八年级数学下册苏科版8.2《 特殊的平行四边形》 同步练习（含答案）

8.2《 特殊的平行四边形》
一、单选题
1．下列关于菱形的说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等
C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等
2．正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
3．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．11 D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．菱形的两条对角线互相垂直平分
D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形
5．如图①，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动．设点P经过的路程为的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ）
A． B． C．5 D．4
二、填空题
6．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ．
7．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为 ．
8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ．
9．如图，矩形的边上有一动点E，以为边作平行四边形，且边过点D，若，，则平行四边形的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
10．如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是 ．
三、解答题
11．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形．
12．如图，在菱形中，对角线和相交于点．

(1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想．
13．已知直线上的点，分别是正方形的边，的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，以线段为较长对角线作菱形；
(2)在图2中，将直线绕着点逆时针旋转．
14．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，，求线段的长．
15．【发现问题】
（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程．
【类比延伸】
（2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系．
16.定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形；
(2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长；
(3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意；
C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意；
D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意；
故选：C
2．C
解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为，
∴另一条对角线长也为．
故选：C．
3．A
解：在矩形中，，，
，，，
，
，
故选：A．
4．B
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项是正确的，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故该选项是错误的，符合题意；
C、菱形的两条对角线互相垂直平分，故该选项是正确的，不符合题意；
D、顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，故该选项是正确的，不符合题意；
故选：B
5．B
解：连接交于，
由图②得，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
当时，，
，
故选：B．
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：∵有一个角是直角的菱形是正方形，
∴添加的条件是．
故答案为：（答案不唯一）．
7．2
解：∵四边形是矩形，
∴，（矩形的对角线相等且互相平分），
∴．
故答案为：2．
8．24
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵为边的中点，且，
∴，
∴菱形的周长为；
故答案为：24．
9．/
解：连接，如图：
四边形是矩形，
、，
，
令以边为底上的高为，
，
平行四边形与三角形同底同高，
平行四边形以边为底上的高为，
，
，
即平行四边形的面积为，
故答案为：．
10．
解：连接，
∵矩形，
∴，，
将边沿翻折到的位置，点的对应点为，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
设，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，负的舍去，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．证明：在 ADE与中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
12．（1）如下如：即为所求，
以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，
证明：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．

（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是上的中线，
∴．
13．（1）解：如图1，菱形即为所求．
（2）解：如图2，直线即为所求．(作法不唯一)
14．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，即的长是．
15．解：（1）证明：由旋转的性质可得，
．
又，三点共线．
，
，
，
．
又，
，
．
（2）不成立．
理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合．
∵∠ABE=∠ADG=90 ,AB=AD，
F，G，D三点共线．
由旋转的性质可知，
，
．
又，
，
；
∴（1）中的结论不成立．
（3）．
理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合．
∵∠ABE=∠ADG=90 ,AB=AD，
B，G，E三点共线．
同理可证：，
∴，
．
16.（1）解：符合等腰直角四边形定义的特殊四边形可以为正方形；
（2）解：如图所示，过点C作交于点D，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴四边形的面积；
如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴四边形的面积；
如图，连接，当时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时，四边形不是等腰直角四边形，
同理可得当时，四边形不是等腰直角四边形；
综上可得，四边形的面积为或．