逐步突破这些难点.
○课时安排
1课时
教学目标1.掌握三种基本关系式之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；3.牢固掌握同角三角函数的关系式，并能灵活运用，提高分析、解决三角函数的思维能力；4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力. 教学重难点 重点：同角三角函数基本关系式:的运用. 难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用.
教 学 过 程 设 计
一、情境导入，激趣诱思
教师：大家都听过一句话：南美洲亚马逊河森林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风，这就是著名的“蝴蝶效应”.它本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.
西方有一首著名的民谣：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
坏了一只蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，伤了一位骑士；
伤了一位骑士，输了一场战斗；
输了一场战斗，亡了一个帝国.
两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系，那么我们来看看前些天我们学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”，其中的联系应该更加紧密！
（设计意图：从理论出发，强调事物之间的联系，而建立初步印象，为下一步的教学作准备.）
二、提出问题,自主学习
问题1：任意角的三角函数是怎样定义的？（设角是一个任意角,终边上的任意一点,它与原点的距离为，那么，.特别地，当时，即若为角终边与单位圆的交点,则有.）
问题2：之间有什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？（,对都成立.）
问题3：设是角的终边与单位圆的交点，和之间有什么关系？和之间有什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？（；,对于任意角都成立.）
（设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换.）
三、展示成果，查找问题
（设计意图：通过学生展示，发布学生的自主学习成果，让学生体会成就感.）
四、教师精讲，重难突破
由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：;
（2）平方关系：.
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：等.
五﹑分组学习，合作探究
【例1】已知，并且是第二象限，求.
解：由，得,又因为是第二象限角，所以,所以，所以.
【例2】已知，求的值.
解：因为，所以为第三或第四象限的角，由得.
如果是第三象限角，则；
如果是第四象限角，则.
【例3】已知，求的值.
解：因为，所以为第二或第三象限角.
当为第二象限角时，,所以.
当为第三象限角时，,所以.
【例4】已知，求下列各式的值:
（1）;（2）;（3）.
解：（1）;
（2）;
（3）.
【例5】求证:.
证明：证法一：因为,所以.
证法二：因为,所以，
所以.
证法三：
（设计意图：通过自主学习与合作探究应用新知，加深对公式的理解，增强应用能力）
六﹑课堂练习，巩固基础
1.（1）已知，并且是第二象限角，求；
（2）已知求,求.
解：（1）因为，所以,又因为是第二象限角，所以，所以，从而.
（2）因为，所以，又因为，所以在第二或第三象限.
当在第二象限时，，从而;
当在第三象限时，，从而.
2.已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；
（3）.
解:（1）;
（2）;
（3）.
（设计意图：查错补漏，当堂训练，巩固知识，训练方法，提升能力.）
七﹑师生共进，课堂小结
1.通过观察、归纳，发现同角三角函数的基本关系.
2.同角三角函数的基本关系的应用.
3.应用同角三角函数的基本关系式的变形解决计算和证明问题.
板 书 设 计
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系教学目标：应用：①………②………③……… 例1 …………………………变式1……………. ………………变式2 ……….……………….. 例2（1） ……………………………………（2）………… …………………变式1 ………………………… 例3…………………………………………………变式………………………………作业：……………………………
教 学 反 思
证明恒等式的过程实质上就是三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他转化和消去等式两边差异来促成统一的过程.证明时常用的方法一般有以下三种：非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习.
（1）依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则.
（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.
（3）依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式成立，从而推出原式成立.
使学生明白，如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数，为了便于将算式两边沟通，可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.
EQ \o\ac(○,教) EQ \o\ac(○,学) EQ \o\ac(○,分) EQ \o\ac(○,析)
○教材分析
与三角函数的定义、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的. 通过对基本关系的推导，注意让学生重视形成对基本概念学习的良好习惯，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵.同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来. 在使用时，一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如等；二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如中的是使得有意义的值，即.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能.在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键.有时由于角的终边的位置不确定，导致解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因有：一﹑没有确定或不去确定终边的位置；二﹑利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根.
○学情分析
学生从认知角度上看，已经比较熟练地掌握了三角函数定义的两种推导方法；从方法上看，学生已经对数形结合、猜想证明有所了解；从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习；从能力上看，学生主动学习能力、探究能力较弱.
