2025-2026学年度第一学期期末检测
高二数学
2026.01
本试卷共 4页，19小题，满分 150分．考试用时 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名，
并把条形码粘贴在指定位置．
2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按
以上要求作答，视为无效．
3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
l 2, 31. 3,0 已知直线 经过点 和点 ，则 l的倾斜角为（ ）
π π 2π 5π
A. B. C. D.6 3 3 6
2. 已知向量 a 1,1,0 ,b 1,0,2 ，若向量 a kb与b垂直，则 k （ ）
1 1
A. B. C. 2 D. 2
5 5
3. 2
3
记函数 f x ax 的导函数为 f x ，若 f 1 1，则 a （ ）
x
A. 1 B. 12 C. 1 D. 2
4. 记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 S4 30，且 a3 a5 24，则 a6 （ ）
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
x2 y2
5. 已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的离心率为 e，一条渐近线的斜率为 k，若 e2 k 2 3，则双曲a b
线 C的渐近线方程为（ ）
A. x y 0 B. x 2y 0 C. x 3y 0 D. x 2y 0
第 1页/共 4页
6. 在等比数列 an 中，已知 a1 3，且 4 a3 a2 a4 ，若bn 1 an bn ，记数列 bn 的前 n项和为 Sn，
则 S10 （ ）
A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023
7. 在三棱台 ABC A B C 中， AB BC BB 2, A B
π
1，且 ABC ，若BB 2
平面 ABC，则
点 B 到直线 A C的距离为（ ）
A 2 2. 2 2 B. 5 C. 3 D. 3
8. 设 F 为曲线C : x2 4y 0的焦点，P为C上的动点，过点 E 1, 4 的直线与C相交于 A, B两点，记线
段 AB的中点为M ，则 PM PF 最小值为（ ）
77 39
A. B. C. 5 D. 7
16 8
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P,Q, R 分别为线段 AB1, AC, AD1 的中点，设
AP a, AQ b, AR c，则（ ）
A. BD1 AC1
a ,a B. b ,b c 可以作为空间中的一组基底
C. 若 AS 2a 4b 3c，则 P,Q, R, S 四点共面
D. AC1 2a 2b 2c
10. 在数列 an 中满足 a1 1,a2 0, a n n 1 an 2 n N ，若数列 a2n 1 单调递增，且数列 a2n 单调
递减，则（ ）
A. a3 3 B. anan 1 0
2026
C. a 2n 1 1 22n 2 a2n 2 D. a2026 3
11. 已知圆C : x2 2 x y2 4 y 4 2 0，直线 l : kx- y = 0，动点 P在 l上，且动点 A, B在圆C上，
第 2页/共 4页
则（ ）
A. 圆心C在一条定直线上
3
B. 若 CP 的最小值恰为 ，则 k
4
C. 当 k 2时， l被圆C截得的弦长可以为 k 2 2
4
D. 若 APB 60 ，则 k , 0, 3
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知直线 l1 : y mx 1, l2 : x 2y 1 0，若 l1 l2，则m __________．
a x2 y213. 若直线 x 与椭圆 C : 1 a b 0 交于 P,Q 两点，且 PQ a ，则 C 的离心率为2 a2 b2
__________．
1 f 1 f 2 f 2024 50614. 已知函数 f x cos πx x ，且 ，则实数 c的值4 2 2025 2025 2025 c
f a b
为__________；若 a b c，且 a b 0，则 的取值范围为__________f b a
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. x 2已知函数 f x e x ，
