2025-2026学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（扫描版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（扫描版，含解析） |
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| 格式 | |||
| 文件大小 | 992.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-21 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5 分）在空间直角坐标系中，点 P（1，3，6）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6）
2．（5 分）已知直线 l 的方向向量为（1，2），且在 y 轴上的截距为﹣2，则 l 的方程为（ ）
A．2x+y+2＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．2x﹣y+2＝0
3．（5 分）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．（5 分）若双曲线 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（5 分）若抛物线 上的点 P（m，n）（m＞0）到其焦点 F 的距离为 3，则实数 m 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（5 分）在三棱锥 A﹣BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AB＝AC＝2，AD＝4，E，F 分别为 BD，CD
的中点，则异面直线 EC，AF 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）已知椭圆 C： 的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 l 与直线 AF 平行，若 C 上有且仅有
三个点到 l 的距离为 ，则 l 的方程为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
8．（5 分）已知直线 l1：mx+y+3m＝0 和 l2：x﹣my+3m﹣1＝0，l1 和 l2 的交点记为 P，若点 ，
则|PQ|的最大值为（ ）
第 1 页（共 20 页）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
（多选）9．（6 分）已知空间向量 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D． 与 夹角的余弦值为
（多选）10．（6 分）已知点 P 是双曲线 E： 右支上一点，F1，F2 分别为 E 的左、右焦点，若△
PF1F2 的面积为 ，则（ ）
A．点 P 的纵坐标为
B．△PF1F2 的周长为 30
C．△PF1F2 的内切圆半径为
D．∠F1PF2 大于
（多选）11．（6 分）记各项为正数的数列{an}的前 n 项积为 Tn， n∈N*，an+Tn＝λ（λ＞0），则（ ）
A．若 5a2＝4a1，则 λ＝3
B．当 λ＝1 时，
C．{an}可能为等比数列，亦可能为等差数列
D．若数列 为等差数列，则 λ＝1，或 λ＝2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）已知圆 C1：x2+y2+2x+m＝0，C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1，若 C1 与 C2 外切，则 m＝ ．
13．（5 分）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为 ，将{an}，{bn}的公共项按从小到
大依次排列得到新的数列{cn}，则{cn}的前 n 项和 Sn＝ ．
14．（5 分）记动椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，若 C 上存在点 M（x0，y0）使得
第 2 页（共 20 页）
，且 x0 的取值范围为 ，则 C 的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知在平面直角坐标系中，点 A（﹣1，2）、点 B（4，7）在圆 O1 上．
（1）求线段 AB 的垂直平分线方程；
（2）若圆心在直线 3x﹣2y﹣8＝0 上，且过点 M（3，4）的直线 l 被圆 O1 截得的弦长为 ，求 l 的
方程．
16．（15 分）已知数列{an}为等比数列，a1＝2，且 a2，a3， 成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}为单调递增数列，且 cn＝ ，求数列{cn}的前 2n 项和 T2n．
17．（15 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，△AB1B 是等边三角形， ，AB⊥BC，AC⊥BB1．
（1）证明：平面 ACB1⊥平面 ABC；
（2）点 F 是线段 A1C1 上一动点，若直线 CF 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 ，求平面 BCC1B1 与
平面 B1CF 的夹角的余弦值．
18．（17 分）已知 n∈N*，a1bn+a2bn﹣1+ +an﹣1b2+anb1＝（n+1） bn，且 ，且 k≠0）．
（1）若数列 为等比数列，求 k 的值；
（2）当 k＝2 时，
