八年级数学下册苏科版第11章《二次根式》单元测试卷（含答案）

第11章《二次根式》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．的解在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间
C．3到4之间 D．4到5之间
6．已知为实数，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．无法确定
7．如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．若，则的值为（）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．使有意义的x的取值范围是 ．
10．计算的结果是 ．
11．化简： ．
12．若为实数，且，则的值为 ．
13．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．
例如：，则 ．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
15．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ．
16．化简： ．
17．在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ．
18．如图，在中，，D是上的动点，过点D作，交AC于点E，将 ADE沿直线翻折，点A落在F处，交于点G，则长度的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共64分.
19．（6分）计算：
(1)； (2)．
20．（6分）计算：
(1)； (2)； (3)．
21．（5分）已知，，均为实数，求的值．
22．（7分）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
23．（7分）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式．
思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？
24．（8分）阅读并解答：已知，求代数式的值．
小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，∴．把作为整体，得：．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值．
(2)已知，对x进行分母有理化．
(3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值．
25．（8分）阅读下列解题过程：
；
；
；
…
(1)__________，__________．
(2)利用这一规律计算：．
(3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）．
26．（8分）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．
例如，，
所以．
请仿照上例化简下列根式。
(1)______；
(2)_______；
(3)计算：．
27．（9分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即，
∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为；
【实例展示1】已知，求式子最小值．
解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如
，．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ；
(2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个；
(3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？
参考答案
一、单项选择题
1．C
解：A、，被开方数，符合定义；
B、，被开方数，符合定义；
C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义；
D、，被开方数，符合定义；
故选：C．
2．D
解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并，
选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项B：，故错误；
选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项D：，正确．
故选D．
3．B
解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B．是最简二次根式；
C．，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式．
故选：B．
4．B
解：A、，被开方数为3，故A不符合题意；
B、，被开方数为2，故B符合题意；
C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意；
D、，被开方数为3，故D不符合题意．
故选：B.
5．B
解：∵ ，
∴，即，
∵ ， ，且 ，
∴，
因此在到之间.
故选：B．
6．B
解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则
由，得：．
将代入代数式：
．
故选：B．
7．B
解：∵四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
．
故选：B．
8．D
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴原式
．
故选：D．
二、填空题
9．
解：∵有意义，
∴，
即．
故答案为：．
10．
解：．
故答案为：．
11．
；
故答案是：．
12．
解：中，，
，
解得，
则，
，
故答案为：．
13．
解：由题意得，，
故答案为：．
14．
解：根据数轴可知，，，则，
∴．
故答案为：
15.60
解：∵长方形的长为，面积为，
∴长方形的宽为，
∵，，，
∴，
∴正方形的最大边长为长方形的宽，
∴正方形的最大面积为．
故答案为：60．
16．2
解：由有意义，得，即．
化简：
∵，
∴，故：．
化简：
根据二次根式的性质，，
∴．
因此，原式．
故答案为：．
17．
解：如图所示，过点D作于点E，
∵在中，，，，
∴，
∵平分交于点，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．
解：过点分别作，，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：
（2）解：
20．（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：
.
21．解：∵，
∴,
∴
∴
原式．
22．（1）解：依题意，，，
则，．
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴．
23．解：，，，
，
故这块菜地的面积约为．
24．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，即1，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
25．（1）解：对于：
∵，
∴．
对于：
∵，
∴．
（2）解：
．
（3）解：对被开方数通分并化简：
∵为正整数
∴，即．
26．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：
．
27．（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8；
故答案为：4，8；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
∵x为整数，的值为整数，
∴为整数，
∴或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴
此时，，
∴，
答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
（4）解：
∵，
∴，
∴
当且仅当x-1=时，即时，式子有最小值为4，
∴当时，分式取到最大值，最大值为．