八年级数学下册苏科版8.2《特殊的平行四边形》--正方形的性质与判定 同步练习（含答案）

8.2《特殊的平行四边形》--正方形的性质与判定
一、单选题
1．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把 ABC沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A．36 B．32 C．16 D．
5．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ．
7．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B和点A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于 ．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ．
9．如图，在 ABC中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交 ABC的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形．
10．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ．
三、解答题
11．如图，在 ABC中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)当 时，四边形是正方形．
12．如图，在 ABC中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当 ABC满足 时，四边形是正方形．请说明理由．
13．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，连接，且．
(1)尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：；
(3)若，求正方形的边长．
14．2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节．在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究．
【初步感知】（1）如图①，沿过点的直线折叠正方形纸片，使得点的对应点落在正方形的对角线上，且折痕与边交于点，则________；（结果保留根号）
【迁移应用】（2）如图②，点，分别在，边上，沿直线折叠正方形纸片，点的对应点为点，点的对应点落在线段上（不与，重合），交于点；
①当点为中点时，求的面积；
②当点为上任意一点时（如图③），探究的周长是否发生变化，若不变，请求出的周长；若改变，请说明理由．
15．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点．
特例感知】
（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，求的长度．
16．四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接．
(1)如图1，当时，的度数为_________．
(2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明．
(3)在旋转过程中，当时，若，求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
解：选项A：
∵ ，四边形是平行四边形，
∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形；
选项B：
∵ ，四边形是平行四边形，
∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
选项C：
∵ ，四边形是平行四边形，
∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形；
选项D：
∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等），
∴ 此条件不能判定为矩形．
故选：B．
2．C
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴，
故选C．
3．D
解：设，与相交于点，
是正方形剪开得到的，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
∵两个三角形重叠部分的面积为，
，
整理得，，解得，
即移动的距离为或．
故选：D．
4．C
过点作于点，于点，如图所示：
∵四边形是正方形，且边长为，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴正方形的面积为：，
∴，
故选：C．
5．D
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，， ，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，故正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即的值为定值，故正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小,在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，故正确；
∴正确的有，
故选：．
二、填空题
6．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵按顺时针方向旋转角度后成为，
∴，
∴旋转中心为点B，旋转角度为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
7．6
解：过作轴于，轴于，
，
四边形是矩形，
，
，
矩形是正方形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：6．
8．
解：如图，过作于，于，则四边形是正方形
∴
∵
∴，
在和中：
∴，
∴，
∴，即，
解得， (舍去)，
∴．
故答案为：．
9．90°
解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
同理，平分，．
∴．
∵是边的中点，
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
当时，平分，
可得：．
∵，
∴．
又∵，
∴是等腰直角三角形，．
∴矩形是正方形．
故答案为： ．
10．或6
解：∵正方形中，，
∴，
，
∵，
∴，
当M在线段延长线上时，如图，连接，
∵折叠，
∴，，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
当M在线段延长线上和线段上，如图，连接，
同理可求出，
在中，，
∴，
解得，
综上，的长为或6．
故答案为：或6．
三、解答题
11．（1）证明：∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：当时，四边形是正方形，证明如下：
由（1）可得，且四边形是矩形，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
12．（1）证明：∵在 ABC中，，是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：当 ABC满足时，四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴菱形是正方形，
故答案为：．
13．（1）解：如图，点M即为所求．
（2）证明：如图，过点作于点，连接．
由作图可得，
平分．
，，
，，
，
．
又是的中点，
，
．
在和中，，
，
．
又，
．
（3）解：设正方形的边长为，
则，
．
又，
．
在中，由勾股定理得：，
，
解得或（不符合题意，舍去），
正方形的边长为．
14．（1）解：∵正方形的边长为8，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴；
（2）解：①设，则
由折叠性质得
在Rt中，由勾股定理得
解得
∴．
②点为上任意一点时，的周长未发生变化，的周长为16．
理由如下：
连接、，过点作，交于点，
由折叠性质得
，
∴，
∴
∴
∴
∵在和中
∴（）
∴，
∵
∴
∵在和中，由勾股定理得
，
∴
∴
∴点为上任意一点时，的周长未发生变化，值为16．
15．解：（1）当，时，
四边形和均为正方形，且为的中点，
如图1，连接，则，，，
，
（），
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，过点作，交于，
四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，，
，，
、均为等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
（），
，
，
；
（3）连接交于，
四边形是菱形，
，即，
，
，
，
当点在线段上时，如图2，过点作于，则，
，
由（2）知：，
，
，
；
当点在线段上时，如图3，
则，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
16．（1）解：由旋转的性质得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2） 解：，证明如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，，，
∴，
同理（1）得，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，分两种情况：
①当，如图，
由（2）可知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，延长至点，使，连接，
由旋转的性质得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的长为或．