（i）求数列{an}的通项公式；
（ ii）设 ，记数列 {cn}的前 n 项和为 Sn，证明：
．
19．（17 分）已知抛物线 C：y2＝2px 经过点（2，2），O 为抛物线的顶点，点 A，B 在抛物线上，以 A，B
第 3 页（共 20 页）
为切点的两条切线交于点 Q．
（1）求 p 的值及 C 的准线方程；
（2）设直线 AB 分别与直线 OQ，x 轴的交于点 S，T（S，T 不重合），且 AB⊥OQ．
（i）证明：存在定点 D，使得|DS|为定值；
（ii）求 的最小值．
第 4 页（共 20 页）
2025-2026 学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D C B D B
二．多选题（共 3 小题）
题号 9 10 11
答案 BC BC ACD
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．【答案】D
【解答】解：设 p（1，3，6）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y，z），
则 x＝1，y＝﹣3，z＝﹣6，
所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：由题可得直线 l 的斜率 ，
又 l 在 y 轴上的截距为﹣2，
所以 l 的方程为 y＝2x﹣2，即 2x﹣y﹣2＝0．
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：若 构成空间的一个基底，
选项 A： ，共面；
选项 B： ，共面；
选项 C：假设 ，则 ，
第 5 页（共 20 页）
得： ，此时无解，不共面；
选项 D： ，共面．
故选：C．
4．【答案】D
【解答】解：双曲线 的离心率为 ，
， ，可得 ，
双曲线 的渐近线方程为 y＝ ．
故选：D．
5．【答案】C
【解答】解：抛物线方程 可化为 x2＝4y，
焦点为（0，1），准线方程：y＝﹣1，
已知点 P（m，n）到焦点的距离为 3，根据抛物线定义，点 P 到准线 y＝﹣1 的距离也为 3，
点 P 的纵坐标为 n，因此 n﹣（﹣1）＝3，即 n+1＝3，解得 n＝2，
因为点 P（m，n）在抛物线上，将 n＝2 代入 x2＝4y，得：m2＝4×2＝8，
又因为 m＞0，所以 ．
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：如图，将三棱锥 A﹣BCD 放置于长方体中，AB＝AC＝2，AD＝4，建立如图所示空间直角
坐标系，
第 6 页（共 20 页）
C（0，2，0），E（1，0，2），A（0，0，0），F（0，1，2），
所以 ， ，
可得 ＝1×0+（﹣2）×1+2×2＝2，| |＝ ＝3，| |＝ ＝ ，
所以 cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
所以异面直线 EC，AF 所成角的余弦值为|cos＜ ， ＞|＝ ．
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：由题可得：a2＝3，b2＝2，c2＝a2﹣b2＝3﹣2＝1，
所以 ，
所以椭圆的右焦点为 F（1，0），上顶点为（0， ），
直线 AF 的斜率为 ，
因为直线 l 与直线 AF 平行，所以直线 l 与直线 AF 的斜率相同，
设直线 l 的方程为 ，即
因为 C 上有且仅有三个点到 l 的距离为 ，说明椭圆与直线 l 的距离为 的平行线中，
一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况），
设与 l 平行且距离为 的直线为 ，根据两平行线距离公式：
，化简得 ，即 ，
联立 ，消元整理得 ，
第 7 页（共 20 页）
因为直线 l1 与椭圆相切，所以 ，解得 ，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取+号），
此时直线 l 的方程为 ，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取﹣号），此时直线 l 的方程为
，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取﹣号），
此时直线 l 的方程为 ，此时直线 l 与椭圆相离，不符合题意，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取+号），此时直线 l 的方程为
，此时直线 l 与椭圆相离，不符合题意；
故 或 满足题意．
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：直线 l1：mx+y+3m＝0 与直线 l2：x﹣my+3m﹣1＝0，可得 m 1+1 （﹣m）＝0，
所以 l1⊥l2，
而直线 l1 整理可得：m（x+3）+y＝0，恒过定点（﹣3，0），
直线 l2 整理可得 x﹣1﹣m（y﹣3）＝0 恒过定点（1，3），
所以两条直线的交点 P 在以（﹣3，0），（1，3）为直径的端点的圆上，
圆心 C（﹣1， ），半径 r＝ |AB|＝ ＝ ，
即 P 的轨迹方程为：（x+1）2+（y﹣ ）2＝ ，
则|QC|＝ ＝3，
故|PQ|的最大值为：3+ ＝ ．
故选：B．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．【答案】BC
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
第 8 页（共 20 页）
向量 与 不共线，A 不正确；
因为| |＝ ，| |＝3，| |＝ ，B 正确；
因为 ，所以 ，即 ，C 正确；
因为 ，D 错误．
故选：BC．
10．【答案】BC
