18.2 黄金分割 同步练习（含答案）

18.2
黄金分割
基础能力训练
◆黄金分割的定义
1.已知AB=10
cm,P、Q是线段AB的两个黄金分割点,则PQ=________.
2.已知线段AB=1,点P是线段AB的黄金分割点,则AP=________.
3.已知线段AB=b,C为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)：
(1)_______;(2)_______；
(3)_______;(4)AC－BC=________.
4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢 有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.
5.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在∠A=36°的△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,交AC于D,若AC=4
cm,则BC=___________.
6.若S是线段PQ的黄金分割点,且PS>SQ,则(
)
A.SQ2=PS·PQ
B.PS2=SQ·PQ
C.
D.
7.已知M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM.
(1)写出线段AB、AM、BM之间的比例式.
(2)如果AB=12
cm,求AM、BM的长.
8.如图19－2－4所示,线段AB长10cm,点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,设以AC为边的正方形ACDE的面积为S1,以BC为一边，AB长为另一边的矩形BCFG的面积为S2,试比较S1和S2的大小.
◆黄金分割点的作图
9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB为已知线段,以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E,联结EB；延长DA至F,使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点.
任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗
10.求作已知线段AB的黄金分割点.(不写作法)
综合创新训练
◆创新应用
11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少
12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用.
◆开放探索
13.若一个矩形的短边与长边的比值为(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.
(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD为一边作正方形AEFD.
(2)探究：(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形 若是,请说明理由;若不是,也给予说明.
(3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).
参考答案
1答案：cm
2答案：或
解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.
3答案：(1)(2)(3)(4)
4答案：23℃
5答案：cm
解析：∵等腰△ABC为黄金三角形,∴为黄金比.
∴,∴cm.
6答案：B
7答案：(1)
(2)cm,cm
8答案：cm2
9答案：解析：设AB=2,那么在Rt△BAE中,.于是EF=BE=,AH=AF=BE－AE=,BH=AB－AH=.因此,,点H是线段AB的黄金分割点.
10答案：略
11答案：解析：由于点B、C都是线段AD的黄金分割点,于是有：
,
∴.
∴阴影部分的周长为.
12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长的比约为0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等.
13答案：解析：(1)如图所示.
(2)四边形EBCF是黄金矩形,因为EF=AE=,,则,所以四边形EBCF是黄金矩形.
(3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形,另一部分仍为黄金矩形.