广东省实验中学2025-2026学年上学期期末高一数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省实验中学2025-2026学年上学期期末高一数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 96.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-20 00:00:00 | ||
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文档简介
广东实验中学2025—2026学年（上）高一级期末模块考试
数 学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合，，则
A. B.
C. D.
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数且，若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数
A. B.
C. D.4
5. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图所示，已知中，点，，依次是边上的三个四等分点，若，，则
A.6 B.8 C.10 D.12
7. 已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数有个零点，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 命题：，的否定是：，
B. 若是第二象限角，则是第一象限角
C. 若函数的图象关于直线对称，则实数
D. 半径为，圆心角为弧度的扇形面积为
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，共线，则
C. 若且，则
D. 若向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则。
11. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一。如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒。经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足 （，，），则正确的是（ ）
A.
B.
C. 当秒时，
D. 此水斗从A点出发，工作2000秒后P点在最高点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设P，A，B在一条直线上，O在该直线外，已知，则x等于__.
13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值，这一数值可以表示为。若，则____.（用数字作答）
14. 函数的定义域为，，对于任意，当时，（其中e为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）已知函数
（1） 按关键点列表，并画出函数的简图（请在指定区域作答，画图先用铅笔画好再用黑笔定稿）；
（2） 写出的单调区间；并解不等式
16.（本小题15分）．已知向量与的夹角，且，.
（1） 若与垂直，求k
（2） 求与的夹角的余弦值.
17.（本小题15分）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：
每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第x天的函数关系近似满足，日销售量（单位：千克）关于第x天的部分数据如下表所示：
x 9 14 18 22 29
Q(x) 54 59 63 59 52
已知第9天的日销售收入为552元．
（1）求的值；
（2） 日销售量给出以下三种函数模型：
①；②；③；
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？
18．（本小题17分）
已知
（1）若函数，求函数在上的最值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围；
（3），不等式成立，求实数的最小值．
19．（本小题17分）
对于函数，若实数满足，其中，为非零实数，则称为的一个“泊点”．
（1） 设函数，若是的“ - 泊点”，求的最大值；
（2） 已知任意实数都是函数的“泊点”，若，求；
（3）设函数，若恰有2个“泊点”，求实数的取值范围．
广东实验中学2025—2026学年（上）高一级期末模块考
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B C D C D B B A AC BD BCD 2
1.【答案】B解：因为集合，，所以.
2.【答案】C解：若在第二象限，则，则位于第三象限，则点在第二象限是角的终边在第三象限的充要条件，
3.【答案】D解：对于A：，当时，取最小值3，故A错误；
对于B：，当且仅当时等式成立，最大值为1，故取不到等号，故B错误；对于D：，，，当且仅当，即时取等号，故D正确；对于C：可取负值，故错误，
4.【答案】C解：由题意可得，再将函数的图象向下平移2个单位长度可得，即，故，又，故.
5.【答案】D解：根据题意得，则，又，
则，对于A，由得，不满足条件，故A错误；
对于B，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故B不正确；
对于C，由得，与矛盾，故C错误；对于D，由得，故D正确．
6【答案】B解：
，，．
7.【答案】B解：由题意，可知由三角函数的定义，有，，
所以；
8.【答案】A解：函数，在上单调递增，则函数在上单调递增，
而，，则存在，使得，函数在上有1个零点，
由函数有4个零点，则函数在有3个零点，由，，
得，则，解得，所以正数的取值范围是．
9.【答案】AC解：对于A：命题：，的否定是：，，A选项正确．
对于B：由题知，，即是第一或第三象限角，B选项错误．
对于C：的图像关于直线对称，，即，
．此时，则为最大值，故函数的图象关于直线对称，．，C选项正确．
对于D：扇形面积，D选项错误．
10.【答案】BD对于D：，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中，，，，D为AB的中点，则，．D选项正确
11. 【答案】解：由题意知，，，所以，
把点对应的，代入，可得，解得，
又，所以，所以，则B正确；
当时，，
易得，当时，点的横坐标为，所以点，
则，所以．C正确；
时，，D正确
12.【答案】 解：，，共线，则，解出
13.【答案】 由，得，
代入所求表达式，可得．故答案为．
14.【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以，则，
又因为当时，，
所以，则，令，则，
又，所以在上单调递减，因为，所以可变为，
则①，令，则①可变为②，
又因为，故②变为，
又在上单调递减，则，解得．故答案为．
四、解答题
15.（本小题13分） 列表如下：
， （3分）
