八年级数学下册苏科版第11章《 二次根式》章节练习（含答案）

11章《 二次根式》章节练习
一、单选题
1．若是二次根式，则的值不能是（　　）
A． B．3.14 C． D．0
2．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B．0 C．3 D．6
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．请任意写出一个能使有意义的m值： ．
7．计算： ．
8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
9．比较大小： （填“”“ ”“”）
10．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则 ABC的面积是 ．
三、解答题
11．化简：
(1)； (2)； (3)； (4)．
12．化简：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
13．已知．
(1)计算________；________；________．
(2)求的值．
14．计算：
(1) (2)
15.我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”．
(1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）；
②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形．
(2)若是奇异三角形，，求的长．
16.已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式．
请根据上述公式，解答下列问题：
(1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解）
(2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解）
(3)如图，四边形中，，求该四边形的面积．
17.在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
∴．
∴，即．
∴．
∴．
请根据小名的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：______；
(2)计算：______；
(3)若，求的值．
18.【问题提出】
（）如图，点是 ABC边的中点，则 （填“、、”）．
如图，在 ABC中，已知，，在上找一点，使得线段将 ABC分成面积相等的两部分，则的长为 ．
【问题探究】
（）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【问题解决】
（）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）．
参考答案
一、单选题
1．C
解：若是二次根式，则被开方数需满足，
选项A、B、D均满足，此时属于二次根式，不符合题意；
选项C为负数，不满足，此时没有意义，不属于二次根式．
故选：C．
2．C
解：∵有意义，
∴，
∴．
故选：C．
3．D
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
∴．
选项中只有符合题意，
故选：D．
4．C
解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、 ，，∴ ，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．A
解：∵ ，且，
∴．
∵，且，
∴．
∵，且，
∴．
∴, , ,
．
故选：A．
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：要使有意义，需满足，
解得．
因此，任意取的一个值即可，例如．
故答案为：（答案不唯一）．
7．
解：
．
故答案为：．
8．4
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴被开方数相等，即，
．
故答案为4．
9．
解：，，
由于，
所以．
故答案为：．
10.11
解：作于点H，
在等边中，，
，
，
，
同理，，
在中，，
，
∵，，，
，
故答案为：11．
三、解答题
11．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
12．（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
（5）解：．
（6）解：．
13．（1）解：∵，，
∴，
，
，
故答案为：，6，；
（2）解：由（1）得：，，
∴．
14．（1）解：
（2）解：
15.（1）解：①设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是“奇异三角形”，
故答案为：是；
②∵，，，
∴，，，
∴该三角形不是“奇异三角形”，
故答案为：是；
（2）∵是直角三角形，，
∴，即．
∵是奇异三角形，，
∴有三种情况：
①，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
②，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
③，此种情况不成立．
综上，的长为或．
16.（1）解：∵；；；，
∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，
∴当假设在这个三角形中，，时，
则，
∴根据公式①，得该三角形的面积；
（2）解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴当假设，，时，
根据公式②，得该三角形的面积
；
（3）解：方法一：如图，连接，
∵∠B=90 ， ，，
∴，
∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积
，
∴．
方法二：如图，连接，
∵∠B=90 ， ，，
∴，
∴当假设在中，，，时，
则，根据公式①，得该三角形的面积
=
=
=
=，
∴．
17.（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：9；
（3）解：∵，
∴，
∴，则，即，
∴．
18.解：（）∵点是 ABC边的中点，
∴，
∴，
对于图，当点是的中点时，有，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）存在，理由如下：
如图，过点作交直线于点，取的中点，连接，作，
∵，
∴，，四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵是梯形的中位线，
∴，，
∴四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
（）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．