【解答】解：对于选项 A，双曲线 E： ，可得 a＝4，b＝3， ；
则 F1（﹣5，0），F2（5，0），故|F1F2|＝2c＝10．
∵ ，代入 ，|F1F2|＝10，
∴ ，解得 ，故 A 选项错误；
对于选项 B，将 代入双曲线方程中 ，解得 xP＝8，故 ；
∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝8， ，∴|PF1|＝6+8＝14，
则△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝14+6+10＝30，故 B 选项正确；
对于选项 C，∵三角形面积与内切圆半径 r 的关系为 S＝p×r，其中 p 为半周长，得 ，
∴ ，解得 ，故 C 选项正确；
对 于 选 项 D ， 根 据 余 弦 定 理 ，
，
∵ ，0.786＞0.707，且余弦在（0，π）单调递减，
∴ ，故 D 选项错误．
故选：BC．
11．【答案】ACD
【解答】解：记各项为正数的数列{an}的前 n 项积为 Tn， n∈N*，an+Tn＝λ（λ＞0），
对于 A 选项：由 an+Tn＝λ，λ＞0，
第 9 页（共 20 页）
当 n＝1 时，a1+a1＝λ，即 ；
当 n＝2 时，a2+a1a2＝λ，即 ，
因为 5a2＝4a1，所以 ，即 λ＝3，故 A 选项正确；
对于 B 选项：当 λ＝1 时，an+Tn＝1，
当 n＝1 时，a1+a1＝1，则 ，即 ，
当 n≥2 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
根据等差数列的通项公式可得 ，
即 ，则 ，故 B 选项错误；
对于 C 选项，当 an＝1，λ＝2 时，Tn＝1，此时满足 n∈N*，an+Tn＝λ，
此时数列{an}既是等比数列，也是等差数列，故 C 选项正确；
对于 D 选项：由 an+Tn＝λ，λ＞0，得 Tn＝λ﹣an，
当 n≥2 时，Tn﹣1＝λ﹣an﹣1，
则 ，即 ，n≥2，
则 ，
若数列 为等差数列，则 为常数 d，
若 d＝0，则 an﹣1＝1（n≥2）恒成立，即 an＝1（n≥1）恒成立，则 λ＝2；
若 d≠0，则 ，解得 λ＝1，
综上所述，λ＝1，或 λ＝2，故 D 选项正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．【答案】﹣15．
第 10 页（共 20 页）
【解答】解：将圆 C ：x2+y2+2x+m＝0 化为标准方程为：（x+1）2+y21 ＝1﹣m，
所以圆心为 C1（﹣1，0），半径为 （m＜1）；
圆 C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1 的圆心为 C2（2，4），半径为 r2＝1；
因为 C1 与 C2 外切，所以|C1C2|＝r1+r2，
因为 ，所以 ，解得 m＝﹣15．
故答案为：﹣15．
13．【答案】 ．
【解答】解：因为 ，
所以 an+1﹣an＝（ ﹣1）﹣（ ）＝ ，
bn+1﹣bn＝（ ﹣2）﹣（ ﹣2）＝ ，
所以数列{an}，{bn}均为等差数列，
设{an}，{bn}的公共项所构成的新数列{cn}，
则由等差数列的性质可知：数列{cn}也必为等差数列，
且 c1＝0，c2＝1，c3＝2，
所以 cn＝0+（n﹣1）×1＝n﹣1，
所以 Sn＝0×n+ ＝ ．
故答案为： ．
14．【答案】 ．
【解答】解：由题意知，动椭圆 C 的长半轴长为 1，
设 C 的半焦距为 c，则 c2＝1﹣b2，且 C 的离心率也为 c，
由椭圆的对称性知∠F1M2F2＜ ≤∠F1M1F2，
∴cos∠F1M1F2≤cos ＜cos∠F1M2F2，即 ，
第 11 页（共 20 页）
①当点 M 在上顶点 M1 位置时（临界位置一），
在△F1M1F2 中，由余弦定理得， ；
②当点 M 的横坐标为 ，即点 M 在点 M2 时（或横坐标为 对应的点）（临界位置二），
满足条件的点有四个，不妨取 ，
则 ，
由椭圆的定义知，|F1M2|+|F2M2|＝2a＝2，
∴|F1M2|＝2﹣（1﹣ ）＝1+ ，
在△F1M2F2 中，由余弦定理得， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴C 的离心率的取值范围为 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【答案】（1）x+y﹣6＝0；
（2）x＝3 或 3x+4y﹣25＝0．
【解答】解：（1）点 A（﹣1，2）、点 B（4，7），
可得 AB 的中点 C（ ， ），kAB＝ ＝1，
故线段 AB 的垂直平分线方程为：y﹣ ＝（﹣1）×（x﹣ ），即 x+y﹣6＝0；
第 12 页（共 20 页）
（2）联立 ，解得 ，即 O1（4，2），
半径 r＝|AO1|＝ ＝5，
圆 O1 为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝25，
当直线 l 的斜率不存在时，为 x＝3，圆心到直线的距离 d＝1，弦长为 2 ＝4 ；
当直线 l 的斜率存在时，设为 y﹣4＝k（x﹣3），即 kx﹣y+4﹣3k＝0，
则由弦长为 4 可得圆心到直线的距离 d＝1，
即| ＝ ＝1，解得 k＝﹣ ，即直线方程为 3x+4y﹣25＝0．
故直线 l 的方程为：x＝3 或 3x+4y﹣25＝0．
16．【答案】（1） ，或 ；
（2）T2n＝ ．
【解答】解：（1）已知数列{an}为等比数列，a1＝2，且 a2，a3， 成等差数列，
根据等差中项可得 ，
设数列{an}公比为 q，
根据等比数列的通项公式可得 ，
解得 ，或 q＝2，
当 时， ；
当 q＝2 时， ；
综上， ，或 ；
（2）若{an}为单调递增数列，cn＝ ，
则 ，
所以 ，