（1）求曲线 y f x 在点 1,e 1 处的切线方程；
（2 x）若函数 g x e x f x ，且经过点 1, 4 的直线 l与曲线 y g x 相切，求 l的方程．
16. 已知过点D 1,0 的直线 l与抛物线C : y2 2px p 0 交于两点 A,B，且OA OB 3．
（1）求 p的值；
π
（2）点E的坐标为 1,1 ，且 AEB ，求 l的方程．
2
17. 如图，在四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD, AB / /DC,BC CD AD 2, AB 4．
第 3页/共 4页
（1）证明：PA BD；
（2）若 P, B, C , D均在球O的球面上，且球O的表面积为 25π．
（i）求 PD的长；
（ii）求平面 PAB与平面 ABC夹角的余弦值．
18. 1 n 1记数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a1 2 a2 2 an 3n n N ．
（1）求 an 的通项公式；
Sn 1 1
（2）证明： S n ；n 1 2 3 2
（3）若bn 3n 2 n N ，现将 an 中的第b1项，第b2项，第b3项，…，第bn 项移除，余下的项按原
顺序组成一个新的数列 cn ，记 cn 的前 n项和为Tn ．已知任意 n N , T2n T2n 1，求实数 的最小值．
x219. y
2 6
已知椭圆C : 1 a b 0 的焦距为 4，且C的离心率为 ．
a2 b2 3
（1）求C的标准方程；
（2）设C的右焦点为 F ，经过点 P 3, 0 且斜率非零的直线与C交于M , N 两点，且M 在线段PN 上．
（i）证明：直线 FM , FN 的斜率之和为 0；
（ii）若 FMN 5 FNM ，求直线MN 的斜率．
第 4页/共 4页高二数学参考答案 2026.01
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C A D D B
8．设 F 为曲线C ：x2 4y 0的焦点，P为C 上的动点，过点 E(1, 4)的直线与C 相交于 A，
B两点，记线段 AB的中点为M ，则 PM PF 最小值为
77 39
A． B． C．5 D． 7
16 8
解析：设过点 E(1, 4)的直线方程为： y k (x 1) 4，且 A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 )，
y k(x 1) 4,联立方程 得2 x
2 4kx (4k 16) 0，
x 4y 0,
∴ x1 x2 4k，∴M (2k , 2k 2 k 4) ，
易知C 的焦点为 F(0,1)，准线方程为 y 1，
1 39
∴ PM PF PM PN MN (2k 2 k 4) ( 1) 2(k )2 ，
4 8
不难知道当 k 1 时， PM PF 最小值为 39，应选 B．
4 8
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 BC ABD ABD
11．已知圆C : x2 2 x y2 4 y 4 2 0 ，直线 l : kx y 0，动点 P在 l上，且动点 A，
B在圆C 上，则
A．圆心C 在一条定直线上
3
B．若 |CP |的最小值恰为 ，则 k
4
C．当 k 2时， l被圆C 截得的弦长可以为 k 2 2
D．若 APB 60
4
，则 k ( , ] [0, )
3
参考答案及评分标准 第 1 页 （共 10 页）
解析：对于选项 A，C 的标准方程为： (x )2 (y 2 )2 2 ，
易知圆心C( ,2 )在定直线 y 2x上，选项 A正确；
对于选项 B，若 |CP |的最小值恰为 ，则C 到 l的距离为 ，
| k 2 | 3
∴ 2 ，解得 k ，选项 B正确．k 1 4
2
对于选项 C，当 k 2时，易知C( ,2 )到直线 l : kx y 0
| k 2 |
的距离为 ，
k 2 1 k 2 1
此时，若 l被圆C 截得的弦长为 k 2 2 ，
k 2 2 2 2 4
则 ( )2 ( )2 2 k 2 ，即 2，
2 k 2 1 4 k 2 1
k 2 2 4 2 k
2 2 4
∵ 2 ，
4 k 2 1 4 k 2 1
k 2 1 4
∴ 22 不可能成立，选项 C错误；2 k 1
| k 2 |
对于选项 D，当 l和圆C
3
有公共点时，即 | |2 ，解得 k ，k 1 4
此时显然存在动点 P， A， B，使得 APB 60 ；
