四川省成都市蓉城名校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川省成都市蓉城名校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 142.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-21 00:00:00 | ||
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文档简介
高二期末试卷
数 学
时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为
A． B．
C． D．
2．双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
3．为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1 000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是
A．选择足球的女生比选择篮球的女生多
B．选择篮球的女生比选择足球的男生多
C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多
D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多
4．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，则的横坐标为
A．1 B．
C．2 D．
5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是
A．事件与事件互斥
B．事件与事件互为对立
C．事件与事件相互独立
D．
6. 已知椭圆的焦点分别为，，若点在椭圆上，则的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 在正四面体中，点，分别是线段，的中点，则，
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线的中心为点，一个焦点为。点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 掷一枚质地均匀的骰子6次，得到一组样本数据：5，2，3，2，，6，则
A. 众数可能为2
B. 极差可能为3
C. 若，则方差为3
D. 第30百分位数恒为2
10. 在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点，分别是直线与，轴的交点，则
A. 面积的最小值为1
B. 的最大值为
C. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则
D. 的取值范围为
11. 如图，在长方体中，，，若是的中点。则
A. 过，，三点作长方体的截面，则截面为菱形
B. 存在实数，使得直线与平面垂直
C. 直线平面，则
D. 点到直线的距离的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，若，则。
13．已知圆与圆外切，则。
14．已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点。
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程。
16．（15分）
为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图。
（1）求的值；
（2）求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
（3）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率。
17．（15分）
在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为。
（1）求的标准方程；
（2）若直线交轨迹于，两点，且的面积为1，求的值。
18．（17分）
如图，在平行四边形中，，，将沿翻折至．
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的表面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球的半径；
（2）求平面与平面夹角的最大值．
19．（17分）
已知直线与抛物线交于，两点，不同于的直线与交于，两点，设直线与的交点为．
（1）证明：点在直线上；
（2）若，，的中点为．
（i）求直线的斜率；
（ii）求四边形面积的最小值．
高二期末数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B C B C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ACD ABD ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）∵圆心在直线上，
∴可设圆心为，
又∵圆经过，两点，
∴，…………………………3分
解得，即圆的圆心为，
∴圆的半径，…………………………4分
∴圆的标准方程为；…………………………6分
（2）①当直线的斜率不存在时，
直线为，…………………………7分
代入圆解得或，
此时，满足题意；…………………………9分
②当直线的斜率存在时，
设为，
∵，
∴圆心到直线的距离，…………………………11分
即，
即，解得，
此时直线为，
综上所述：直线为或．…………………………13分
16．（15分）
解：（1）由，
解得；……………………………3分
（2）由图可知，
成绩在区间，，，，的频率分别为0.05，0.25，0.4，
0.2，0.1，
中位数位于区间，
设中位数为，
则有，
解得中位数分，……………………………6分
这500名同学数学成绩的平均数为：
分；……………………………9分
（3）在区间抽取了人，
不妨设为，，
在区间抽取了人，
不妨设为，，，，……………………………11分
设事件，，
由样本空间
，，，，
得，……………………………13分
由事件，
得，
．……………………………15分
17．（15分）
解：（1）由，
知，
点的轨迹为椭圆，……………………………2分
，即，
又，
，
的标准方程为；……………………………5分
（2）不妨设，两点的坐标分别为，，
由，消去得，分
判别式，
得，分
，，分
，分
