七年级数学下册人教版第七章《相交线与平行线》单元测试卷（含答案）

第七章《相交线与平行线》单元测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，下列说法不正确的是（　　）
A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是对顶角
C．∠4+∠2＝180° D．∠1和∠4是内错角
2．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　）
A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30°
3．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有无数条直线
4．如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是（　　）
A．AB∥DE B．CF∥BE C．∠ABC＝∠DFE D．∠BAC＝∠EDF
5．如图，直线AB与直线CD交于点O，OE⊥AB于点O．若∠DOE＝134°，则∠AOC的大小为（　　）
A．44° B．46° C．48° D．50°
6．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　）
A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm
7．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
8．a、b、c、d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是（　　）
A．因为a∥b，b∥c，所以d∥c B．因为a∥d，b∥c，所以d∥c
C．因为a∥d，b∥d，所以a∥b D．因为a∥d，a∥b，所以c∥d
9．如图，∠BAC＝75°，过边AB上一定点O作直线OD，经测量∠AOD＝122°，要使OD∥AC，则直线OD绕着点O按顺时针方向至少旋转（　　）
A．8° B．10° C．12° D．17°
10．2025年2月11日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长BD约50.5米，若起飞过程中B′D约为85米，则BD的长约是（　　）
A．14米 B．16米 C．34.5米 D．69米
11．如图，AB∥CD，，，则∠DEB：∠DFB为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
12．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B是对顶角；③如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．其中真命题有　 　 ．（填所有真命题的序号）
14．如图，已知直线AB∥l，AC∥l，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 　 　 ．
15．如图，在下列给出的条件中：①∠1＝∠4；②∠3＝∠4；③∠2+∠4＝180°；④∠1＝∠A；⑤∠3＝∠A，能判定DE∥AC的有　 　 ．
16．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若∠2＝25°，∠3＝45°，则∠1的度数为　 　 ．
17．如图，一束激光PA射入水面，在点A处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB．若∠1＝52°，∠2＝28°，则∠3的度数为　 　 ．
18．如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位得到A′B′C′位置．
下列结论：
①AA′∥BB′且AA′＝BB′；
②S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′；
③若AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为5；
④若四边形AA′B′C的周长为a，三角形ABC的周长为b，则．
其中正确的结论是　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（9分）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
（1）如果两个角是直角，那么这两个角相等；
（2）绝对值相等的两个数相等；
（3）两个钝角的和一定大于180°．
20．（7分）画图并填空．
（1）画出△ABC先向右平移6格，再向下平移2格得到的△A1B1C1；
（2）线段AA1与线段BB1的数量和位置关系是　 　 ．
（3）△ABC的面积是　 　 平方单位．
21．（8分）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：
以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
（1）请按要求写出命题：
以①作为结论的命题是：　 　 ；
以②作为结论的命题是：　 　 ；
（2）请证明以②作为结论的命题．
22．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD位置关系，并说明理由；
（2）若，求∠BOD的度数．
23．（8分）如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
24．（10分）【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？
【问题探究】已知∠1的两边和∠2的两边分别平行．
（1）同学甲画出如图1所示的图形，AB∥DE，BC∥EF，通过测量，猜想∠1＝∠2，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；
（2）同学乙在探究中发现存在∠1≠∠2的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的∠2，直接写出此时∠1和∠2的数量关系为　 　 ；
（3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角　 　 或　 　 ．
【结论应用】已知∠α的两边分别与∠β的两边平行，则∠α和∠β的角平分线所在直线的位置关系是　 　 ．
25．（10分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝52°，BC＝8，将此三角形向右平移得到三角形A1B1C1，此对边A1B1与边AC相交于点D，连接AA1．
