七年级数学下册人教版7.2.3 平行线的性质（含答案）

7.2.3 平行线的性质
一、单选题
1．如图，AB∥CD，AE能平分∠BAC交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED的度数是（　　）
A．66° B．104° C．114° D．132°
2．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝44°17′，则∠2＝（　　）
A．46°43′ B．45°43′ C．45°83′ D．44°17′
3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝85°，点E、F在BC的延长线上，∠D＝60°，AB∥CD，则∠DEF的度数为（　　）
A．95° B．110° C．115° D．120°
4．如图，已知直线AB∥CD，若∠B＝150°，∠CHE＝30°，则∠FGD的大小为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．将一个含有45°的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．60° C．70° D．80°
6．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．30° D．25°
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝130°，∠ADC＝50°，求证：∠1＝∠2．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（　　）
证明：∵∠A＝130°，∠ADC＝50°，…，∴∠1＝∠2．
A．∴∠A+∠ADC＝180°，∴AD∥BC
B．∴∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD
C．∴∠ADB+∠2＝50°
D．∴AD∥BC
9．一副三角板按如图所示的方式摆放，∠C＝∠F＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°．若AB∥DF，则∠1的度数为（　　）
A．15° B．18° C．20° D．25°
10．已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．如图，在一个弯形管道ABCD中，已知拐角∠BCD＝60°，管道AB∥CD，则∠ABC＝　 　 °．
12．如图，DE∥BC，DF∥AC．若∠1＝110°，则∠2＝　 　 度．
13．如图，这是生活中常见的一种折叠拦道闸示意图，已知AB垂直于地面BE于点B，CD平行于地面BE，已知∠BAC＝150°，则∠ACD的度数为　 　 ．
14．将一副三角尺（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，要使AB∥EF，则∠1的度数应为　 　 ．
15．如图，一束激光PA射入水面，在点A处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB．若∠1＝52°，∠2＝28°，则∠3的度数为　 　 ．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E是BC延长线上一点，EG⊥AB于点G，交AC于点F，且∠1＝∠E．求证：CD平分∠ACB．
17．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
如图：已知∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°，（已知）
∴∠A+∠ABC＝　 　 °．
∴AD∥BC．（ 　 　 ）
∴∠1＝　 　 ．（ 　 　 ）
∵BD⊥DC，EF⊥DC，（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°．（ 　 　 ）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF．（ 　 　 ）
∴∠2＝　 　 ．（ 　 　 ）
∴∠1＝∠2．（ 　 　 ）
18．如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD交BE于点F，且∠A＝∠ADE．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）若∠C＝∠E，求证：BE∥CD．
19．如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．
20．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM，试说明：∠B+∠D＝∠BMD；
【灵活运用】
（2）如图2，AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，当时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，AB∥CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B+∠D的度数．
参考答案
一、单选题
1．C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣48°＝132°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣66°＝114°，
故选：C．
2．B
【解答】解：∵a∥b，AC⊥b，∠1＝44°17′，
∴∠ABC＝∠1＝44°17′（两直线平行，同位角相等），∠ACB＝90°（垂直的定义），
∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣44°17′﹣90°＝45°43′，
故选：B．
3．B
【解答】解：∵∠A＝45°，∠ACB＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣45°﹣85°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠B＝50°（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠DCE＝70°，
∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
4．D
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠B＝150°，
∴∠D＝180°﹣150°＝30°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠FHD＝∠CHE＝30°，
∴∠FGD＝∠FHD+∠D＝30°+30°＝60°．
故选：D．
5．C
【解答】解：如图，过直角顶点作直线l∥a，
∵a∥b，
∴l∥a∥b，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝70°，
故选：C．
6．A
【解答】解：如图：
由题意得：AB∥CE，
∴∠1+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝180°﹣∠1＝70°，
∵AC∥BE，
∴∠2＝∠ACE＝70°，
故选：A．
7．A
【解答】解：如图，
∵DK⊥OA，∠i＝50°，
∴∠i＝∠r＝50°，∠ADK＝∠1+∠r＝90°，
∴∠1＝40°，
∵CD∥OB，
∴∠AOB＝∠1＝40°，
故选A．
8．B
【解答】解：∵∠A＝130°，∠ADC＝50°，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
故A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
9．A
【解答】解：如图：
∵∠C＝∠F＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°．
∴∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AB∥DF，
∴∠F＝∠AOE＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠1＝∠3﹣∠E＝60°﹣45°＝15°，
故选：A．
10．C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，
∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，
与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM（∠ABF+∠CDF），
∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，
∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
二、填空题
11．120．
【解答】解：由题知，
∵AB∥CD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°．
又∵∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
12．70．
【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝110°，
∴∠C＝∠1＝110°（两直线平行，同位角相等），
∵DF∥AC，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：70．
13．120°．
【解答】解：过点A作AF∥CD，
∵CD∥BE，
∴CD∥AF∥BE，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，∠FAB+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB垂直于地面BE于点B，
∴∠ABE＝90°，
∴∠FAB＝90°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠FAB＝150°﹣90°＝60°，
∴∠ACD＝120°，
故答案为：120°．
14．105°．
【解答】解：∵∠E＝45°，
∵AB∥EF，
∴∠E＝∠EDB＝45°，
又∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠1＝∠EDB+∠B＝105°，
故答案为：105°．
15．80°．
【解答】解：∵∠1＝52°，∠2＝28°，
∴∠CEB＝∠1+∠2＝80°，
∵EC∥BD，CD∥AB，
∴∠3＝∠4＝∠CEB＝80°．
故答案为：80°．
三、解答题
16．证明：∵CD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠CDA＝∠EGA＝90°（垂直的定义），
∴CD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠ACD＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠BCD＝∠E（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠E，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB．
17．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）．
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：180；同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
18．（1）解：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°．
解得∠C＝45°；
（2）证明：∵∠A＝∠ADE
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠ABE（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE（等量代换），
∴BE∥CD（同位角相等，两直线平行）．
19．解：（1）EF∥AC，
证明：∵∠1＝∠EAB，
∴AE∥DC，
∴∠2＝∠EAC，
∵∠E+∠2＝180°，
∴∠E+∠EAC＝180°，
∴EF∥AC；
（2）由（1）得EF∥AC，
∵BF⊥EF，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠EAB，∠EAB＝60°，
∴∠EAC＝30°，
∵由（1）可知AE∥DC，
∴∠2＝∠EAC＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠2＝90°﹣30°＝60°．
20．（1）证明：如图（1）过M作ME∥AB，
∵ME∥AB，
∴∠B＝∠BME，
∵AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠D＝∠DME，
∵∠BME+∠DME＝∠BMD，
∴∠B+∠D＝∠BMD；
（2）解：2∠MNC＝∠BMN；理由如下：
如图（2）：过M作ME∥AB，过N作NF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥NF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠C，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∴2∠MNC＝∠BMN；
（3）解：∠B+∠D＝35°．
作EM∥AB，GN∥CD，FP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥GN∥FP∥CD，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D，
∵∠E+∠F＝2∠G＝70°，
∴∠EGF＝35°，
∴∠3+∠4＝35°，即∠2+∠5＝35°，
∵∠BEG+∠GFD＝∠1+∠2+∠5+∠6＝70°，
∴∠1+∠6＝35°，即∠B+∠D＝35°．