所以数列{cn}的前 2n 项和 T2n＝c1+c2+c3+c4+ +c2n﹣1+c2n＝（c1+c3+ +c2n﹣1）+（c2+c4+ +c2n）
第 13 页（共 20 页）
＝（21+23+ +22n﹣1）+（2+4+ +2n）
＝
＝ ．
17．【答案】（1）取 AC 的中点 O，连接 OB，OB1，如图所示，
易知 OB⊥AC，OB＝OA＝1，
AC⊥BB1，OB∩BB1＝B，OB，BB1 面 OB1B，所以 AC⊥面 OB1B，
又因为 OB1 面 OB1B，所以 AC⊥OB1，
由勾股定理可得 ，
又因为 ，所以 OB⊥OB1，
又因为 AC，OB 面 ABC，AC∩OB＝O，所以 OB1⊥面 ABC，
又因为 OB1 面 ACB1，故可以证得面 ACB1⊥面 ABC；
（2） ．
【解答】解：（1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OB，OB1，如图所示，
易知 OB⊥AC，OB＝OA＝1，
AC⊥BB1，OB∩BB1＝B，OB，BB1 面 OB1B，所以 AC⊥面 OB1B，
又因为 OB1 面 OB1B，所以 AC⊥OB1，
由勾股定理可得 ，
又因为 ，所以 OB⊥OB1，
又因为 AC，OB 面 ABC，AC∩OB＝O，所以 OB1⊥面 ABC，
又因为 OB1 面 ACB1，故可以证得面 ACB1⊥面 ABC；
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：
第 14 页（共 20 页）
B（1，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），A1（﹣1，﹣1，1），C1（﹣1，1，1），
， ， ，
，
设 ，0≤λ≤1，
则 ，
设平面 BCC1B1 的法向量为 ，
则 ，
令 x1＝1，则 ，
设 CF 与平面 BCC1B1 所成角为 α，
则 ＝ ，
解得 ，所以 ，
同理可得平面 B1CF 的法向量为 ，
设平面 BCC1B1 与平面 B1CF 的夹角为 β，
则 ，
所以平面 BCC1B1 与平面 B1CF 夹角的余弦值为 ．
18．【答案】（1）k＝3；
（2）（i） ；
第 15 页（共 20 页）
（ii）由（i）可知， ，
所以 ，
记数列{cn}的前 n 项和为 Sn，
所以
＝ ，
又
＝ ，
所以{Sn}是递增数列，即 ，
又 ，所以 ，
且 n 趋向于无穷大时， 趋向于 0，Sn 趋向于 1，
所以 ，
综上所述， ．
【解答】解：（1）因为 为等比数列，
所以 b1+3， ， 成等比数列，
根据等比中项公式可得 ，
所以（k2+9）2＝（k+3）（k3+27），
即 k4+18k2+81＝k4+3k3+27k+81，
所以 3k（k﹣3）2＝0，
因为 k≠0，所以 k＝3，
检验如下，若 ，
则有 ，
所以 k＝3；
（2）（i）当 k＝2 时，得 ，
第 16 页（共 20 页）
所以 ，
也即 ，
当 n＝1 时，易知 a1＝2；
当 n≥2 时， ，
即 ，也即 ，
又 a1＝2，不满足上式，
所以{an}的通项公式为 ；
证明：（ii）由（i）可知， ，
所以 ，
记数列{cn}的前 n 项和为 Sn，
所以
＝ ，
又
＝ ，
所以{Sn}是递增数列，即 ，
又 ，所以 ，
且 n 趋向于无穷大时， 趋向于 0，Sn 趋向于 1，
所以 ，
综上所述， ．
19．【答案】（1）p＝1， ；
第 17 页（共 20 页）
（2）（i）证明：（i）设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 ， ，
由题可知，直线 QA 的斜率不为 0，设切线 QA 的方程为 x﹣x1＝m（y﹣y1），
联立方程 ，整理得 y2﹣2my+2my1﹣2x1＝0，
令Δ＝4m2﹣4（2my1﹣2x1）＝0，得 m2﹣2my1+2x1＝0，
即 ，所以 m＝y1，
则切线 QA 的方程为 x﹣x1＝y1（y﹣y1），整理得切线 QA：yy1＝x+x1，
同理可得切线 QB：yy2＝x+x2，
设两切线交于点 Q（x0，y0），则 ，
所以切点弦 AB 的方程为 y0y＝x+x0，
直线 OQ 方程为 ，由 AB⊥OQ，且 S，T 不重合可知 y0≠0，
因为直线 AB 斜率为 ，直线 OQ 斜率为 ，AB⊥OQ，
所以 ，解得 x0＝﹣1，
故点 Q 在定直线 x＝﹣1 上，设 Q（﹣1，t）（t≠0），
则直线 AB 的方程为 x＝ty+1，则 T（1，0），
因为 ，取点 D 为 OT 的中点，则 ，
所以存在定点 ，使得|DS|为定值；（ii） ．
【解答】解：（1）因为 C 过点（2，2），所以 22＝4p，解得 p＝1，
所以 C 的准线方程为 ．
（2）证明：（i）设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 ， ，
由题可知，直线 QA 的斜率不为 0，设切线 QA 的方程为 x﹣x1＝m（y﹣y1），
联立方程 ，整理得 y2﹣2my+2my1﹣2x1＝0，
令Δ＝4m2﹣4（2my1﹣2x1）＝0，得 m2﹣2my1+2x1＝0，
第 18 页（共 20 页）
即 ，所以 m＝y1，
则切线 QA 的方程为 x﹣x1＝y1（y﹣y1），整理得切线 QA：yy1＝x+x1，
同理可得切线 QB：yy2＝x+x2，
设两切线交于点 Q（x0，y0），则 ，
所以切点弦 AB 的方程为 y0y＝x+x0，
直线 OQ 方程为 ，由 AB⊥OQ，且 S，T 不重合可知 y0≠0，
因为直线 AB 斜率为 ，直线 OQ 斜率为 ，AB⊥OQ，
所以 ，解得 x0＝﹣1，
故点 Q 在定直线 x＝﹣1 上，设 Q（﹣1，t）（t≠0），
则直线 AB 的方程为 x＝ty+1，则 T（1，0），
因为 ，取点 D 为 OT 的中点，则 ，
所以存在定点 ，使得|DS|为定值．
（ii） ，
所以 ，
因为 ＝ ，
所以 ，
于是， ，