又到直线距离，分
，
解得，
即。分
18．（17分）
解：（1）（i），，
又，且，平面，
平面，分
又平面，
平面平面；分
（ii）由（i）知平面，平面，
，
又在平行四边形中，分
，
，
翻折后垂直关系不改变，
，分
又平面平面，平面平面，
平面，分
又平面，
，分
结合可得为外接球的直径，
又，
外接球的半径为；分
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，
由\（ |PA| = 及\（ |PC| = ，
可得，\（ ，
不妨令，，\（ ，
则，
，，，分
设平面的一个法向量为，
则
取，得，分
设平面的一个法向量为，
则
取，得，分
，，
设平面与平面的夹角为，
则，，
又，
即，
平面与平面夹角的最大值为。分
19. （17分）
解：（1）与的交点为，
由
得分
点在直线上；分
（2）（i）不妨设，，
由（1）知点的坐标为，
又，即为的中点，
点的坐标为，…………………5分
又点在曲线上，
，
整理得，…………………7分
同理可得，
，是关于的方程的两根，…………………9分
，，…………………10分
又，
点的坐标为，
即，…………………11分
直线的斜率；…………………12分
（ii）设四边形的面积为，
为的中点，为的中点，
，…………………13分
又由（i）知：直线平行于轴或与轴重合，
…………………15分
，…………………16分
又，
，
，
四边形面积的最小值为。…………………17分
解析：
1．解：直线斜率为，由斜率与倾斜角的关系易得倾斜角为，故选A．
2．解：双曲线的渐近线方程为，即，故选D．
3．解：选篮球的男女生分别为315，135人，选乒乓球的男女生分别为150，150人，选足球的男女生分别为150，100人，故选C．
4．解：的准线为，由抛物线的定义知点到准线的距离为2，的横坐标为，故选B．
5．解：事件，事件，事件，事件，，，，事件与事件相互独立，故选C．
6．解：设原点为，由，当为椭圆短轴的顶点时，取最小值9，．故选B．
7．解：不妨设的棱长为2，，，，，分别是，的中点，则，，，又，，，故选C．
8．解：设双曲线的另一个焦点为，的中点为，连接，的最小值为，即，，即，得，离心率，故选D．
9．解：样本数据的众数显然可以为2，故A正确；样本数据的极差大于等于4，故B错误；当时，样本数据的方差为3，故C正确，样本数据的第30百分位数为第2个数，只能为2，故D正确．故选ACD．
10．解：选项A：等价于，即曲线为单位圆的上半圆（包括端点），当点为时，的最小值为，故A正确；
选项B：取最大值时，与曲线相切，此时，又，的最大值为，故B正确；
选项C：直线与曲线有且只有一个交点时，，与曲线相切时，，故直线与曲线有且只有一个公共点时，，故C错误；
选项D：设点为，，又，，故D正确；
故选ABD．
11. 解：选项A：∵平面与平面平行，∴平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，取的中点，连接，，则四边形为平行四边形，又易得，∴截面为菱形，故A正确；
选项B：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建系，则，，，，，∴，，，∵，解得，故B正确；
选项C：连接交于点，连接，∵平面平面， ∴， ∵， 则，∴，故C正确；
选项D：∵，，，∴距离，∵，∴，故D错误；
故选ABC．
12．解：由及，可知，故填．
13．解：圆可化为，两圆的圆心之间的距离为，解得，故填．
14．解：由题知其焦点均在轴上，又∵焦点相同，即，∴，不妨设第一象限的公共点为，则有且，消去得，即，解得，故填．
数 学
时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为
A． B．
C． D．
2．双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
3．为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1 000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是
A．选择足球的女生比选择篮球的女生多
B．选择篮球的女生比选择足球的男生多
C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多
D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多
4．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，则的横坐标为
A．1 B．
C．2 D．
5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是
A．事件与事件互斥
B．事件与事件互为对立
C．事件与事件相互独立
D．
6. 已知椭圆的焦点分别为，，若点在椭圆上，则的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 在正四面体中，点，分别是线段，的中点，则，
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线的中心为点，一个焦点为。点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 掷一枚质地均匀的骰子6次，得到一组样本数据：5，2，3，2，，6，则
A. 众数可能为2
B. 极差可能为3
C. 若，则方差为3
D. 第30百分位数恒为2
10. 在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点，分别是直线与，轴的交点，则
A. 面积的最小值为1
B. 的最大值为
C. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则
D. 的取值范围为
11. 如图，在长方体中，，，若是的中点。则
A. 过，，三点作长方体的截面，则截面为菱形
B. 存在实数，使得直线与平面垂直
C. 直线平面，则
D. 点到直线的距离的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，若，则。
13．已知圆与圆外切，则。
14．已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点。
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程。
16．（15分）
为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图。
