八年级数学下册苏科版8.2《特殊的平行四边形》--矩形的性质与判定 同步练习（含答案）

8.2《特殊的平行四边形》--矩形的性质与判定
一、单选题
1．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（ ）
A．4 B． C． D．8
3．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（ ）
A．8 B．5 C． D．
5．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（ ）个．
①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=50 ，，则的度数为 ．
7．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
8．在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为 ．

9．如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为 ．
10．如图，矩形的顶点在坐标原点，边、分别在、轴正半轴上，，，是中点，在轴上移动，将沿翻折至．当的长最小时，此时点的坐标为 ．
三、解答题
11．如图，在矩形中，点在上，平分．
(1)求证： BEC是等腰三角形．
(2)若，，求的长．
12．如图，是矩形的对角线，延长至点，使，请用无刻度的直尺及圆规按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)作 BDE的边上的高，并写出简单的作图说明；
(2)延长交，分别于，两点，连接、，请你判断四边形的形状并说明理由；
(3)若，，请你求出的长度．
13．如图所示，在 ABC中，，是中线，是 ABC的外角的平分线，，垂足为E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
14．如图，在 ABC中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
15．课本再现
思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．
已知：在平行四边形中，对角线，交点为O．
求证：四边形是矩形．
应用定理
（2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，
，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）．
16．矩形折叠问题：
如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处．
(1)如图1，已知，．
①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长．
②乙同学折叠时使，且，求的长．
(2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选A．
2．C
解：∵四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．B
解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
解：由通过折叠得到可得：，，
则，
由矩形通过折叠得到矩形可得：，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：D．
5．D
解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，四边形内角和是，
∴， 故①正确；
过作，，分别交于，交于，如图所示：
∵，
∴， 即，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
延长交于，延长交于，
根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离，
∵，，
∴，，
∴，，
由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确；
在直角三角形中，，当点重合时最大，
∵，
∴，故④正确，
故选：D．
二、填空题
6．102.5°
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
7．（答案不唯一）
解：添加的一个条件是：．
理由如下：∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，添加的条件符合要求．
故答案为：（答案不唯一）．
8．
解：∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
9．
解：如图所示，连接，，
四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
∴，
故答案为：．
10．
解：如图所示，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是中点，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴当、、三点共线时，有最小值；
设直线解析式为，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点F的坐标为；
故答案为：．
三、解答题
11．（1）证明：四边形为矩形，
，
．
平分，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：四边形是矩形，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
．
由（1）知，
．
12．（1）解：如图，连接交于点，连接，由四边形是矩形可知点为中点（矩形对角线互相平分），由可知即为中边上的高（三线合一）；
（2）解：四边形是菱形，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得，即的长度为．
13．（1）证明：∵，是中线，
∴，，，
又∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，为中线．
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
14．（1）证明：∵，为边上的中线，
∴，，
∵将线段绕着点顺时针旋转到，
∴，，
∴点，点，点三点共线，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解： ∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴的长为．
15．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在 ABC与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）证明：∵O为的中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
16．（1）解：①当点落在边上时，过点作交于点，如下图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，得，
在中，由勾股定理得，
∴，
令，
∴，
又∵，
由得，
得方程，
解得，
故此时的长度为；
当点落在边上时，连接，如下图所示：
由，可得，
解得，
∴，
令，
∴，
在和中，
，,
∴，
可得方程
解得，
故此时的长度为；
综上，当点落在矩形的一边上，的长为或．
②连接、、、、，过点作交于点，延长交于点，如下图所示：
根据翻折的性质，可得，
∴，
∵，
故，
观察图象，可知，
，
∴要满足，应满足，
令，则，
∵翻折的性质，
∴，
在中，可得，
在中，可得，
∴，
∵，
∴为的角平分线，结合，
∴，且点为中点，
∴，
∵，
∴，
得方程，
解得或，
故的长度为．
（2）解：延长交于点，如下图所示：
∵翻折的性质，
得，，
∵平分，
∴，，
故四边形为正方形，
令，，
∴，
由，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
得方程，
解得，
∴．