由均值不等式 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 S，T 不重合，满足条件，
所以 的最小值为 ．
第 19 页（共 20 页）
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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5 分）在空间直角坐标系中，点 P（1，3，6）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6）
2．（5 分）已知直线 l 的方向向量为（1，2），且在 y 轴上的截距为﹣2，则 l 的方程为（ ）
A．2x+y+2＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．2x﹣y+2＝0
3．（5 分）若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．（5 分）若双曲线 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（5 分）若抛物线 上的点 P（m，n）（m＞0）到其焦点 F 的距离为 3，则实数 m 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（5 分）在三棱锥 A﹣BCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AB＝AC＝2，AD＝4，E，F 分别为 BD，CD
的中点，则异面直线 EC，AF 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5 分）已知椭圆 C： 的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 l 与直线 AF 平行，若 C 上有且仅有
三个点到 l 的距离为 ，则 l 的方程为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
8．（5 分）已知直线 l1：mx+y+3m＝0 和 l2：x﹣my+3m﹣1＝0，l1 和 l2 的交点记为 P，若点 ，
则|PQ|的最大值为（ ）
第 1 页（共 20 页）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
（多选）9．（6 分）已知空间向量 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D． 与 夹角的余弦值为
（多选）10．（6 分）已知点 P 是双曲线 E： 右支上一点，F1，F2 分别为 E 的左、右焦点，若△
PF1F2 的面积为 ，则（ ）
A．点 P 的纵坐标为
B．△PF1F2 的周长为 30
C．△PF1F2 的内切圆半径为
D．∠F1PF2 大于
（多选）11．（6 分）记各项为正数的数列{an}的前 n 项积为 Tn， n∈N*，an+Tn＝λ（λ＞0），则（ ）
A．若 5a2＝4a1，则 λ＝3
B．当 λ＝1 时，
C．{an}可能为等比数列，亦可能为等差数列
D．若数列 为等差数列，则 λ＝1，或 λ＝2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）已知圆 C1：x2+y2+2x+m＝0，C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1，若 C1 与 C2 外切，则 m＝ ．
13．（5 分）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为 ，将{an}，{bn}的公共项按从小到
大依次排列得到新的数列{cn}，则{cn}的前 n 项和 Sn＝ ．
14．（5 分）记动椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，若 C 上存在点 M（x0，y0）使得
第 2 页（共 20 页）
，且 x0 的取值范围为 ，则 C 的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知在平面直角坐标系中，点 A（﹣1，2）、点 B（4，7）在圆 O1 上．
（1）求线段 AB 的垂直平分线方程；
（2）若圆心在直线 3x﹣2y﹣8＝0 上，且过点 M（3，4）的直线 l 被圆 O1 截得的弦长为 ，求 l 的
方程．
16．（15 分）已知数列{an}为等比数列，a1＝2，且 a2，a3， 成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}为单调递增数列，且 cn＝ ，求数列{cn}的前 2n 项和 T2n．
17．（15 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，△AB1B 是等边三角形， ，AB⊥BC，AC⊥BB1．
（1）证明：平面 ACB1⊥平面 ABC；
（2）点 F 是线段 A1C1 上一动点，若直线 CF 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 ，求平面 BCC1B1 与
平面 B1CF 的夹角的余弦值．
18．（17 分）已知 n∈N*，a1bn+a2bn﹣1+ +an﹣1b2+anb1＝（n+1） bn，且 ，且 k≠0）．
（1）若数列 为等比数列，求 k 的值；
（2）当 k＝2 时，
（i）求数列{an}的通项公式；
（ ii）设 ，记数列 {cn}的前 n 项和为 Sn，证明：
．
19．（17 分）已知抛物线 C：y2＝2px 经过点（2，2），O 为抛物线的顶点，点 A，B 在抛物线上，以 A，B
第 3 页（共 20 页）
