七年级数学下册人教版8.3 实数及其简单运算 同步练习（含答案）

8.3 实数及其简单运算
一、单选题
1．实数的相反数是（　　）
A． B． C． D．3
2．下列说法错误的是（　　）
A．无理数的相反数还是无理数
B．无限不循环小数都是无理数
C．正数、负数统称有理数
D．实数与数轴上的点一一对应
3．下列说法正确的是（　　）
A．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
B．若|a|+a＝0，则a是负数
C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0
D．立方根是它本身的数有两个
4．如下为小亮的答卷，他的得分应是（　　）
填空（每题20分，共100分）
①的平方根是±3
②1的绝对值是1
③3
④5
⑤的相反数是2
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
5．如图，数轴上点N表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A．﹣3与 B．﹣3与
C．﹣3与 D．3与|﹣3|
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．b﹣a＜0
8．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（　　）
（1）abc＞0；（2）﹣c＞a＞﹣b；（3）；（4）|c|＞|a|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．规定：（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（2，1）＝1，[3，4]＝4，则（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x]＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
10．在正实数范围内定义一种运算“ ”：当x≥y时，x ；当x＜y时，，则满足方程x 27＝4的x的值是（　　）
A．±16 B．1或49 C．1或16 D．16或49
二、填空题
11．比较大小： 　 　 （选填“＜”“＞”或“＝”）．
12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则的值为 　 　 ．
13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：a*b（a+b＞0）．例如3*2，则6*（6*3）＝ ．
14．已知5的小数部分为a，5的小数部分为b，则a+b＝　 　 ．
15．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）求下列各式x的值．
①4x2﹣25＝0； ②27（x﹣2）3﹣8＝0．
17．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
18．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为．
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）m的值是 　 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与互为相反数，求2c+3d的平方根．
20．两个完全相同的长方形ABCD，EFGH，如图所示放置在数轴上．
（1）求长方形ABCD的面积；
（2）若长方形ABCD，EFGH分别以每秒3个单位长度，1个单位长度在数轴上同时相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t秒．
①用含t的式子表示点B在数轴上对应的数为　 ，点E在数轴上对应的数为 ；
②在整个运动过程中，S的最大值是　 　 ，持续时间是　 秒；
③当S＝10时，求点E在数轴上表示的数．
参考答案
一、单选题
1．B
【解答】解：根据相反数的定义可知：
的相反数为，
故选：B．
2．C
【解答】解：A、无理数的相反数还是无理数，如的相反数是也是无理数，π的相反数﹣π，也是无理数等．故本选项正确；
B、无理数就是无限不循环小数，故本选项正确；
C、正数、负数和0统称为有理数；故本选项错误；
D、实数与数轴上的点一一对应．故本选项正确；
故选：C．
3．A
【解答】解：A、若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数，正确，符合题意；
B、若|a|+a＝0，则a是负数或0，故原命题错误，不符合题意；
C、某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0和1，故原命题错误，不符合题意；
D、立方根是它本身的数有三个，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
4．D
【解答】解：①的平方根是±，故错误；
②1的绝对值是，故正确；
③3，故正确；
④，故错误．
⑤的相反数是﹣2，故错误．
20×2＝40（分），
∴小亮的得分为40分，
故选：D．
5．A
【解答】解：数轴上点N表示的数大于3，小于4，
因此可能是，
故选：A．
6．A
【解答】解：A．﹣3与，是互为相反数，符合题意；
B．﹣3与，不是互为相反数，不符合题意；
C．﹣3与，不是互为相反数，不符合题意；
D．3与|﹣3|＝3，不是互为相反数，不符合题意；
故选：A．
7．C
【解答】解：根据图示，可得a＜﹣2，0＜b＜1，且|a|＞|b|，
∴选项A不符合题意，选项C符合题意；
∴a+b＜0，
∴选项B不符合题意；
∴b﹣a＞0，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
8．C
【解答】解：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得c＜﹣2＜b＜0＜1＜a，|c|＞|a|＞|b|，
∴（1）abc＞0，正确；
（2）﹣c＞a＞﹣b，正确；
（3），错误；
（4）|c|＞|a|，正确．
故选：C．
9．B
【解答】解：（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x]
＝x﹣3+2﹣x
＝﹣1，
故选：B．
10．B
【解答】解：当x≥27时，
，
解得x＝49；
当x＜27时，
，
解得x＝1；
综上，x的值1或49，
故选：B．
二、填空题
11．＜．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：＜．
12．2．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
则02．
故答案为：2．
13．．
【解答】解：由新定义列出算式得，
则6*（6*3）＝6*1．
故答案为：．
14．1
【解答】解：∵23，
∴7＜58，
∴a＝572，
∵23
∴﹣32，
∴2＜53，
∴b＝52＝3，
∴a+b2+31，
故答案为：1．
15．255．
【解答】解：根据操作过程分别求出255和256进行几次操作如下：
∵，，，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数，
∵，，，，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
三、解答题
16．解：（1）原式
；
（2）①∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
∴，
∴；
②∵27（x﹣2）3﹣8＝0，
∴27（x﹣2）3＝8，
∴，
∴，
∴．
17．解：（1）如0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2）∵和互为相反数，
∴0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
18．解：（1）∵，
∴的整数部分为4，
∴的小数部分为．
（2）由条件可知5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
19．解：（1）∵点A表示，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）可知：，
∴
＝2；
（3）∵|2c+6|与互为相反数，
∴，
2c+6＝0，d﹣4＝0，
解得：c＝﹣3，d＝4，
∴2c+3d
＝2×（﹣3）+3×4
＝﹣6+12
＝6，
∴2c+3d的平方根是：．
20．解：（1）由图形可得：EF＝5﹣1＝4，AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，
∵两个完全相同的长方形ABCD、EFGH，
∴AD＝EF＝4，
∴长方形ABCD的面积是4×6＝24；
（2）①∵长方形ABCD，EFGH分别以每秒3个单位长度，1个单位长度在数轴上同时相向而行，
∴点B在数轴上对应的数为﹣4+3t，点E在数轴上对应的数为1﹣t，
故答案为：﹣4+3t；1﹣t；
②整个运动过程中，S的最大值是4×4＝16，
由题意知移动t秒后，
点A、B、E、F在数轴上分别表示的数是﹣10+3t、﹣4+3t、1﹣t、5﹣t，
当点E与A重合时，﹣10+3t＝1﹣t，
解得：；
当点F与B重合时，﹣4+3t＝5﹣t，
解得：；
∴，
∴整个运动过程中，S的最大值是16，持续时间是秒；
故答案为：；
③分以下两种情况讨论：
情况一：当点E在A、B之间时，BE＝﹣4+3t﹣（1﹣t）＝4t﹣5，
∵S＝10，
∴AD BE＝4（4t﹣5）＝10，
解得，
点E在数轴上表示的数是；
情况二：当点F在A、B之间时，AF＝5﹣t﹣（﹣10+3t）＝﹣4t+15，
∵S＝10，
∴AD AF＝4（﹣4t+15）＝10，
解得，
点E在数轴上表示的数是；
综上所述，当S＝10时，求点E在数轴上表示的数为或．