当 l和圆C 没有公共点时，易知 k
3
，
4
欲使 APB最大，则需 PA与圆C 相切于 A，且 PB与圆C 相切于 B，如图所示，
| |
显然 sin CPA ， APB 2 CPA，当CP l时， |CP |最短，即 sin CPA最大，
|CP |
∴ CPA也最大，即 APB最大，
| | 1
若 APB 60 ，则 sin30 ，解得 | | |CP | 2 | |，
|CP | 2
参考答案及评分标准 第 2 页 （共 10 页）
∴ | |
| k 2 |
2 | |
2 ，解得 k
4 3
，或 0 k ，
k 1 3 4
k ( , 4综上所述， ] [0, )，选项 D正确，应选 ABD．
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
5
12． 2； 13 6． ； 14．1；[ ,1]．
3 14
14．已知函数 f (x) cos πx
1
1x ，且 f ( ) f (
2 ) f (2024) 506 ，则实数
4 2 2025 2025 2025 c
c f (a) b的值为 ；若 a b c，且 a b 0，则 f (b) a的取值范围为 ．
（第一空 2 分，第二空 3 分）
解析：由题可知，
1 1 1 4 x 1 4 x 1 4 x 2 4 x 1
4x
2 41 x 2 4x 2 4x (41 x
2) 4x
2 4 2 4x 4x 2 2(4x
2) 2(4x 2) 2
∴ f (x) f (1 x) cos πx 1 1 1 x cos(π πx ) ，4 2 41 x 2 2
S f ( 1 ) f ( 2 ) f (2024令 )，
2025 2025 2025
2024 2 1
又 S f ( ) f ( ) f ( )，
2025 2025 2025
2S 2024 [ f ( 1 ) f ( 2024 1∴ )] 2024 1012 ，
2025 2025 2
S 506 506∴ ，∴ c 1；
c
∵ a b c 1 f (a) f (b) f (a) f (1 a) 1 ，∴ ，
2
1
f (a) b f (b) 1 a且 2 3 3 1 1，
f (b) a f (b) a 2[ f (b) a] 2[ f (b) 1 b]
∵ f (b) 1 b cos πb
1
b b 1 a b 0 a b 1
1
，且由 ，及 ，可知 0 b ，
4 2 2
1 1
∴令函数 g(b) cos πb b b 1，0 b ，4 2 2
g(0) 7则 ， g(
1) 3 ，且易知 g(b)为单调递减函数，
3 2 4
g(1∴ ) g(b) g(0) 3 7，即 g(b) ，
2 4 3
参考答案及评分标准 第 3 页 （共 10 页）
5 f (a) b 1 f (a) b易知
5
14 f (b) ，∴ a f (b) a的取值范围为[ ,1]． 14
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知函数 f (x) e x x 2，
(1) 求曲线 y f (x)在点 (1,e 1)处的切线方程；
(2) 若函数 g(x) ex x f (x) ，且经过点 (1, 4)的直线 l与曲线 y g(x)相切，求 l的
方程．
解：(1)易知 f (x) e x 2x， f (1) e 2， …………………………………………2 分
∴函数 f (x) e x x 2在点 (1, e 1)处的切线方程为 y (e 2)(x 1) e 1，
即 (e 2)x y 1 0 . ……………………………………………………………………4 分
（2）由题 g(x) ex x (ex x 2) x 2 x ，………………………………………………5 分
∴ g (x) 2x 1，设切点为 (x , x 21 1 x1 )，
∴切线方程为 y (x 21 x1 ) (2x1 1)(x x1 )， …………………………………………8 分
又切线过点 1, 4 ，∴ 4 (x 21 x1) (2x1 1)(1 x1)，
解得 x1 3，或 x1 1， ………………………………………………………………10 分
当 x1 3时，切线方程为 y (9 3) (6 1)(x 3) ，即5x y 9 0；
当 x1 1时，切线方程为 y (1 1) ( 2 1)(x 1)，即3x y 1 0，
∴ l的方程为5x y 9 0，或3x y 1 0 . …………………………………13 分
16．（15 分）
2 已知过点D 1,0 的直线 l与抛物线C : y 2px( p 0)交于两点 A，B，且OA OB 3．
