七年级数学下册人教版第十章《二元一次方程组》单元检测卷（含答案）

第十章《二元一次方程组》单元检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于方程组的解法最简便的是（　　）
A．由①式得X= ，再代入②式
B．由②式得y＝ ，再代入①式
C．①×3得③式，再将③式与②式相减
D．由②式得9x＝10y－25，再代入①式
3．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
4．若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ）
A． B．1 C．或3 D．或
9．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．，2 C．8， D．5，4
10．若 ，， 是从 ，， 这三个数中取值的一列数，且 ，，则在 ，， 中，取值为 的个数为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知关于x，y的方程组的解满足等式2x＋y＝8，则m的值是 ．
12．若方程组的解满足，则点在第 象限．
13．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ．
14．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
15．新疆是我国最重要的棉花主产区，棉花的种植面积、总产量、单产量都位居世界首位．新疆的长绒棉品质暖和、透气、舒适，做衣服、被子都属于世界顶级，常年供不应求．长绒棉颜色对比分为白棉1级（记为A），白棉2级（记为B），白棉3级（记为C）．某厂家根据消费需求生产了甲、乙、丙三类被子，每床被子均由A、B、C三种棉花搭配而成，每床被子成本均为棉花成本之和．甲类被子每床由1千克A、0.5千克B、1千克C制成；乙类被子由0.5千克A、1千克B、2千克C制成．经核算，甲类被子每床成本是其A种棉花成本的2倍，且甲、乙、丙三类被子的利润率分别为30%、20%、25%，甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，已知今年第一季度甲类被子的销售量是丙类被子的销售量的2倍，三类被子的总利润率正好与丙类被子的利润率相同，则乙类与丙类被子的销售量之比为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）
16．解下列方程组：
(1) (2)
17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，、、满足．
(1)请用含的式子表示和；
(2)若，求点的坐标．
18．某汽车销售公司经销某品牌、两款汽车，今年一、二月份销售情况如下表所示：（、两款汽车的销售单价保持不变）
(1)求、两款汽车每辆售价分别为多少元？
(2)若款汽车每辆进价为8万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，求出所有的进货方案；
月份 销售数量（量） 销售金额（万元）
A款 B款
一月份 3 1 35
二月份 1 3 33
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知有理数，，满足，试求的值．
20．【阅读感悟】
一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．
本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，则 ， ．
（2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
21．2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售、线下批发湘莲共获得4000元；线上零售和线下批发湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲，设线上零售，获得的总销售额为y元；
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
23．【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：
(1)求出，的值；
(2)已知，均为非负数，，求的取值范围；
(3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误；
B、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
C、含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
故选D．
2．C
方程组的最简便的解法是①×3得③式，再将③式与②式相减，
故选：C．
3．A
解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①②．
故选：．
4．B
由题意得：，
解得：，
故选：B．
5．B
解：设鸡有只，兔有只，则由题意可得
，
故选：B．
6．B
解：，
，得，
∴，
，得，
∴，
∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
∴，
即，
∴．
故选：B．
7．D
解：是二元一次方程组的解
由得，
将代入，得，
解得，
将代入，得，
，
∵-1的立方根为，
的立方根为，
故选：D．
8．D
解：，
得，
解得，
∵为整数，为整数，
∴，
∴的值为或．
故选：D．
9．解：把代入，可得 ，
解得 ，
把，代入可得 ，
则“●”“★”表示的数分别为8，．
故选：C．
10．C
解：由，，…，是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，设其中有a个0，b个1，c个2，则；
由，可得；
由，可得；
联立得到，
解得，
∴在 ，， 中，取值为的个数为．
故选：C．
二、填空题
11．-6
解：
①+②，得5x＝10m﹣5，
解得x＝2m﹣1，
把x＝2m﹣1代入②，得2m﹣1﹣y＝7m﹣5，
解得y＝4﹣5m，
把x＝2m﹣1，y＝4﹣5m代入方程2x+y＝8，得2（2m﹣1）+4﹣5m＝8
解得m＝﹣6．
故答案为：﹣6．
12．四
解：，
得，
整理得，
∴，
∴，
点为，
∴点在第四象限，
故答案为：四．
13．
解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，
根据题意得：，
解得：，
原来的数为，
故答案为：．
14．
解：设x﹣1＝m，y+1＝n，则方程组可化为，
∵关于x，y的方程组的解为
∴解得：，
即，
所以，
故答案为：.
15．8：5
解：设A，B，C三种棉花的成本为x、y、z，则甲、乙被子的成本为x+0.5y+z，0.5x+y+2z．
∴x+0.5y+z=2x，即y+2z=2x，
∴乙的成本为0.5x+2x=2.5x．
∵甲、乙被子的利润率分别为30%、20%，
∴甲、乙的售价为2x×（1+30%）=2.6x，2.5x×（1+20%）=3x．
∵甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，
∴2.6x×=5x．
∴丙的成本为5x÷（1+25%）=4x，
∴甲、乙、丙每床被子的利润为0.6x、0.5x、x．
设丙类被子的销售量为a，乙类被子的销售量b，则甲类被子销量为2a．
∴，
∴b=a．
即乙类与丙类被子的销售量之比为8：5．
故答案为8：5．
三、解答题
16．（1）
解：将②代入①，得，
，．
将代入②，得．
所以原方程组的解是
（2）
解：①+②，得．
．
将．代入①，得．
所以原方程组的解是
17．（1）解：，
由①②，得，
∴，
把代入①，得，
解得：；
（2）解：由（1）得点B的坐标是，
∵A，B的纵坐标相等，
∴，即，
∴，
解得：或．
∴点B的坐标是或．
18．（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，
解得：
答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元．
（2）解：设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，
依题意得：
解得：
又为正整数，
可以为5，6，7，
共有3种进货方案，
方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；
方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；
方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车.
四、解答题
19．解：由题得：，
解得：，
所以
．
20．解：（1），
①-②得：2x-2y=-8，
∴x-y=-4，
①+②得：4x+4y=16，
∴x+y=4，
故答案为：-4，4；
（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，
由题意得：，
①×2-②得：x+y+z=6，
∴20x+20y+20z=20（x+y+z）=20×6=120，
即购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；
（3）∵x※y=ax+by+c，
∴1※4=a+4b+c=16①，1※5=a+5b+c=21②，
②-①得：b=5，
∴a+c=16-4b=-4，
∴a+b+c=1，
∴1※1=a+b+c=1．
21．解：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克元，线下批发湘莲的单价为每千克元，
由题意得：，
解得：，
答：线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：y=40x+30（2000-x）=10x+60000，
即y与x的函数关系式为：y=10x+60000；
②由①得：10x+60000≥70000，
解得：x≥1000，
答：线上零售量至少应达到1000千克．
五、解答题
22．（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
23．（1）解：∵；，，
∴，
∴解方程组得：；
（2）∵，
，
，是非负数，
即，
，
∵，
∴
，
．
（3）∵，，而，
∴，解得：，
∵，，都为非负数，
∴，解得：，
∴
；
当时，，
当时，．