高二数学试卷
注 意 事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第
12题~第14题)、解答题(第15题~第19题).本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结
束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定
位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫
米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.若直线1的一个方向向量为(3,-√3),则1的倾斜角为
A. 30° B. 60° C.120° D. 150°
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2y的准线方程为
A.y=-2 B.y= C. y=-1 D. y=1
3.某班级20名学生参加数学测验的得分如下：62,65,68,70,71,73,75,75,77,78,
79,81,82,85,87,89,90,92,95,98,则这组数据的第75百分位数是
A.87 B.88 C.89 D.90
4.在各项均为正数的等比数列{a,}中，S,为其前n项和，若a =2,S =S +12,则S =
A.511 B. 512 C. 1023 D. 1024
5.在平面直角坐标系xOy中，圆0:x2+y2=4与圆C:x2+y2+2x+6y+8=0的公切线
条数为
A.1 B. 2 C.3 D. 4
6.某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学
生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题A:你的手机尾号是否是偶数 问题B:
你是否经常吸烟 调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完
全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球(摸出的球
再放回袋中),摸到白球的学生如实回答问题A,摸到红球的学生如实回答问题B,
每个学生只需回答“是”或“否”,无人知道他回答的是哪一个问题.已知手机尾号
为偶数的概率为0.5,若在400名学生中共有130人回答“是”,则估计该地区男大学
生吸烟的比例约为
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3
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7.已知等比数列{a 的前n项和为S。,若a= ,s,=1624,则1++ a
A.64 B. 127 C. 256 D. 511
8.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:+方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F ,F ,IFF =2,C上有一点P位于第一象限，线段PF,交y轴于点M,|PM=√2,
若F M为∠F F P的角平分线，则C的离心率为
A B. 5 C. √2-1 D.√3-1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列{an}的前n项和为S。,则下列说法正确的有
A.若{a}的各项均为正数，则{S一定是递增数列
B.若{an}是常数数列，则{S,}一定是常数数列
C.若{a}是等差数列，则{S,}可能是等差数列
D.若{an}是等比数列，则{S,}可能是等比数列
10.现有一枚质地均匀的骰子，甲、乙两人各掷一次，设事件A=“甲掷得的点数为奇数”,
B=“甲掷得的点数为偶数”,C=“两人掷得的点数之和为奇数”,D=“两人掷得
的点数之和大于8”,则
A. A与B互为对立事件 B. A与C相互独立
C. C与D互斥 D. P(AC)>P(BD)
11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线厂：y2=4x的焦点为F,过点M(m,0)(m>1)
的直线与T交于A,B两点，直线AF,BF分别交I于C,D两点.记A(x,y),
B(x ,y ),△AFD面积为S,△BFC面积为S ,则
A. y y =-4m B.|AB|的最小值为4
C.当m>4时，∠AOB为锐角 D.S |BFI-1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若样本数据1,2,5,8,a的平均数为5,则这组数据的极差为▲.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x+my-m=0与圆C:(x+2)2+(y-3)2=9交
于A,B两点，AB的中点为M,则|OM|的最大值为▲.
14.在数列{a,}中，已知a =0,|a+1Han+1|(n∈N),则{a,}的前10项和的最小值为
▲.
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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知数列{a}为等差数列，a>0,a +a =18,ag=a ·a ·
(1)若a ,am,aq 成等比数列，求正整数m的值；
(2)记b=3”·a(n∈N°),求数列{bn}的前n项和S .
▲▲▲
16.(15分)
某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查(单位：小时),
收集到的数据分成5组：(0,0.5),(0.5,1),[1,1.5],(1.5,2),[2,2.5],得到如下频率分
布直方图：
频率/组距
0.7
0.5
0.4
0.3
0.1
0L
0 0.5 1 1.5 2 2.5每日体育活动时长/小时
(1)若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育
活动时长的平均值x;
(2)规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学
生中随机抽取一个容量为200的样本.
①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数；
②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在(1.5,2),[2,2.5]的学生中，采
用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求
被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在[2,2.5]的概率.
▲ ▲
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17.(15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:+方=1(a>b>0)的上顶点为D(0,2),
离心率为√2,直线1与圆M:x2+y2=3相切且与C交于A,B两点，
(1)求C的标准方程；
(2)求证：OA⊥OB;
(3)求|OA|+|OB|的最小值.