学生在获得三角函数定义的过程中已经充分认识到了单位圆、数形结合是研究三角函数的重要工具.本节课的重点是利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数的基本关系式，并应用公式解决问题.
应用三角公式进行求值、证明和化简这三类问题是学生第一次接触，因此求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果以及在恒等变形过程中公式的灵活应用是本节课的难点.通过解题探讨、分析、总结，变式训练和后续的巩固来逐步突破这些难点.
○课时安排
1课时
教学目标1.掌握三种基本关系式之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；3.牢固掌握同角三角函数的关系式，并能灵活运用，提高分析、解决三角函数的思维能力；4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力. 教学重难点 重点：同角三角函数基本关系式:的运用. 难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用.
教 学 过 程 设 计
一、情境导入，激趣诱思
教师：大家都听过一句话：南美洲亚马逊河森林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风，这就是著名的“蝴蝶效应”.它本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.
西方有一首著名的民谣：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；
坏了一只蹄铁，折了一匹战马；
折了一匹战马，伤了一位骑士；
伤了一位骑士，输了一场战斗；
输了一场战斗，亡了一个帝国.
两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系，那么我们来看看前些天我们学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”，其中的联系应该更加紧密！
（设计意图：从理论出发，强调事物之间的联系，而建立初步印象，为下一步的教学作准备.）
二、提出问题,自主学习
问题1：任意角的三角函数是怎样定义的？（设角是一个任意角,终边上的任意一点,它与原点的距离为，那么，.特别地，当时，即若为角终边与单位圆的交点,则有.）
问题2：之间有什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？（,对都成立.）
问题3：设是角的终边与单位圆的交点，和之间有什么关系？和之间有什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？（；,对于任意角都成立.）
（设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换.）
三、展示成果，查找问题
（设计意图：通过学生展示，发布学生的自主学习成果，让学生体会成就感.）
四、教师精讲，重难突破
由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：;
（2）平方关系：.
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：等.
五﹑分组学习，合作探究
【例1】已知，并且是第二象限，求.
解：由，得,又因为是第二象限角，所以,所以，所以.
【例2】已知，求的值.
解：因为，所以为第三或第四象限的角，由得.
如果是第三象限角，则；
如果是第四象限角，则.
【例3】已知，求的值.
解：因为，所以为第二或第三象限角.
当为第二象限角时，,所以.
当为第三象限角时，,所以.
【例4】已知，求下列各式的值:
（1）;（2）;（3）.
解：（1）;
（2）;
（3）.
【例5】求证:.
证明：证法一：因为,所以.
证法二：因为,所以，
所以.
证法三：
（设计意图：通过自主学习与合作探究应用新知，加深对公式的理解，增强应用能力）
六﹑课堂练习，巩固基础
1.（1）已知，并且是第二象限角，求；
（2）已知求,求.
解：（1）因为，所以,又因为是第二象限角，所以，所以，从而.
（2）因为，所以，又因为，所以在第二或第三象限.
当在第二象限时，，从而;
当在第三象限时，，从而.
2.已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；
（3）.
解:（1）;
（2）;
（3）.
（设计意图：查错补漏，当堂训练，巩固知识，训练方法，提升能力.）
七﹑师生共进，课堂小结
1.通过观察、归纳，发现同角三角函数的基本关系.
2.同角三角函数的基本关系的应用.
3.应用同角三角函数的基本关系式的变形解决计算和证明问题.
板 书 设 计
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系教学目标：应用：①………②………③……… 例1 …………………………变式1……………. ………………变式2 ……….……………….. 例2（1） ……………………………………（2）………… …………………变式1 ………………………… 例3…………………………………………………变式………………………………作业：……………………………
教 学 反 思
证明恒等式的过程实质上就是三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他转化和消去等式两边差异来促成统一的过程.证明时常用的方法一般有以下三种：非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习.
（1）依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则.
（2）依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.
（3）依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式成立，从而推出原式成立.
使学生明白，如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数，为了便于将算式两边沟通，可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.
EQ \o\ac(○,教) EQ \o\ac(○,学) EQ \o\ac(○,分) EQ \o\ac(○,析)