八年级数学下册苏科版8.3 三角形的中位线、梯形 同步练习（含答案）

第8章《四边形》---三角形的中位线、梯形
一、单选题
1．如图，在 ABC中，D，E分别是边的中点．若，则（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．正三角形
3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
4．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（ ）
A． B．
C．与互相平分 D．
二、填空题
6．如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为 ．
7．如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ．
8．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ．
三、解答题
9．【教材回顾】苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”，提出如下问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？
【操作】把三角形纸片沿其一条中位线剪成两部分，将 ADE绕点顺时针旋转，就可以把剪开的两部分拼接成一个平行四边形．
【类比操作】过平行四边形纸片的一个顶点，将平行四边形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个菱形．要求使用无刻度的直尺和圆规在图中作出分割线和拼接线（注：裁剪和拼图过程均无缝隙且不重叠）
【拓展思考】
能否将一张梯形纸片剪成两部分，使这两部分拼成一个菱形吗？
经过深度思考，给出的回答如下： 1．梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；2．并非所有的梯形都可以通过这种方式剪拼成菱形，只有满足一定关系的梯形才可以．
请你通过画图的方式继续探索，画出满足条件的梯形（画必要的分割线和拼接线，画图工具不限，并在图形下方直接写出所画梯形满足的条件）
10．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系：
问题解决：
（3）如图2，以锐角 ABC的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”；
拓展应用：
如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点，
（4）试探索与的数量关系，并说明理由．
11．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点，连接，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图1，先在上画一点F，使得；再画点E关于的对称点G；
(2)如图2，若E是中点，先在上画点H，使得；再在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形．
12．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分．
13．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．
（1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．
（2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．
在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
14．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)若，则 ， ．
(2)经过多长时间，四边形是平行四边形？
(3)经过多长时间，四边形是矩形？
15．如图，在四边形中，，∠B=90 ，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
(1) ； ； ； ；
(2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值
(3)当t为多少时，？（直接写出答案即可）
(4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵在 ABC中，D，E分别是边的中点．
∴是 ABC的中位线，
∴．
故选C．
2．C
A：等腰直角三角形有1条对称轴；
B：等腰梯形有1条对称轴；
C：正方形有4条对称轴；
D：正三角形有3条对称轴；
综上所述正方形对称轴条数最多，
故选：C．
3．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：，
则．
故选：A．
4．C
解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点
∴，①正确；
∵，
∴
∴，
∴，
∴，即，②正确；
和不一定相等，故③错误；
∵
∴
∴
∴，④正确；
故选：C．
5．B
解：∵E、F分别是的中点，
∴，，
同理，
∴四边形是平行四边形．
A、添加，则，
∴出四边形是矩形，无法得出四边形是菱形，故A不符合题意；
B、添加，则，
∴四边形是菱形．故选项B符合题意；
C、添加与互相平分，无法得出四边形是菱形，故C不符合题意；
D、添加，无法得出四边形是菱形，故D不符合题意；
故选：B．
二、填空题
6．
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
7．
解：由平移的性质得，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
8．④
解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误；
②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误；
③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误；
④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确；
故答案为：④．
三、解答题
9．解：（1）如图，四边形即为所求作的菱形
（2）如图，，四边形即为所求作的菱形．
需满足的条件为：．
10．解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，
理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形；
（2），．理由如下：
∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，，，，
∴，．
（3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，

∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴、，，分别是、、、的中位线，
∴，，，，，，，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
（4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接

∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵M，F分别是，的中点，
∴，
∴．
11．（1）连接交于点，则点是符合条件的点，连接交于点，连接并延长交于点，则点与点关于对称．
（2）连接交于点，交于N，连接则，连接交于点，连接则四边形是所作四边形．
12．证明：连接、、、，
点E、F、G、H分别是、、、的中点，
、分别是 ABC与的中位线，
，，
，
同理，
四边形为平行四边形，
和互相平分．
13．解：四边形EFGH为平行四边形；
连接AC，BD
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点
∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线
∴，，，，
∴，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（1）AC＝BD，
理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD，
∵四边形EFGH为平行四边形，且，，
∴EH＝GH，
∴平行四边形EFGH为菱形．
（2）AC⊥BD，
理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点
∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线
∴，，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE，
∵四边形EFGH为平行四边形．
∴四边形EFGH为矩形．
（3）AC＝BD且AC⊥BD，
理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，
综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形．
14．（1）解：根据题意得：，，
∴；
故答案为：，
（2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时，
所以，
解得：；
即经过，四边形是平行四边形
（3）解：设经过，四边形为矩形，此时，
所以，
解得：，
即经过，四边形是矩形．
15．（1）解：由题意可得，，，
，
，
如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，，，
，
，
，
故答案为：；；18；；
（2）解：，，
当时，四边形成为矩形，
，
解得，
即当t为秒时，四边形成为矩形；
（3）解：当时，四边形是平行四边形，此时，
，
解得；
当四边形是等腰梯形时，，
过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
解得，
综上可知，当t为或秒时，；
（4）解：存在，，4或，
是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，如图，过点作于点，
由（1）可知，，，
，，
，
，
解得；
②当时，，
解得；
③当时，如图，
则，，
在中，,
解得，
综上可知，存在使得是等腰三角形，t的值为，4或．