（1）分别求∠B1DC和∠A1AB的度数；
（2）若点B1落在边BC的中点处，且AD＝DC＝3，求四边形ABB1D的面积；
（3）已知P是三角形ABC内部一点，三角形ABC平移到三角形A1B1C1的位置后，点P的对应点为P1，连接PP1，若三角形ABC的周长为m，四边形ABC1A1的周长为m+12，直接写出PP1的长度．
26．（12分）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，AB∥CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM，试说明：∠B+∠D＝∠BMD；
【灵活运用】
（2）如图2，AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，当时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，AB∥CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B+∠D的度数．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：A、∠3和∠4是同位角的说法正确，不符合题意；
B、∠1和∠3是对顶角的说法正确，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，而本题中两直线显然不平行，故＜4+＜2不是互补的，原来的说法不正确，符合题意；
D、∠1和∠4是内错角的说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．D
【解答】解：由对顶角的性质得到：∠COD＝∠AOB，
∴∠AOB增加30°时，那么∠COD增加30°，
故选：D．
3．A
【解答】解：根据题意可知，小华同学的这一选择用到的数学知识是垂线段最短．
故选：A．
4．C
【解答】解：∵△DEF是由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，CF∥BE，∠BAC＝∠EDF，故选项A、B、D不符合题意；
∠ABC与∠DFE不一定相等，故选项C符合题意．
故选：C．
5．A
【解答】解：由题意得∠BOE＝90°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝134°﹣90°＝44°，
∴直线AB与直线CD交于点O．
∴若∠DOE＝134°，则∠AOC＝∠BOD＝44°．
故选：A．
6．C
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度最短，
∴点P到直线l的距离不大于2cm．
故选：C．
7．C
【解答】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1，
∴m+n＝2，
故选：C．
8．C
【解答】解：A、应为：因为a∥b，b∥c，所以a∥c，故本选项错误；
B、由a∥d，b∥c无法得到d∥c，故本选项错误；
C、因为a∥d，b∥d，所以a∥b正确，故本选项正确；
D、应为：因为a∥d，a∥b，所以b∥d，故本选项错误．
故选：C．
9．D
【解答】解：∵∠AOD＝122°，∠BAC＝75°，
∴∠BOD＝180°﹣122°＝58°，
∵OD′∥AC，
∴∠BOD′＝∠BAC＝75°，
∴∠DOD′＝∠BOD′﹣∠BOD＝75°﹣58°＝17°．
故选：D．
10．B
【解答】解：由平移的性质，得B′D′＝BD＝50.5米，B′D＝85米，
∴B′B＝B′D﹣BD＝85﹣50.5＝34.5（米），
∴BD′＝B′D′﹣B′B＝50.5﹣34.5＝16（米）．
即BD的长约是16米．
故选：B．
11．B
【解答】解：过点F作FG∥CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD∥AB（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠DFG＝∠1，∠BFG＝∠2，
∴∠DFB＝∠DFG+∠BFG＝∠1+∠2，
同理可得：∠DEB＝∠CDE+∠ABE，
∵，，
∴∠1+∠2＝∠DFG+∠BFG，
∴．
则∠DEB：∠DFB为3：1，
故选：B．
12．B
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
二、填空题
13．③．
【解答】解：①一个角的余角不一定大于这个角，
反例：60°的余角是30°，30°＜60°，原命题是假命题，不符合题意；
②如果∠A＝∠B，那么∠A与∠B不一定是对顶角，
反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
③如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，正确，是真命题，符合题意，
故答案为：③．
14．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【解答】解：∵直线AB∥l，AC∥l，AB，AC都过点A，且∥l，
又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴A，B，C三点在同一直线上．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
15．②③④．
【解答】解：①∵∠1＝∠4，
根据内错角相等，两直线平行，
∴AB∥DF；
②∵∠3＝∠4，
根据内错角相等，两直线平行，
∴AC∥DE；
③∵∠2+∠4＝180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，
∴AC∥DE；
④∵∠1＝∠A，
根据同位角相等，两直线平行，
∴AC∥DE；
⑤∵∠3＝∠A，
根据同位角相等，两直线平行，
∴AB∥DF；
综上，能判定DE∥AC的是②③④，
故答案为：②③④．
16．160°．
【解答】解：如图所示，
∵∠2＝25°，
∴∠POF＝∠2＝25°．
又∵∠3＝45°，
∴∠PFO＝45°﹣25°＝20°．
∵a∥b，
∴∠1+∠PFO＝180°．
∴∠1＝180°﹣20°＝160°．
故答案为：160°．
17．80°．
【解答】解：∵∠1＝52°，∠2＝28°，
∴∠CEB＝∠1+∠2＝80°，
∵EC∥BD，CD∥AB，
∴∠3＝∠4＝∠CEB＝80°．
故答案为：80°．
18．①②④．
【解答】解：由平移的性质可知，AA′∥BB′且AA′＝BB′，所以结论①正确，符合题意；
∵S△ABC＝S△A′B′C′，
∴S△ABC﹣S△BDC′＝S△A′B′C′﹣S△BDC′，