为切点的两条切线交于点 Q．
（1）求 p 的值及 C 的准线方程；
（2）设直线 AB 分别与直线 OQ，x 轴的交于点 S，T（S，T 不重合），且 AB⊥OQ．
（i）证明：存在定点 D，使得|DS|为定值；
（ii）求 的最小值．
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2025-2026 学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D C B D B
二．多选题（共 3 小题）
题号 9 10 11
答案 BC BC ACD
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．【答案】D
【解答】解：设 p（1，3，6）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y，z），
则 x＝1，y＝﹣3，z＝﹣6，
所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：由题可得直线 l 的斜率 ，
又 l 在 y 轴上的截距为﹣2，
所以 l 的方程为 y＝2x﹣2，即 2x﹣y﹣2＝0．
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：若 构成空间的一个基底，
选项 A： ，共面；
选项 B： ，共面；
选项 C：假设 ，则 ，
第 5 页（共 20 页）
得： ，此时无解，不共面；
选项 D： ，共面．
故选：C．
4．【答案】D
【解答】解：双曲线 的离心率为 ，
， ，可得 ，
双曲线 的渐近线方程为 y＝ ．
故选：D．
5．【答案】C
【解答】解：抛物线方程 可化为 x2＝4y，
焦点为（0，1），准线方程：y＝﹣1，
已知点 P（m，n）到焦点的距离为 3，根据抛物线定义，点 P 到准线 y＝﹣1 的距离也为 3，
点 P 的纵坐标为 n，因此 n﹣（﹣1）＝3，即 n+1＝3，解得 n＝2，
因为点 P（m，n）在抛物线上，将 n＝2 代入 x2＝4y，得：m2＝4×2＝8，
又因为 m＞0，所以 ．
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：如图，将三棱锥 A﹣BCD 放置于长方体中，AB＝AC＝2，AD＝4，建立如图所示空间直角
坐标系，
第 6 页（共 20 页）
C（0，2，0），E（1，0，2），A（0，0，0），F（0，1，2），
所以 ， ，
可得 ＝1×0+（﹣2）×1+2×2＝2，| |＝ ＝3，| |＝ ＝ ，
所以 cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
所以异面直线 EC，AF 所成角的余弦值为|cos＜ ， ＞|＝ ．
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：由题可得：a2＝3，b2＝2，c2＝a2﹣b2＝3﹣2＝1，
所以 ，
所以椭圆的右焦点为 F（1，0），上顶点为（0， ），
直线 AF 的斜率为 ，
因为直线 l 与直线 AF 平行，所以直线 l 与直线 AF 的斜率相同，
设直线 l 的方程为 ，即
因为 C 上有且仅有三个点到 l 的距离为 ，说明椭圆与直线 l 的距离为 的平行线中，
一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况），
设与 l 平行且距离为 的直线为 ，根据两平行线距离公式：
，化简得 ，即 ，
联立 ，消元整理得 ，
第 7 页（共 20 页）
因为直线 l1 与椭圆相切，所以 ，解得 ，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取+号），
此时直线 l 的方程为 ，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取﹣号），此时直线 l 的方程为
，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取﹣号），
此时直线 l 的方程为 ，此时直线 l 与椭圆相离，不符合题意，
当 时，结合 ，有 ，解得 （取+号），此时直线 l 的方程为
，此时直线 l 与椭圆相离，不符合题意；
故 或 满足题意．
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：直线 l1：mx+y+3m＝0 与直线 l2：x﹣my+3m﹣1＝0，可得 m 1+1 （﹣m）＝0，
所以 l1⊥l2，
而直线 l1 整理可得：m（x+3）+y＝0，恒过定点（﹣3，0），
直线 l2 整理可得 x﹣1﹣m（y﹣3）＝0 恒过定点（1，3），
所以两条直线的交点 P 在以（﹣3，0），（1，3）为直径的端点的圆上，
圆心 C（﹣1， ），半径 r＝ |AB|＝ ＝ ，
即 P 的轨迹方程为：（x+1）2+（y﹣ ）2＝ ，
则|QC|＝ ＝3，
故|PQ|的最大值为：3+ ＝ ．
故选：B．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．【答案】BC
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
第 8 页（共 20 页）
向量 与 不共线，A 不正确；
因为| |＝ ，| |＝3，| |＝ ，B 正确；
因为 ，所以 ，即 ，C 正确；
因为 ，D 错误．
故选：BC．
10．【答案】BC
【解答】解：对于选项 A，双曲线 E： ，可得 a＝4，b＝3， ；
则 F1（﹣5，0），F2（5，0），故|F1F2|＝2c＝10．
∵ ，代入 ，|F1F2|＝10，
∴ ，解得 ，故 A 选项错误；
对于选项 B，将 代入双曲线方程中 ，解得 xP＝8，故 ；