(1) 求 p的值；
(2) 点 E 的坐标为 ( 1,1)
π
，且 AEB ，求 l的方程．
2
解：(1) 显然直线 l的斜率非零，不妨设 l的方程为 x ny 1， …………………………1 分
x ny 1,
联立 22 整理得 y 2pny 2p 0， ……………………………………………2分 y 2px,
易知 4p2n2 8p 0，设 A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 )，
参考答案及评分标准 第 4 页 （共 10 页）
∴ y1 y2 2pn， y1 y2 2p， …………………………………………………………3分
y2 y2
∴OA OB x1x2 y
1 2
1y2 y y4p2 1 2
1 2p 3，……………………………………5 分
∴ p 2． …………………………………………………………………………………6分
(2)由(1)得 y1 y2 4n， y1 y2 4，………………………………………………………7 分
y2 2
则 x1 x2 n(y1 y2 ) 2 4n
2 2 y， x 1 21x2 1， …………………………………9分16
∴ EA EB (x1 1)(x2 1) (y1 1)(y2 1)
x1x2 (x1 x2 ) 1 y y (y y ) 1 1 4n21 2 1 2 2 1 4 4n 1
4n2 4n 1 (2n 1)2 0， …………………………………………………………12 分
1
∴ n ……………………………………………………………………………………13 分
2
l 1此时 的方程为 x y 1，即 2x y 2 0 ． …………………………………………15 分
2
17.（15 分）
如图，在四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD， AB //DC， BC CD AD 2，
AB 4．
(1) 证明： PA BD；
(2) 若 P，B，C，D均在球O的球面上，且球O的表面积为 25π．
(i) 求 PD的长；
(ii) 求平面 PAB与平面 ABC夹角的余弦值．
(第 17题图)
解：(1)如图所示，取 AB的中点O1，连接CO1，
∵DC AO1 2， AB // DC，
∴四边形DCO1A为平行四边形，
参考答案及评分标准 第 5 页 （共 10 页）
∴CO1 AD 2，
又∵ BC O1B 2，
∴△BCO1为正三角形，即有 ABC 60
，
在等腰梯形中， BCD 120 ， AD CD BC 2， AB 4，则 BD 2 3，
∴ AD2 BD2 AB2 ，
∴ AD BD， ……………………………………………………………………………2分
∵ PD 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，
∴ PD BD， ……………………………………………………………………………3分
∵ AD PD D， AD， PD 平面 PAD，
∴ BD 平面 PAD，………………………………………………………………………4分
∵ PA 平面 PAD，
∴ BD PA． …………………………………………………………………………5分
(2)(i)∵ AD AO1 2， DAB 60
，
∴△AO1D为等边三角形，
∴O1D O1A O1B O1C 2，
即O1为四边形 ABCD外接圆的圆心，
∴O1为△BCD的外接圆圆心，半径 r O1A 2，
且OO1 平面 ABCD，…………………………………………………………………7分
∵ PD 平面 ABCD，
∴ PD //OO1，且OP OD OA OB OC，
O R OD (PD∴球 的半径 )2 r2 ， ……………………………………………8分
2
∵ S 4πR2 25π，
∴ R
5
，…………………………………………………………………………………9分
2
PD
∴ ( )2 r2 25 R2 ，
2 4
参考答案及评分标准 第 6 页 （共 10 页）
∴ PD 3．………………………………………………………………………………10 分
(ii)（方法一）过D作DE AB于 E ，
∵ AB PD，DE,PD 平面 PDE，DE PD D，∴ AB 平面 PDE，
又∵ PE 平面 PDE，∴ AB PE ，
∴ PED为二面角C AB P的平面角， ……………………………………………13 分
tan PED PD 3∵ 3， ………………………………………………………14 分
DE 3
