八年级数学下册苏科版第10章《分式》单元测试卷（含答案）

第10章《分式》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．代数式 ，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．1
3．若把分式中的和都扩大10倍，那么下列分式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的方程，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解为 B．方程的解不能为0
C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程的解为正数
5．为了庆祝中国共产党建党100周年，某校组织部分学生步行2千米到遵义纪念馆参加以“听党话，感党恩”为主题的活动，因紧急情况，要求学生队伍比原计划提前5分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为x米/分，则所列方程为（ 　　 ）．
A． B．
C． D．
6．若，则的值是（　　）
A．8 B．7 C． D．
7．若关于的分式方程的解为正数，则自然数的所有值的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．分式有意义，满足的条件为 ．
10．若分式的值为0，则x的值为 ．
11．分式方程的解为 ．
12．若，则的值为 ．
13．“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为： ．
14．对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝ ．
15．关于x的分式方程无解，则 ；
16．若，则的值为 ．
17．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
18．若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共64分.
19．（6分）（1）计算：
（2）解分式方程：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中
21．（5分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？
22．（7分）年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个．
(1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
23．（7分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整．
(1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ；
(2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ．
24．（8分）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：因为，所以，即，所以．
所以．
根据材料解答问题：
(1)已知，求及的值；
(2)已知，求的值．
25．（8分）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）；
(2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势；
(3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数；
(4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________．
26．（8分）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式．
如：
再如：
解决问题：
(1)分式是______填“真分式”或“假分式”；
(2)将分式化成带分式；
(3)将分式化成带分式；
(4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数
27．（9分）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值．
参考答案
一、单项选择题
1．C
解： ，分母为5，不含字母，不是分式；
，分母为n，含字母n，是分式；
，分母为 ，含字母x，是分式；
，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式；
，分母为x，含字母x，是分式；
，分母为 ，含字母x，是分式，
是分式的有 ，，，，共4个，
故选C．
2．D
解：；
故选D．
3．D
解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4．C
解：∵方程，且，
两边乘得，
∴，
当 即 时解有效。
A．当时无解，故A错误；
B．当时，，解可为0，故B错误；
C．当时，，且满足，故解为负数，故C正确；
D．当且时解为正数，但时无解，故D错误．
故选：C．
5．B
解：根据题意可列：,
故选：B．
6．B
解：∵ ，且，
∴ 两边除以得 ，
即，
又∵ ，
∴ ，
故选：B
7．A
∵ 方程 ，且 ，
∴ 原方程化为 ．
移项，得 ，即 ．
两边乘 （），得 ，
展开，得 ，
整理，得 ，
∴ ．
∵方程 的解为正数，
∴ ，即 ，
∴ ．
又 ∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ 的取值范围为 且 ．
∵ 为自然数（包括 0），
∴ 可能取值为 0， 1， 3．
∴ 的所有值的个数为 3 个．
故选：A．
8．A
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴有 ，
即，
，
，
，
，
这样的组合共有 对，
又 ，
∴ 原式 = ．
故选：A．
二、填空题
9．
解：∵分式有意义，
∴，
解得 ．
故答案为：．
10．
解：由题意，分子且分母．
解方程，得或．
又∵，即，
∴．
故答案为：．
11．
解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故答案为：．
12．
解：∵，
∴，
即．
则，
则，
∴．
故答案为：．
13．
解：设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克，
由题意，得．
故答案为：．
14．
解：，
，（不为0）
，即
∴
故答案为：．
15．5
解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
∵关于x的整式方程总有解
∴当关于x的分式方程无解时，关于x的分式方程有增根，
∴，即，
∴，
故答案为：5．
16．
解：∵，
∴，即，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
17．
解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为，第二个单位分数的分母为 ，故 ．
对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ，第二个单位分数的分母为，故 ．
故答案为：，．
18．
解：
解不等式①得，；
解不等式②得， ；
∴不等式组的解集为，
有且仅有2个奇数解，即奇数解为和，需满足，
解得，整数为，
，
，
，
，
，
，
解为整数且，故为整数，需为偶数，
结合取值范围，偶数值为，
经检验：当时，为整数且；当时，分母为零，舍去；当时，为整数且，
满足条件的整数为和，积为，
故答案为：．
三、解答题.
19．（1）解：
；
（2）去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
解得：，
经检验使分母等于0，
所以是增根，原分式方程无解．
20．解：
，
当时，
原式．
21．解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴（万元），
答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元．
22．（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得
，
两边同乘得，，
，
解得．
经检验是分式方程的解．
．
答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．
（2）解：设可以采购个乙型玩偶，
根据题意得，，
，
，
解得．
答：最多可以采购个乙种型号玩偶．
23．（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，
根据题意可列方程，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：大巴车行驶的时间为，
故答案为：；
（2）解：设大巴车行驶的时间为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：大巴车行驶的时间为，
故答案为：．
24．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
．
25．（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大；
，
∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之减小；
（2）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之增大；
（3）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，
当x无限增大时，则无限接近于0，
∴此时的值无限接近2；
（4）解：，
当时，，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小，
∴当时，随着的增大，的值随之增大，
当时，，当时，，
∴当时，．
26．（1）解：因为分式的分子和分母的次数都是1，
此分式是假分式，
故答案为：假分式；
（2）解：
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：；
（4）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，
则：，
所以
，
由题意得，，且a、b均为整数，
因为m的平方能被n整除，
所以为整数，
当时，，没有满足题意的b的值；
当时，，没有满足题意的b的值；
当时，，；
当时，，没有满足题意的b的值．
综上，满足条件的两位数n为36．
故答案为：36．
27．（1）解：可化为，
∴，．
（2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，，
∴，，
．
（3）解：关于的十字分式方程可化为，
即，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最大值为8．