∵|PF1|﹣|PF2|＝2a＝8， ，∴|PF1|＝6+8＝14，
则△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝14+6+10＝30，故 B 选项正确；
对于选项 C，∵三角形面积与内切圆半径 r 的关系为 S＝p×r，其中 p 为半周长，得 ，
∴ ，解得 ，故 C 选项正确；
对 于 选 项 D ， 根 据 余 弦 定 理 ，
，
∵ ，0.786＞0.707，且余弦在（0，π）单调递减，
∴ ，故 D 选项错误．
故选：BC．
11．【答案】ACD
【解答】解：记各项为正数的数列{an}的前 n 项积为 Tn， n∈N*，an+Tn＝λ（λ＞0），
对于 A 选项：由 an+Tn＝λ，λ＞0，
第 9 页（共 20 页）
当 n＝1 时，a1+a1＝λ，即 ；
当 n＝2 时，a2+a1a2＝λ，即 ，
因为 5a2＝4a1，所以 ，即 λ＝3，故 A 选项正确；
对于 B 选项：当 λ＝1 时，an+Tn＝1，
当 n＝1 时，a1+a1＝1，则 ，即 ，
当 n≥2 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
根据等差数列的通项公式可得 ，
即 ，则 ，故 B 选项错误；
对于 C 选项，当 an＝1，λ＝2 时，Tn＝1，此时满足 n∈N*，an+Tn＝λ，
此时数列{an}既是等比数列，也是等差数列，故 C 选项正确；
对于 D 选项：由 an+Tn＝λ，λ＞0，得 Tn＝λ﹣an，
当 n≥2 时，Tn﹣1＝λ﹣an﹣1，
则 ，即 ，n≥2，
则 ，
若数列 为等差数列，则 为常数 d，
若 d＝0，则 an﹣1＝1（n≥2）恒成立，即 an＝1（n≥1）恒成立，则 λ＝2；
若 d≠0，则 ，解得 λ＝1，
综上所述，λ＝1，或 λ＝2，故 D 选项正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．【答案】﹣15．
第 10 页（共 20 页）
【解答】解：将圆 C ：x2+y2+2x+m＝0 化为标准方程为：（x+1）2+y21 ＝1﹣m，
所以圆心为 C1（﹣1，0），半径为 （m＜1）；
圆 C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1 的圆心为 C2（2，4），半径为 r2＝1；
因为 C1 与 C2 外切，所以|C1C2|＝r1+r2，
因为 ，所以 ，解得 m＝﹣15．
故答案为：﹣15．
13．【答案】 ．
【解答】解：因为 ，
所以 an+1﹣an＝（ ﹣1）﹣（ ）＝ ，
bn+1﹣bn＝（ ﹣2）﹣（ ﹣2）＝ ，
所以数列{an}，{bn}均为等差数列，
设{an}，{bn}的公共项所构成的新数列{cn}，
则由等差数列的性质可知：数列{cn}也必为等差数列，
且 c1＝0，c2＝1，c3＝2，
所以 cn＝0+（n﹣1）×1＝n﹣1，
所以 Sn＝0×n+ ＝ ．
故答案为： ．
14．【答案】 ．
【解答】解：由题意知，动椭圆 C 的长半轴长为 1，
设 C 的半焦距为 c，则 c2＝1﹣b2，且 C 的离心率也为 c，
由椭圆的对称性知∠F1M2F2＜ ≤∠F1M1F2，
∴cos∠F1M1F2≤cos ＜cos∠F1M2F2，即 ，
第 11 页（共 20 页）
①当点 M 在上顶点 M1 位置时（临界位置一），
在△F1M1F2 中，由余弦定理得， ；
②当点 M 的横坐标为 ，即点 M 在点 M2 时（或横坐标为 对应的点）（临界位置二），
满足条件的点有四个，不妨取 ，
则 ，
由椭圆的定义知，|F1M2|+|F2M2|＝2a＝2，
∴|F1M2|＝2﹣（1﹣ ）＝1+ ，
在△F1M2F2 中，由余弦定理得， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴C 的离心率的取值范围为 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【答案】（1）x+y﹣6＝0；
（2）x＝3 或 3x+4y﹣25＝0．
【解答】解：（1）点 A（﹣1，2）、点 B（4，7），
可得 AB 的中点 C（ ， ），kAB＝ ＝1，
故线段 AB 的垂直平分线方程为：y﹣ ＝（﹣1）×（x﹣ ），即 x+y﹣6＝0；
第 12 页（共 20 页）
（2）联立 ，解得 ，即 O1（4，2），
半径 r＝|AO1|＝ ＝5，
圆 O1 为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝25，
当直线 l 的斜率不存在时，为 x＝3，圆心到直线的距离 d＝1，弦长为 2 ＝4 ；
当直线 l 的斜率存在时，设为 y﹣4＝k（x﹣3），即 kx﹣y+4﹣3k＝0，
则由弦长为 4 可得圆心到直线的距离 d＝1，
即| ＝ ＝1，解得 k＝﹣ ，即直线方程为 3x+4y﹣25＝0．
故直线 l 的方程为：x＝3 或 3x+4y﹣25＝0．
16．【答案】（1） ，或 ；
（2）T2n＝ ．
【解答】解：（1）已知数列{an}为等比数列，a1＝2，且 a2，a3， 成等差数列，
根据等差中项可得 ，
设数列{an}公比为 q，
根据等比数列的通项公式可得 ，
解得 ，或 q＝2，
当 时， ；
当 q＝2 时， ；
综上， ，或 ；
（2）若{an}为单调递增数列，cn＝ ，
则 ，
所以 ，
所以数列{cn}的前 2n 项和 T2n＝c1+c2+c3+c4+ +c2n﹣1+c2n＝（c1+c3+ +c2n﹣1）+（c2+c4+ +c2n）
第 13 页（共 20 页）
＝（21+23+ +22n﹣1）+（2+4+ +2n）
＝
＝ ．
17．【答案】（1）取 AC 的中点 O，连接 OB，OB1，如图所示，
易知 OB⊥AC，OB＝OA＝1，