∴二面角C AB P
1
的平面角的余弦值为 ，
2
1
∴平面 PAB与平面 ABC夹角的余弦值为 ． ………………………………………15分
2
（方法二）如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DP方向为 x，y，z轴正方向的
空间直角坐标系，
∴ P(0, 0,3)， A(2, 0, 0)， B(0, 2 3,0)，∴ PA (2, 0, 3)， AB ( 2, 2 3,0)，
易知平面 ABC的一个法向量为 n (0, 0,1)， ………………………………………11 分
设平面 PAB的法向量为m，则 PA m AB m 0，
∴m (3, 3, 2)， ………………………………………………………………………13 分
| cos m, n | | m n | 2 1∴ ， ………………………………………………14分
|m || n | 1 4 2
1
∴平面 PAB与平面 ABC夹角的余弦值为 ． ………………………………………15分
2
18. 记数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 a 2 11 a2 2
n 1an 3n (n N
)．
(1) 求{an}的通项公式；
S
(2) 证明： n 1 1
S 2 3 2n
；
n 1
(3) 若bn 3n 2 (n N
)，现将{an}中的第 b1项，第b2项，第b3 项， ，第bn项移
参考答案及评分标准 第 7 页 （共 10 页）
除，余下的项按原顺序组成一个新的数列{cn}，记{cn}的前 n项和为Tn . 已知任意 n N
，
T2n T2n 1，求实数 的最小值．
解析：（1）当 n 1时， a1 3， ………………………………………………………1分
当 n 2时， a 2 1a 2 n 21 2 an 1 3(n 1) ，①
又 a 2 1a 2 n 11 2 an 3n，② ……………………………………………2分
由② ①可得 2 n 1an 3，即 an 3 2
n 1，n 2，③ ………………………………3分
当 n 1时， a1 3亦满足③式，∴ a n 1n 3 2 (n N ) . ……………………………4分
n
（2 3 (1 2 )）由 a 3 2n 1 (n N n )，不难得到 Sn 3 (2
n 1)， ……………5分
1 2
1
S 3 (2n 1) 2n 1 (2
n 1 1) 1
n 2 2 1 1∴ n 1 ， ………………7分S n 1 3 (2 1) 2n 1 1 2n 1 1 2 2 (2n 1 1)
∵当 n N 时， 2n 2 0， ……………………………………………………………8分
∴ 2 (2n 1 1) 4 2n 2 3 2n 2n 2 3 2n ，
1 1
∴ n 1 ， …………………………………………………………………9分2 (2 1) 3 2n
Sn 1 1∴ n . …………………………………………………………………10分Sn 1 2 3 2
（3）由题意可得数列{c }为3 21n ，3 2
2，3 24，3 25 ，3 27 ，3 28，……，
∴数列{cn}的奇数项构成以 6为首项，公比为8的等比数列；偶数项构成以12为首项，公
比为8的等比数列，易知 c n 12n 1 6 8 ，且 c2n 12 8
n 1 ， …………………………11分
T (c 6 (1 8
n ) 12 (1 8n ) 18 18
∴ 2n 1 c3 c2n 1 ) (c2 c4 c2n ) 8
n，
1 8 1 8 7 7
…………………………………………………………………………………13分
T 18 18 n n 18 60 n∴ 2n 1 T2n c2n 1 8 6 8 8 ，7 7 7 7
…………………………………………………………………………………14分
参考答案及评分标准 第 8 页 （共 10 页）
18 60 n
T 8 n
∴ 2n 1 7 7 1 6 8 7 1 1 ，…………………………15分
T2n 18 18 8n 18 18 8n 3 1
7 7 7 7 8n
1
1 7 T
1 2n 1
11
∵ ，∴ n T 3 ， …………………………………………………………16分8 8 2n
∴若任意 n N
T 11 11
， T T 2n 12n 2n 1，即 ，∴ ，即 的最小值为 ．T2n 3 3
…………………………………………………………………………………17分
19．（17分）
x2 y2
已知椭圆C : (a b 0) C 6的焦距为 ，且 的离心率为 .