描点如图：
； 4分（每段2分）
（ii）由上图可知：单调递增区间为：，；单调递减区间为：； 3分（可开可闭）
的解集为 3分（注意端点）
16.（本小题15分）解：由已知，得． 2分
（1）由与垂直，则，则 4分
（2）； 4分
设与的夹角为。 1分
则， 3分
与的夹角的余弦值为。 1分
17、（本小题15分）【答案】解：（1）因为第9天的日销售收入为552元，所以有，
即，解得：； （2分）
（2）由函数，的解析式可知，
这三个函数的单调性在定义域内要么递增，要么递减，要么是常数函数，不会出现在定义域内，即有单调递减区间又有单调递增区间的情况，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
由列表可知，的单调性是先增后减，因此合适， （2分）
把，，代入，
得，解得：，
则，显然，也满足该函数的解析式，
所以； （4分）
（3）由题意可知，当，时 （1分）
， （1分）
， （2分）
当且仅当，即时取等号，此时； （2分）
所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元。 （1分）
18.（本小题17分）解：（1）因为，
所以， （1分）
因为，所以， （1分）
当，即时，函数取得最小值， （1分）
当，即时，函数取得最大值11， （1分）
所以函数在上的最小值为，最大值为11； （1分）
（2）由题意得：，作出其大致图象，如图所示：
因为函数有三个零点，所以，故实数的取值范围是；（3分）
（3）易知是奇函数，也是上的增函数，
因为，不等式成立，（1分）
所以，不等式成立，（1分）
所以，不等式成立，（1分）
令，（1分）
又，则当时，函数取得最小值，（1分）
所以，成立，（1分）
即，，（1分）
令，由对勾函数的性质得，函数在上单调递增，（1分）
所以当时，函数取得最小值，所以，即，所以实数的最小值是。（1分）
19.（本小题17分）
解：（1） 因为是的“泊点”，所以在上有解，（1分）
因为，所以，即，（1分）
即时取得最大值1，所以，所以的最大值为。（1分）
（2）因为任意，，所以，（1分）
所以，所以为周期为2的周期函数，（1分）
（1分）
所以。（1分）
（3）因为函数恰有2个“泊点”，所以在定义域内恰有2个解，（1分）
因为，
①当时，则，
所以，即，所以，舍去；（1分）
②当时，所以，即，（1分）
③当时，，
所以，即；（1分）
依据条件，（**）和（*）共有2个不同实数解；
（i）对于（*）式，令，，
设，所以在上递增，，，
所以关于的方程在上解的情况如下：
当，即时，（*）没有实数根；
当，即时，（*）没有实数根；
当，即，（*）只有一个实数根．（2分）
（ii）对于（**）式，令，，设，
因为，函数的对称轴为，由（i）得：
当时，在内需2个零点，且，，
所以即，无解；
当时，在内需2个零点，
但，至多一个零点，舍去；（1分）
当时，在内需1个零点，且，
所以在上递增，
所以，即，（1分）
解得（1分）
所以
综上所述，的取值范围是．（1分）
数 学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合，，则
A. B.
C. D.
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数且，若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数
A. B.
C. D.4
5. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图所示，已知中，点，，依次是边上的三个四等分点，若，，则
A.6 B.8 C.10 D.12
7. 已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数有个零点，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 命题：，的否定是：，
B. 若是第二象限角，则是第一象限角
C. 若函数的图象关于直线对称，则实数
D. 半径为，圆心角为弧度的扇形面积为
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，共线，则
C. 若且，则
D. 若向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则。
11. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一。如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒。经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足 （，，），则正确的是（ ）
A.
B.
C. 当秒时，
D. 此水斗从A点出发，工作2000秒后P点在最高点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设P，A，B在一条直线上，O在该直线外，已知，则x等于__.
13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值，这一数值可以表示为。若，则____.（用数字作答）
14. 函数的定义域为，，对于任意，当时，（其中e为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）已知函数
（1） 按关键点列表，并画出函数的简图（请在指定区域作答，画图先用铅笔画好再用黑笔定稿）；
（2） 写出的单调区间；并解不等式
16.（本小题15分）．已知向量与的夹角，且，.
（1） 若与垂直，求k
（2） 求与的夹角的余弦值.
17.（本小题15分）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：
每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第x天的函数关系近似满足，日销售量（单位：千克）关于第x天的部分数据如下表所示：
x 9 14 18 22 29
Q(x) 54 59 63 59 52
已知第9天的日销售收入为552元．
（1）求的值；
（2） 日销售量给出以下三种函数模型：
①；②；③；
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？
18．（本小题17分）
已知
（1）若函数，求函数在上的最值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围；
（3），不等式成立，求实数的最小值．
19．（本小题17分）
对于函数，若实数满足，其中，为非零实数，则称为的一个“泊点”．
（1） 设函数，若是的“ - 泊点”，求的最大值；
（2） 已知任意实数都是函数的“泊点”，若，求；
（3）设函数，若恰有2个“泊点”，求实数的取值范围．
广东实验中学2025—2026学年（上）高一级期末模块考
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B C D C D B B A AC BD BCD 2
1.【答案】B解：因为集合，，所以.