AC⊥BB1，OB∩BB1＝B，OB，BB1 面 OB1B，所以 AC⊥面 OB1B，
又因为 OB1 面 OB1B，所以 AC⊥OB1，
由勾股定理可得 ，
又因为 ，所以 OB⊥OB1，
又因为 AC，OB 面 ABC，AC∩OB＝O，所以 OB1⊥面 ABC，
又因为 OB1 面 ACB1，故可以证得面 ACB1⊥面 ABC；
（2） ．
【解答】解：（1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OB，OB1，如图所示，
易知 OB⊥AC，OB＝OA＝1，
AC⊥BB1，OB∩BB1＝B，OB，BB1 面 OB1B，所以 AC⊥面 OB1B，
又因为 OB1 面 OB1B，所以 AC⊥OB1，
由勾股定理可得 ，
又因为 ，所以 OB⊥OB1，
又因为 AC，OB 面 ABC，AC∩OB＝O，所以 OB1⊥面 ABC，
又因为 OB1 面 ACB1，故可以证得面 ACB1⊥面 ABC；
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：
第 14 页（共 20 页）
B（1，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），A1（﹣1，﹣1，1），C1（﹣1，1，1），
， ， ，
，
设 ，0≤λ≤1，
则 ，
设平面 BCC1B1 的法向量为 ，
则 ，
令 x1＝1，则 ，
设 CF 与平面 BCC1B1 所成角为 α，
则 ＝ ，
解得 ，所以 ，
同理可得平面 B1CF 的法向量为 ，
设平面 BCC1B1 与平面 B1CF 的夹角为 β，
则 ，
所以平面 BCC1B1 与平面 B1CF 夹角的余弦值为 ．
18．【答案】（1）k＝3；
（2）（i） ；
第 15 页（共 20 页）
（ii）由（i）可知， ，
所以 ，
记数列{cn}的前 n 项和为 Sn，
所以
＝ ，
又
＝ ，
所以{Sn}是递增数列，即 ，
又 ，所以 ，
且 n 趋向于无穷大时， 趋向于 0，Sn 趋向于 1，
所以 ，
综上所述， ．
【解答】解：（1）因为 为等比数列，
所以 b1+3， ， 成等比数列，
根据等比中项公式可得 ，
所以（k2+9）2＝（k+3）（k3+27），
即 k4+18k2+81＝k4+3k3+27k+81，
所以 3k（k﹣3）2＝0，
因为 k≠0，所以 k＝3，
检验如下，若 ，
则有 ，
所以 k＝3；
（2）（i）当 k＝2 时，得 ，
第 16 页（共 20 页）
所以 ，
也即 ，
当 n＝1 时，易知 a1＝2；
当 n≥2 时， ，
即 ，也即 ，
又 a1＝2，不满足上式，
所以{an}的通项公式为 ；
证明：（ii）由（i）可知， ，
所以 ，
记数列{cn}的前 n 项和为 Sn，
所以
＝ ，
又
＝ ，
所以{Sn}是递增数列，即 ，
又 ，所以 ，
且 n 趋向于无穷大时， 趋向于 0，Sn 趋向于 1，
所以 ，
综上所述， ．
19．【答案】（1）p＝1， ；
第 17 页（共 20 页）
（2）（i）证明：（i）设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 ， ，
由题可知，直线 QA 的斜率不为 0，设切线 QA 的方程为 x﹣x1＝m（y﹣y1），
联立方程 ，整理得 y2﹣2my+2my1﹣2x1＝0，
令Δ＝4m2﹣4（2my1﹣2x1）＝0，得 m2﹣2my1+2x1＝0，
即 ，所以 m＝y1，
则切线 QA 的方程为 x﹣x1＝y1（y﹣y1），整理得切线 QA：yy1＝x+x1，
同理可得切线 QB：yy2＝x+x2，
设两切线交于点 Q（x0，y0），则 ，
所以切点弦 AB 的方程为 y0y＝x+x0，
直线 OQ 方程为 ，由 AB⊥OQ，且 S，T 不重合可知 y0≠0，
因为直线 AB 斜率为 ，直线 OQ 斜率为 ，AB⊥OQ，
所以 ，解得 x0＝﹣1，
故点 Q 在定直线 x＝﹣1 上，设 Q（﹣1，t）（t≠0），
则直线 AB 的方程为 x＝ty+1，则 T（1，0），
因为 ，取点 D 为 OT 的中点，则 ，
所以存在定点 ，使得|DS|为定值；（ii） ．
【解答】解：（1）因为 C 过点（2，2），所以 22＝4p，解得 p＝1，
所以 C 的准线方程为 ．
（2）证明：（i）设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 ， ，
由题可知，直线 QA 的斜率不为 0，设切线 QA 的方程为 x﹣x1＝m（y﹣y1），
联立方程 ，整理得 y2﹣2my+2my1﹣2x1＝0，
令Δ＝4m2﹣4（2my1﹣2x1）＝0，得 m2﹣2my1+2x1＝0，
第 18 页（共 20 页）
即 ，所以 m＝y1，
则切线 QA 的方程为 x﹣x1＝y1（y﹣y1），整理得切线 QA：yy1＝x+x1，
同理可得切线 QB：yy2＝x+x2，
设两切线交于点 Q（x0，y0），则 ，
所以切点弦 AB 的方程为 y0y＝x+x0，
直线 OQ 方程为 ，由 AB⊥OQ，且 S，T 不重合可知 y0≠0，
因为直线 AB 斜率为 ，直线 OQ 斜率为 ，AB⊥OQ，
所以 ，解得 x0＝﹣1，
故点 Q 在定直线 x＝﹣1 上，设 Q（﹣1，t）（t≠0），
则直线 AB 的方程为 x＝ty+1，则 T（1，0），
因为 ，取点 D 为 OT 的中点，则 ，
所以存在定点 ，使得|DS|为定值．
（ii） ，
所以 ，
因为 ＝ ，
所以 ，
于是， ，
由均值不等式 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 S，T 不重合，满足条件，
所以 的最小值为 ．
第 19 页（共 20 页）
第 20 页（共 20 页）
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