a2
2 1 4b 3
(1) 求C 的标准方程；
(2) 设C 的右焦点为 F ，经过点 P(3,0)且斜率非零的直线与C 交于M ，N 两点，且M
在线段 PN上．
(i) 证明：直线 FM ， FN的斜率之和为 0；
(ii) 若 FMN 5 FNM ，求直线MN 的斜率．
a2 b2 6
解：(1) 由已知得 a2 b2 2， ， ……………………………………2分
a 3
2 2
∴ a 6，b 2 ，C x y的方程为 1． …………………………………………4分
6 2
(2) (i) 由(1)可知 F(2, 0)，设M (x1 , y1 )， N (x2 , y2 )，MN : x my 3，
x2 y2
1,
由 6 2 得 (m2 3)y2 6my 3 0， …………………………………………6分
x my 3，
∵ 36m2 12(m2 3) 24m2 36 6 6 0 ，∴m 或m ，…………………7分
2 2
y y y y 2my y y y
∴直线 FM ， FN的斜率之和为 1 2 1 2 1 2 1 2 ，
x1 2 x2 2 my1 1 my2 1 (my1 1)(my2 1)
∵ 2my y y y 6m 6m1 2 1 2 2 0 ，∴直线 FM ， FN的斜率之和为 0． ……10分m 3 m2 3
(ii) 设O为坐标原点，则由(i)知， OFN PFM ， …………………………………11分
而 OFN FNM FPN ， FMN PFM FPM ，
参考答案及评分标准 第 9 页 （共 10 页）
∴ FPN 2 FNP． ……………………………………………………………………12分
FNP FNP 1 | FN | | PN |设 ，则在△ 中，由正弦定理， ，
sin sin 2 sin 3
x2
∵ | FN | (x 2)2 y2 2 2 6 62 2 x2 4x2 4 2 (3 x2 ) | PN | cos 2 ，3 3 3
∴ 2cos 6 sin 3 cos 2 6，即 sin 3 tan 2 ， ………………………………15分
3 sin 3
（方法一）令 cos 2 m，则 0 m 1，由 sin 3 sin 2 cos sin cos 2 ，
2
两边平方可得 (1 m2 )1 m m(1 m2 ) m2 1 m 3(1 m ) 2 ，2 2 2m
∴m2 (4m2 4m 1) 3(1 m)，∴m2 (4m2 4m 4) 3(m2 m 1) ，
∴ (4m2 3)(m2 m 1) 0 ，显然m2 m 1 0，∴ 4m2 3 0，
又 0 m 1 3 3，∴m ，即 cos 2 ，
2 2
易知 FPN 3，即直线MN 的斜率为 ． …………………………………………17分
6 3
6 sin 2
（方法二）∵ sin3 ，
3 cos2
2 sin2 3 sin
2 2 1 cos 6 1
∴等式两边平方，可得 2 ，即 2 1，3 cos 2 3 cos 2
1 (4cos3 2 3cos 2 ) 3∴ 3 ，
cos2 2
∴ 4 4cos3 2 3( 12 cos 2 ) ，cos 2
∴ 4(1 cos3 2 ) 3 (1 cos3 2 ) ，
cos2 2
3
∴ ( 2 4)(1 cos
3 2 ) 0，
cos 2
3
∴ 2 4，或 cos
3 2 1（舍去），
cos 2
3
∴ cos 2 ，
2
3
易知 FPN ，即直线MN 的斜率为 ． …………………………………………17分
6 3
参考答案及评分标准 第 10 页 （共 10 页）