（1）求的值；
（2）求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
（3）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率。
17．（15分）
在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为。
（1）求的标准方程；
（2）若直线交轨迹于，两点，且的面积为1，求的值。
18．（17分）
如图，在平行四边形中，，，将沿翻折至．
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的表面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球的半径；
（2）求平面与平面夹角的最大值．
19．（17分）
已知直线与抛物线交于，两点，不同于的直线与交于，两点，设直线与的交点为．
（1）证明：点在直线上；
（2）若，，的中点为．
（i）求直线的斜率；
（ii）求四边形面积的最小值．
高二期末数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B C B C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ACD ABD ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）∵圆心在直线上，
∴可设圆心为，
又∵圆经过，两点，
∴，…………………………3分
解得，即圆的圆心为，
∴圆的半径，…………………………4分
∴圆的标准方程为；…………………………6分
（2）①当直线的斜率不存在时，
直线为，…………………………7分
代入圆解得或，
此时，满足题意；…………………………9分
②当直线的斜率存在时，
设为，
∵，
∴圆心到直线的距离，…………………………11分
即，
即，解得，
此时直线为，
综上所述：直线为或．…………………………13分
16．（15分）
解：（1）由，
解得；……………………………3分
（2）由图可知，
成绩在区间，，，，的频率分别为0.05，0.25，0.4，
0.2，0.1，
中位数位于区间，
设中位数为，
则有，
解得中位数分，……………………………6分
这500名同学数学成绩的平均数为：
分；……………………………9分
（3）在区间抽取了人，
不妨设为，，
在区间抽取了人，
不妨设为，，，，……………………………11分
设事件，，
由样本空间
，，，，
得，……………………………13分
由事件，
得，
．……………………………15分
17．（15分）
解：（1）由，
知，
点的轨迹为椭圆，……………………………2分
，即，
又，
，
的标准方程为；……………………………5分
（2）不妨设，两点的坐标分别为，，
由，消去得，分
判别式，
得，分
，，分
，分
又到直线距离，分
，
解得，
即。分
18．（17分）
解：（1）（i），，
又，且，平面，
平面，分
又平面，
平面平面；分
（ii）由（i）知平面，平面，
，
又在平行四边形中，分
，
，
翻折后垂直关系不改变，
，分
又平面平面，平面平面，
平面，分
又平面，
，分
结合可得为外接球的直径，
又，
外接球的半径为；分
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，
由\（ |PA| = 及\（ |PC| = ，
可得，\（ ，
不妨令，，\（ ，
则，
，，，分
设平面的一个法向量为，
则
取，得，分
设平面的一个法向量为，
则
取，得，分
，，
设平面与平面的夹角为，
则，，
又，
即，
平面与平面夹角的最大值为。分
19. （17分）
解：（1）与的交点为，
由
得分
点在直线上；分
（2）（i）不妨设，，
由（1）知点的坐标为，
又，即为的中点，
点的坐标为，…………………5分
又点在曲线上，
，
整理得，…………………7分
同理可得，
，是关于的方程的两根，…………………9分
，，…………………10分
又，
点的坐标为，
即，…………………11分
直线的斜率；…………………12分
（ii）设四边形的面积为，
为的中点，为的中点，
，…………………13分
又由（i）知：直线平行于轴或与轴重合，
…………………15分
，…………………16分
又，
，
，
四边形面积的最小值为。…………………17分
解析：
1．解：直线斜率为，由斜率与倾斜角的关系易得倾斜角为，故选A．
2．解：双曲线的渐近线方程为，即，故选D．
3．解：选篮球的男女生分别为315，135人，选乒乓球的男女生分别为150，150人，选足球的男女生分别为150，100人，故选C．
4．解：的准线为，由抛物线的定义知点到准线的距离为2，的横坐标为，故选B．
5．解：事件，事件，事件，事件，，，，事件与事件相互独立，故选C．
6．解：设原点为，由，当为椭圆短轴的顶点时，取最小值9，．故选B．
7．解：不妨设的棱长为2，，，，，分别是，的中点，则，，，又，，，故选C．
8．解：设双曲线的另一个焦点为，的中点为，连接，的最小值为，即，，即，得，离心率，故选D．
9．解：样本数据的众数显然可以为2，故A正确；样本数据的极差大于等于4，故B错误；当时，样本数据的方差为3，故C正确，样本数据的第30百分位数为第2个数，只能为2，故D正确．故选ACD．
10．解：选项A：等价于，即曲线为单位圆的上半圆（包括端点），当点为时，的最小值为，故A正确；
选项B：取最大值时，与曲线相切，此时，又，的最大值为，故B正确；
选项C：直线与曲线有且只有一个交点时，，与曲线相切时，，故直线与曲线有且只有一个公共点时，，故C错误；
选项D：设点为，，又，，故D正确；
故选ABD．
11. 解：选项A：∵平面与平面平行，∴平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，取的中点，连接，，则四边形为平行四边形，又易得，∴截面为菱形，故A正确；
选项B：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建系，则，，，，，∴，，，∵，解得，故B正确；
选项C：连接交于点，连接，∵平面平面， ∴， ∵， 则，∴，故C正确；
选项D：∵，，，∴距离，∵，∴，故D错误；
故选ABC．
12．解：由及，可知，故填．
13．解：圆可化为，两圆的圆心之间的距离为，解得，故填．
14．解：由题知其焦点均在轴上，又∵焦点相同，即，∴，不妨设第一象限的公共点为，则有且，消去得，即，解得，故填．
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