2.【答案】C解：若在第二象限，则，则位于第三象限，则点在第二象限是角的终边在第三象限的充要条件，
3.【答案】D解：对于A：，当时，取最小值3，故A错误；
对于B：，当且仅当时等式成立，最大值为1，故取不到等号，故B错误；对于D：，，，当且仅当，即时取等号，故D正确；对于C：可取负值，故错误，
4.【答案】C解：由题意可得，再将函数的图象向下平移2个单位长度可得，即，故，又，故.
5.【答案】D解：根据题意得，则，又，
则，对于A，由得，不满足条件，故A错误；
对于B，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故B不正确；
对于C，由得，与矛盾，故C错误；对于D，由得，故D正确．
6【答案】B解：
，，．
7.【答案】B解：由题意，可知由三角函数的定义，有，，
所以；
8.【答案】A解：函数，在上单调递增，则函数在上单调递增，
而，，则存在，使得，函数在上有1个零点，
由函数有4个零点，则函数在有3个零点，由，，
得，则，解得，所以正数的取值范围是．
9.【答案】AC解：对于A：命题：，的否定是：，，A选项正确．
对于B：由题知，，即是第一或第三象限角，B选项错误．
对于C：的图像关于直线对称，，即，
．此时，则为最大值，故函数的图象关于直线对称，．，C选项正确．
对于D：扇形面积，D选项错误．
10.【答案】BD对于D：，且在上的投影向量为单位向量，不妨设在菱形中，，，，D为AB的中点，则，．D选项正确
11. 【答案】解：由题意知，，，所以，
把点对应的，代入，可得，解得，
又，所以，所以，则B正确；
当时，，
易得，当时，点的横坐标为，所以点，
则，所以．C正确；
时，，D正确
12.【答案】 解：，，共线，则，解出
13.【答案】 由，得，
代入所求表达式，可得．故答案为．
14.【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以，则，
又因为当时，，
所以，则，令，则，
又，所以在上单调递减，因为，所以可变为，
则①，令，则①可变为②，
又因为，故②变为，
又在上单调递减，则，解得．故答案为．
四、解答题
15.（本小题13分） 列表如下：
， （3分）
描点如图：
； 4分（每段2分）
（ii）由上图可知：单调递增区间为：，；单调递减区间为：； 3分（可开可闭）
的解集为 3分（注意端点）
16.（本小题15分）解：由已知，得． 2分
（1）由与垂直，则，则 4分
（2）； 4分
设与的夹角为。 1分
则， 3分
与的夹角的余弦值为。 1分
17、（本小题15分）【答案】解：（1）因为第9天的日销售收入为552元，所以有，
即，解得：； （2分）
（2）由函数，的解析式可知，
这三个函数的单调性在定义域内要么递增，要么递减，要么是常数函数，不会出现在定义域内，即有单调递减区间又有单调递增区间的情况，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
由列表可知，的单调性是先增后减，因此合适， （2分）
把，，代入，
得，解得：，
则，显然，也满足该函数的解析式，
所以； （4分）
（3）由题意可知，当，时 （1分）
， （1分）
， （2分）
当且仅当，即时取等号，此时； （2分）
所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元。 （1分）
18.（本小题17分）解：（1）因为，
所以， （1分）
因为，所以， （1分）
当，即时，函数取得最小值， （1分）
当，即时，函数取得最大值11， （1分）
所以函数在上的最小值为，最大值为11； （1分）
（2）由题意得：，作出其大致图象，如图所示：
因为函数有三个零点，所以，故实数的取值范围是；（3分）
（3）易知是奇函数，也是上的增函数，
因为，不等式成立，（1分）
所以，不等式成立，（1分）
所以，不等式成立，（1分）
令，（1分）
又，则当时，函数取得最小值，（1分）
所以，成立，（1分）
即，，（1分）
令，由对勾函数的性质得，函数在上单调递增，（1分）
所以当时，函数取得最小值，所以，即，所以实数的最小值是。（1分）
19.（本小题17分）
解：（1） 因为是的“泊点”，所以在上有解，（1分）
因为，所以，即，（1分）
即时取得最大值1，所以，所以的最大值为。（1分）
（2）因为任意，，所以，（1分）
所以，所以为周期为2的周期函数，（1分）
（1分）
所以。（1分）
（3）因为函数恰有2个“泊点”，所以在定义域内恰有2个解，（1分）
因为，
①当时，则，
所以，即，所以，舍去；（1分）
②当时，所以，即，（1分）
③当时，，
所以，即；（1分）
依据条件，（**）和（*）共有2个不同实数解；
（i）对于（*）式，令，，
设，所以在上递增，，，
所以关于的方程在上解的情况如下：
当，即时，（*）没有实数根；
当，即时，（*）没有实数根；
当，即，（*）只有一个实数根．（2分）
（ii）对于（**）式，令，，设，
因为，函数的对称轴为，由（i）得：
当时，在内需2个零点，且，，
所以即，无解；
当时，在内需2个零点，
但，至多一个零点，舍去；（1分）
当时，在内需1个零点，且，
所以在上递增，
所以，即，（1分）
解得（1分）
所以
综上所述，的取值范围是．（1分）
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