∴S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′，所以结论②正确，符合题意；
当AC＝5，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为：2×5＝10，所以结论③错误，不符合题意；
四边形AA′B′C的周长为AA′+A′B′+B′C+AC＝a，
三角形ABC的周长为AB+BC+AC＝b，
由平移可知，A′B′＝AB，
∴AA′+A′B′+B′C+AC﹣（AB+BC+AC）＝AA′+BB′＝2BB′＝a﹣b，
∴，即，所以结论④正确，符合题意，
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题
19．解：（1）条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；
直角为90°，故原命题是真命题；
（2）条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；
绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题；
（3）条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于180°；
钝角大于90°，故两个钝角的和一定大于180°，故原命题是真命题．
20．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）线段AA1与线段BB1的数量和位置关系是AA1＝BB1，AA1∥BB1；
（3）S△ABC＝3×33×12×13×2．
故答案为AA1＝BB1，AA1∥BB1；．
21．解：（1）以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．
以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
故答案为：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；
（2）∵∠1＝∠2
∴DB∥EC
∴∠DBA＝∠C
∵∠A＝∠F
∴DF∥AC
∴∠D＝∠DBA
∴∠C＝∠D．
22．解：（1）ON⊥CD，
理由：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∴∠BOC＝∠1+∠BOM＝∠1+90°，
∵∠1∠BOC，
∴∠1＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠1﹣∠MOB＝60°．
23．（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝∠BAD，
∴∠H＝∠BAD，（等量代换）
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H﹣∠4＝10°，
∴2∠4+10°＝58°，
∴∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
24．解：（1）∠1＝∠2．
证明过程：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
∵BC∥EF，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2．
（2）图2画出可∠1≠∠2的情况．
∵AB∥OE，
∴∠1＝∠3，
∵BC∥OD，
∴∠3+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：互补．
（3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：相等、互补．
【结论应用】如图：
分情况讨论：如图3：∠ABC＝α，∠DEF＝β．
∵BM是∠α的平分线，EN是∠β的平分线，
∴∠1α，∠3β．
∵AB∥DE，BC∥EF，
∴α＝β，∠1＝∠2．
∴∠1＝∠3＝∠2，
∴BM∥EN．
故此时∠α和∠β的角平分线所在直线的位置关系是平行．
如图4：∠ABC＝α，∠DEF＝β．∵BM是∠α的平分线，EN是∠β的平分线，∴∠4α，∠6β．
∵AB∥EF，BC∥ED，
∴α+β＝180°，∠4＝∠5，
∴∠4+∠6．
∴∠5+∠6．
∴BM⊥EN．
故此时∠α和∠β的角平分线所在直线的位置关系是垂直．
综上，∠α和∠β的角平分线所在直线的位置关系是平行或垂直．
故答案为：平行或垂直．
25．解：（1）由条件可知AB∥A1B1，AA1∥BB1，
∴∠B1DC＝∠BAC＝52°，∠A1AC＝∠ACB＝90°，
∴∠A1AB＝∠A1AC+∠BAC＝90°+52°＝142°，
（2）由条件可知．
∵AD＝DC＝3，
∴AC＝AD+DC＝6，
∴四边形ABB1D的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形B1DC的面积
，
∴四边形ABB1D的面积为18．
（3）由条件可知PP1＝AA1＝CC1，AC＝A1C1．
则四边形ABC1A1的周长＝AA1+AB+BC1+A1C1＝AA1+AB+BC+CC1+AC，
三角形ABC的周长为m＝AB+BC+AC，
∴四边形ABC1A1的周长＝m+AA1+CC1＝m+2PP1＝m+12，
∴PP1＝6．
26．（1）证明：如图（1）过M作ME∥AB，
∵ME∥AB，
∴∠B＝∠BME，
∵AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠D＝∠DME，
∵∠BME+∠DME＝∠BMD，
∴∠B+∠D＝∠BMD；
（2）解：2∠MNC＝∠BMN；理由如下：
如图（2）：过M作ME∥AB，过N作NF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥ME∥NF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠C，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∴2∠MNC＝∠BMN；
（3）解：∠B+∠D＝35°．
作EM∥AB，GN∥CD，FP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥GN∥FP∥CD，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D，
∵∠E+∠F＝2∠G＝70°，
∴∠EGF＝35°，
∴∠3+∠4＝35°，即∠2+∠5＝35°，
∵∠BEG+∠GFD＝∠1+∠2+∠5+∠6＝70°，
∴∠1+∠6＝35°，即∠B+∠D＝35°．