▲ ▲
18.(17分)
已知数列{a,的前n项和为Sn,a =2,S =a-n2(neN).
(1)求a 的值；
(2)判断数列{a +2n+1}是否为等比数列 说明理由，并据此求出{a }的通项公式；
(3)记b。=22-3-5(neN),数列{b }的前n项和为P,若存在n∈N,使得
IP+≥,求实数t的最大值.
▲▲▲
19.(17分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E:b2=1(a>0,b>0)的一条渐近
线方程为=3×,左、右焦点分别为F ,F ,|FF =4,过F作互相垂直的两条
直线↓,l,L交E的左支于A,B两点，l交E的两支于C,D两点，线段AB,CD的
中点分别为M,N.记直线AB的斜率为 Ay
k(k>0),△MNF ,△MNF 的面积分别为
S ,S · BF F
(1)求E的标准方程； M O x
A
(2)求证： 55为定值； N
D
(3)当S ≥5时，求k的取值范围. (第19题图)
高二数学 第4页(共4页)高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，
每小题5分，共40分.
题号123
4
5678
答案DA BCBA B C
-、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
ACD
-、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.8
13.V2+V5
14.-5
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.(13分)
解：(1)设{an}的首项为a,公差为d,则an=4+(n-1)d.
2a,+8d=18,
因为4+a1=18,ag=42·a,所以
…2分
a+7d=(a+d0(a+2d,
又因为a>0,所以=l,
…4分
d=2,
所以a,=2n-1,
…5分
因为a2,am,4a成等比数列，所以a=aa,
…6分
所以(2m-1)2=3×27=81,所以2m-1=9,
因为m为正整数，所以m=5.…
…8分
(2)bn=3"an=(2n-1)-3”,…
…9分
所以Sn=1×3+3×32++(2n-3)x3-+(2n-1)×3”①，
3Sn=1×32+3×3++(2n-3)×3+(2n-10×3②，
①-②得-2Sn=1×3+2×32+…+2×3”-(2n-1)×3m=(2-2n)×31-6,…12分
所以3，=(n-1)3m++3,…
…13分
16.(15分)
解：（1)F=0.25×(0.4×0.5)+0.75×(0.7×0.5)+1.25×(0.5×0.5)
+1.75×(0.3×0.5)+2.25×(0.1×0.5)=1,…3分
答：估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值为1小时.…4分
(2)①因为“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，所以每日体育活动时长落
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在[1,1.5)，.5,2)，2,2.5]内对应频率分别为0.25,0.15,0.05，…6分
因为样本容量为200人，所以200×0.25+0.15+0.05)=90人，估计样本中学生的达
标人数为90人，…
…8分
②每日体育活动时长落在[1.5,2)，[2,2.5)的频率为0.3×0.5=0.15,0.1×0.5=0.05，
两者比值为015=3，根据分层抽样，4人中有3人每日体育活动时长在15,2)
0.05
内，设为a,42,g,有1人每日体育活动时长在[2,2.5)内，设为b,，…10分
从4人中任取2人，样本空间为2={ab,ab,ab,44,a4,4,4},…12分
记事件A为“2人中恰有1人的每日体育活动时长在[2,2.5)”，
31
则P(0=6=2
…14分
62
答：2人中恰有1人的每日体育活动时长在[2,2.5)的概率为。
…15分
17.(15分）
解：(1)由题意可知6=2，￡=
2,又因为a2=b2+c2,所以a=22,…2分
4
所以C的标准方程为女+上
2
=1
…3分
84
②)当直线1B斜率不存在时，此时4(，，82N6,2V6
3’
3、
3
此时kM·g=-1,所以OA⊥OB;
……4分
当直线AB斜率存在时，设A(x,y),B(x2,y2),直线AB方程为y=kx+m,
白直线B与圆M相切得3，即㎡-+).…6分
联立
管+，通得0+2F+6+2m-8=0,8
y=kx+m;
Δ>0，
则{x+=
所拟偶-发++-
2k2+1
2m2-8
x4=1+20’
所以O丽.0丽=45+=3m2-8-0,所以04108.-1分
2k2+1
(3)设直线AB与圆的切点为P.
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