4.2.2等差数列的前n项和 教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计
一、教学设计思想
本节课是以个性化教学思想为指导进行设计的，是对教材部分内容进行了有意识的选择和改组。为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。
在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
二、教材分析
1、教材分析
《等差数列的前n项和》选自高中选修第二册，第四章第二节第二课时的内容。数列是高中数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用，如堆放物
品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣，因此设计好这节课的教学是至关重要的，为后面学习等比数列的前n项和做铺垫，提供理论基础。
2、教学法分析
学生在前面已经学习了等差数列，还有相关的性质。能够解决一些基本题型，掌握了数列的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。
在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。为了体现学生的主体地位，充分发挥学生在学习活动中的作用，调动学生的积极性，很好的达到本节课的教学目标，制定以下的教学法：教师精心设计、合理安排、组织活动，变教师传统的教为引，学生自主学习、合作交流、知识迁移，从而变学生传统的学为探，使学生成为学习的主人，让学习真正发生。
三、教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
四、教学重难点
1、教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
2、教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
五、教学过程
（一）创设问题情境 拨开课改大门
1、展示问题
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是（板书）“ ”
2、引入高斯故事及解法
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
（二）问题层层深入 让学习发生
1、以一反三
如果堆放铅笔的V形架的最上面一层放的是101支、102支…n支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
用高斯的思路来求下列类似的问题：
1+2+3+…+100+101=？
1+2+3+…+100+102=？
……
1+2+3+…+100+n=？
2、学生探究活动
学生探究1：（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+(50+52)+51
学生探究2：s=1+2+3+…+99+100+101——①
s=101+100+99+…+3+2+1——②
+② 得2s=(1+101)+（2+100）+（3+99）+…+（99+3）+（100+2）+（101+1）
所以2s=101×102
这种方法实际上是用了化归思想，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬。
（三）分成学习小组 探讨公式
数列前n项和意义
求等差数列前n项和
倒序相加法
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
公式1：
（2）用基本量表示等差数列前n项和
公式2： 要求必须具备三个条件：
已知 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件：
（3）函数的思想表示等差数列前n项和
将n看成自变量，整理成关于n的函数，可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式。
公式3：
3、图形另释方法
用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式
有这样一个梯形，上底长为，下底长为，高为，求这个梯形的面积为多少平方米？面积公式：
利用梯形的面积公式，帮助学生记忆等差数列的求和公式，让学生对于“数形结合”的理解更加深一层。
4、等差数列求和的历史
（1）展示故事
我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
（2）提出问题，让学生思考
如何用我们所学知识转化求共织布问题？
给出古书答案
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得”
（四）应用公式，巩固新知
1、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列｛an｝的前n项和Sn
2、例题
2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于”校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是多少
解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
答: 从2001年起的未来10年内,该市在”校校通”工程中的总投入是7250万元。
3、课堂练习
为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划:第一天跑5000m,以后每天比前一天多跑500m。这个同学7天一共将跑多长的距离
4、走进高考
（2011·湖北·高考真题）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，求第五节的容积。
（2021·山东·高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员。
（五）归纳提升
课外延伸
播放数学王子高斯的故事，让学生了解高斯背后的故事，感受不是每个人都能随随便便成功。潜移默化的培养学生的对数学的美好情感。
本课思维导图
（六）作业布置和板书设计
作业布置
必做题：（1）课后 78-79页 （2）练习册92页A 组题
选做题：（1）练习册93页B组题 （2）写两个生活中等差数列求和的列子
设计意图：分层次的作业安排，突显教学的层次性，必做题重在巩固本课所学；选做题重在引出后继内容。所选练习，树立学生“生活中处处有数学”的意识，培养学生建模能力。
板书设计
六、教学反思
本节课研究了等差数列求和的三个公式及其应用。以学生为中心，坚持进行生成性教学,教学过程设计关注学生情感的发展和数学学科素养的落实。重视体验和实践探究，让学生感受到学数学有用有趣。
注重分层式教学，从而提高了课堂教学效率，使学生学会了深层次的思考，价值观也在潜移默化中发生改变，达到在教学中育人的目的。但学生独立思考问题的能力相对较弱，解题能力有所欠缺，在老师的引导下达到了预期的目标。
教学不仅应向学生传授知识，而更重要的在于让学生参与获得知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极思考，使其在动手、动口，动脑的过程中懂得如何学习数学，体会数学知识的来龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的能力。
100
99
1
101
100
1
n
n-1
1
数列｛an｝：a1，a2 ,a3 ，…，an ,…我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列｛an｝的前n项和记作Sn。
从特殊到一般的公式推导
倒序相加算法的数学思想
等差数列的基本量表示法
三个求和公式及简单应用
实际问题转化为数学问题
等差数列前n 项和
等差数列的定义及性质 教学目标：
1、an＝a1＋(n－1)d (n≥1) 1、掌握等差数列前n项和公式。
2、 an＝am＋(n－m)d 2、会用等差数列的前n项和公式解决一
3、an＝pn＋q (p、q是常数) 些简单的生活问题。
二、等差数列求和公式 3、通过公式推导的过程教学，发展学
生的思维水平。
三、等差数列求和实际应用