八年级数学下册苏科版第9章《 因式分解 》单元测试卷（含答案）

第9章《 因式分解 》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则代数式的值为（ ）
A．30 B． C． D．
6．对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我最爱美 B．我爱立信
C．最爱立信 D．最美立信
8．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）
A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．用提公因式法分解因式：
10．因式分解： ．
11．已知，则 ．
12．已知，请你用含，的代数式表示， ．
13．如图，在综合实践课上，嘉淇用9张类正方形卡片，4张类正方形卡片和12张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是 （用含的式子表示）．
14．已知整式可以因式分解为，则的值为 ．
15．若实数x满足，则代数式的值为 ．
16．在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是 ．
17．已知，，，则代数式的值为 ．
18．若，则的和为 ．
三、解答题：本题共9小题，共64分.
19．（6分）对下列式子进行因式分解．
(1)； (2)．
20．（6分）分解因式：
(1)； (2)．
21．（6分）利用因式分解进行简便计算：
(1)． (2)．
22．（6分）已知为正整数，求证：能被16整除．
23．（7分）阅读材料，并解答问题．
例题：求多项式的最小值．
解：，
∵（m+n）2≥0，，
∴多项式的最小值是4．
(1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______；
当取最小值4时，______，______．
(2)求多项式的最小值．
24．（8分）阅读材料：若，求的值．
解：，
，
，
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知 ABC的三边长均为正整数，且满足，求 ABC的最大边的边长可能是哪些值？
25．（8分）仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，，
则
所以，，解得：，．
另一个因式为，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
(1)若二次三项式可分解为，则_______
(2)若二次三项式可分解为，则_______．
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
26．（8分）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式．
（1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________；
应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留）
（2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________．
应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________．
27．（9分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形．
(1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
(2)在（1）的条件下若，，分别求、的值．
(3)已知，求的值．
拓展运用：
(4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）．
参考答案
一、单项选择题
1．C
解：A、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
2．B
∵ ， ，
∴ 公因式为 ．
故选B．
3．A
解：平方差公式为 = ；
选项A： = ，符合公式，可分解；
选项B： = ，非平方差形式；
选项C：，为平方和，不符合题意；
选项D：，为完全平方，不符合题意；
故选：A
4．D
解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为；
选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ；
选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ；
选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解．
故选：D．
5．D
解：∵
，
又∵, ，
∴ 原式．
6．D
解：∵，
∴，
∴
，
故选D．
7．B
解：
∵，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，
∴密码是由“信”，“爱”，“我”，“立”这四个汉字组成的，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
8．D
解：
∴ 这两个整数是15和17。
故选D
二、填空题
9．
解：，
故答案为：．
10．
解：，
故答案为：．
11．18
解：∵，
∴．
故答案为：18．
12．
由 ，根据等式的性质2，可得 ，
根据等式的性质1，将含x的项移到等式左边，得，
根据等式的性质2，可得 ，
故答案为：．
13．
解：，
∴拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
14．4
展开 ，与原式 比较系数，
得 ，解得 ．
故答案为 4
15．7
解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：7．
16．
解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确
∴，
∵，乙看错常数项但一次项系数正确，
∴，
∴原整式为，
∵
∴整式，即正确的因式分解结果是，
故答案为∶ ．
17．
解：已知，
则，
，
，
根据恒等式，将上述值代入可得：
．
故答案为：．
18．0
解：
．
故答案为：0 ．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：
；
（2）
．
21．（1）解：
；
（2）解：
．
22．证明：
．
∵n为正整数，是2的倍数，
∴是16的倍数，
∴原式能被16整除
23．（1）解：过程中使用了完全平方公式．
，
当，时，式子取到最小值，
此时，，，；
（2）解：
，
，，
，
∴当且仅当时，有最小值．
24．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵边长为c的边为最大边，且c为正整数，
∴c的值可以为8，9，10，11，12，13
25．（1）解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：4；.
（2）解：∵，
∴．
故答案为：1；
（3）解：设另一个因式为，得，
则，
∴，，
解得，，
∴另一个因式为，k的值为．
26．（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形，
则剩余部分的面积为，
正方形剩余部分拼成长方形的面积为，
故；
应用：根据题意可知阴影部分的面积为
，
故所有阴影部分的面积为．
答：；应用：．
（2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为，
构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为，
根据两种方式表示的面积相等，可得；
应用：设，则，
则，，
，
，
化简得，
根据完全平方公式展开，
将代入，可得，即，
点为半圆上点正上方一点，
，
．
故阴影部分面积为．
答：；应用：．
27．（1）解：图1：大正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为，
．
图2：左下角的正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
．
故答案为：，．
（2），
又，，
．
，
又，
．
．
（3）设，，
则，
，
．
．
（4）设，，则，，
．